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一道高考題的解法、推廣及啟示

楊瑞強(qiáng)

(湖北省黃石市第一中學(xué),435000)

一、試題呈現(xiàn)(2015年四川高考題)

(1)求橢圓E的方程;

二、試題分析與證明

所以點(diǎn)Q在y軸上,可設(shè)Q(0,t).

解得t=1或t=2.

所以,若存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q滿足條件,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0,2).

① 當(dāng)直線l的斜率不存在時,由上可知,結(jié)論成立.

② 當(dāng)直線l的斜率存在時,可設(shè)直線l的方程為l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1x2<0,y1y2<2,則

得(2k2+1)x2+4kx-2=0,

因此Δ=16k2+8(2k2+1)>0,

證法1(利用對稱性,證明三點(diǎn)共線)

易知,與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B′(-x2,y2).

所以kQA=kQB′,即Q,A,B′三點(diǎn)共線(如圖2)，

證法2(線段坐標(biāo)化,代數(shù)推理論證)

整理，得x2(2-y1)+x1(2-y2)=0,

即x1+x2-2kx1x2=0.

證法3(利用內(nèi)角平分線定理,證明斜率互為相反數(shù))

證法4(利用伸縮變換,將橢圓變圓)

由l的兩種特殊位置:x=0和y=1,可求出Q(0,2).(具體過程同上)

由OA′2=OB′2=2=OP′·OQ′知,直線OA′、OB′分別是?P′A′Q′、?P′B′Q′外接圓的切線.

因?yàn)椤螼A′P′=∠OB′P′,所以由弦切角與圓周角的關(guān)系，知∠P′Q′A′=∠P′Q′B′,從而

tan∠P′Q′A′=tan∠P′Q′B′,

即∠PQA=∠PQB,

三、試題推廣

由OA′2=OB′2=OP′·OQ′知,直線OA′、OB′分別是?P′A′Q′、?P′B′Q′外接圓的切線.

因?yàn)椤螼A′P′=∠OB′P′,所以∠P′Q′A′=∠P′Q′B′,從而

tan∠P′Q′A′=tan∠P′Q′B′,

(說明:此處推廣命題僅利用伸縮變換證明,也可以利用前三種方法證明,限于篇幅,留給有興趣的讀者自行完成.)

(證明同上,此處略.)

四、試題解法啟示

(1)圓錐曲線中的定點(diǎn)(定值)問題,一直是高考的熱點(diǎn)問題,解決此類問題常見的方法有兩種:一是直接推理、計(jì)算,并在推理計(jì)算的過程中消去變量,從而得到定點(diǎn)(定值);二是從特殊位置入手,求出定點(diǎn)(定值),再證明這個點(diǎn)(值)與變量無關(guān).前者研究一般情形,通過邏輯推理與計(jì)算得到定點(diǎn)(定值),這種方法難度大,運(yùn)算量大,且思路不好尋找;后者就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)(定值),然后驗(yàn)證.

(2)在解決解析幾何問題時,學(xué)生偏重于相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系研究,習(xí)慣于代數(shù)的嚴(yán)密推理過程,而忽視了有關(guān)形的知識的應(yīng)用,導(dǎo)致計(jì)算量很大.事實(shí)上,若能充分把握解析幾何問題中形的特征,注意挖掘隱蔽條件,靈活運(yùn)用平面幾何知識,對于拓寬解題思路,減少運(yùn)算量,將會起到非常重要的作用.比如在本文的高考試題中,學(xué)生如果能發(fā)現(xiàn)此比例關(guān)系是角平分線定理,那么求解起來會相當(dāng)輕松.因此,在求解解析幾何問題時,要重視平面幾何知識的運(yùn)用,細(xì)心觀察,敢于聯(lián)想,從而發(fā)現(xiàn)重要關(guān)系,為解決問題開辟道路.

(3)從變換的角度看,把圓“壓”一下即成橢圓,橢圓也可以再“伸”一下還原成圓.在研究直線與橢圓的位置關(guān)系的問題時,利用伸縮變換將橢圓轉(zhuǎn)化為圓后,往往可以避免聯(lián)立方程組這一繁瑣的程序,而將問題轉(zhuǎn)化到直線與圓的位置關(guān)系這一大家非常熟悉的問題中來,使得原來隱于橢圓內(nèi)的一些幾何關(guān)系,得以顯性化，然后可以利用圓的有關(guān)性質(zhì)加以解決,從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.

高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.已知集合A={x||x|≤2},B={x|3x-2≥1},則A∩B=______.

3.命題“?θ∈R,sinθ≤1”的否定是______.

11.若x軸是曲線f(x)=lnx-kx+3的一條切線,則k=______.

12.已知定點(diǎn)M(-1,2),動點(diǎn)N在單位圓x2+y2=1上運(yùn)動,以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形OMPN,則點(diǎn)P到直線3x+4y+10=0距離的取值范圍是______.

14.實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=5,則 6ab-8bc+7c2的最大值為______.

二、解答題(本大題共6小題,共計(jì)90分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)若x∈(0,4),求y=f(x)的值域.

(1)求角C的大小；

(2)若a2=2b2+c2,求tanA的值.

(1)若橢圓C的右準(zhǔn)線方程為x=4,求橢圓C的方程；

18.(本小題滿分16分)有一塊三角形邊角地,如圖中?ABC，其中AB=8(百米)，AC=6(百米)，∠A=60°.某市為迎接2500年城慶,欲利用這塊地修一個三角形形狀的草坪(圖中?AEF)供市民休閑,其中點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，規(guī)劃部門要求?AEF的面積占?ABC面積的一半，記?AEF的周長為l(百米).

(1)如果要對草坪進(jìn)行灌溉,需沿?AEF的三邊安裝水管,求水管總長度l的最小值;

(2)如果沿?AEF的三邊修建休閑長廊,求長廊總長度l的最大值,并確定此時E、F的位置.

(1)求圓C的方程；

(2)過原點(diǎn)O作圓C的兩條切線，與拋物線y=x2相交于M、N兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)).證明：直線MN與圓C相切；

(3)若拋物線y=x2上任意三個不同的點(diǎn)P、Q、R，且滿足直線PQ和PR都與圓C相切，判斷直線QR與圓C的位置關(guān)系，并加以證明.

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)

f(x)=|x3-1|+x3+ax(a∈R).

(1)解關(guān)于字母a的不等式

[f(-1)2]≤f(2);

(2)若a<0,求f(x)的最小值；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)x1,x2,試判斷f(x1x2)的符號，同時比較f(x1x2)與a+1的大小，并說明理由.

參考答案

一、填空題

1.[1,2];2.2;3.?θ∈R,sinθ>1;

二、解答題

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為

整理得 2cos2C+cosC-1=0,

∵a2=2b2+c2,∴a2=2b2+a2+b2-ab.

(2)設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則B(-x1,-y1),

∵A,D在橢圓上，

18.(1)設(shè)AE=x(百米)

∵?AEF中，

列表

x(4,26)26(26,8)t'-0+t遞減極小值46遞增

且x=4時，t=10;x=8時，t=11,則

∴當(dāng)t=11時，lmax=18,此時AE=8,AF=3.

19.(1)∵C(0,2),∴圓心C到直線x-2y+2=0的距離

∴圓C的方程為x2+(y-2)2=1.

(2)設(shè)過原點(diǎn)的切線方程為

y=kx,即kx-y=0,

∵圓心C(0，2)到直線MN的距離為1，且r=1,∴直線MN與圓C相切.

(3)直線QR與圓C相切.證明如下：

設(shè)P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),則直線PQ、PR、QR的方程分別為

PQ：(a+b)x-y-ab=0,

PR:(a+c)x-y-ac=0;

QR:(b+c)x-y-bc=0.

∵PQ是圓C的切線，

化簡得(a2-1)b2+2ab+3-a2=0.

①

∵PR是圓C的切線，同理可得

(a2-1)c2+2ac+3-a2=0.

②

則b,c為方程(a2-1)x2+2ax+3-a2=0的兩個實(shí)根，

∵圓心到直線QR的距離

∴直線QR與圓C相切.

20.(1)∵[f(-1)]2≤f(2),

∴(1-a)2≤15+2a,

即a2-4a-14≤0,

(2)∵f(x)=|x3-1|+x3+ax

∴當(dāng)x<1時，f′(x)<0,當(dāng)x>1時，f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,1)上單調(diào)減，在(1,+∞)上單調(diào)增，故函數(shù)f(x)有最小值f(1)=a+1.

綜上可得

(3)由(2)知，當(dāng)a≥0時，f′(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,至多只有一個零點(diǎn),不合題意.

當(dāng)-1≤a<0時，f(x)min=a+1≥0，不可能有兩個零點(diǎn).

∴x1

又f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

∴f(1)

即a+1

○短文集錦○

探究雙曲線中一類最值的求法

張?jiān)葡隼罟庥?/p>

(河南省濮陽市綜合高中，457000)

我們知道,雙曲線上一點(diǎn)到它的一個焦點(diǎn)與另一定點(diǎn)的距離之和或差的最值問題,是雙曲線問題的常見題型．本文對這類問題進(jìn)行分類討論,研究其解法,供讀者參考．

解如圖1,設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn),由定義得

|PF|=|PF′|+4，

所以|PF|+|PA|≥4+|F′A|=4+5=9.

當(dāng)且僅當(dāng)P為線段F′A與雙曲線右支的交點(diǎn)時，|PF|+|PA|取得最小值9.

評注上述解法用到了以下方法:① 用定義,把到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離;② 若A、B為定點(diǎn),P為不同于A、B的任意一點(diǎn),則|PA|+|PB|≥|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)P在線段AB上時,|PA|+|PB|取得最小值|AB|．

一、變換結(jié)論進(jìn)行探究

解|PF|-|PA|=4+|PF′|-|PA|.

因?yàn)閨PA|-|PF′|≤|AF′|=5，

所以|PF′|-|PA|≥-|AF′|=-5,

從而|PF|-|PA|≥4-|AF′|=-1.

當(dāng)且僅當(dāng)P為線段AF′的延長線與右支的交點(diǎn)時,等號成立.

二、變換條件進(jìn)行研究

解如圖4,與上面的題不同的是點(diǎn)A在右支弧內(nèi),結(jié)合圖形分析,知

解如圖5,|PF|-|PA|=4+|PF′|-|PA|，又-|AF′|≤|PF′|-|PA|≤|AF′|,即 2≤|PF|-|PA|≤6.由于直線AF′與雙曲線右支有兩個交點(diǎn),所以當(dāng)且僅當(dāng)P為線段F′A的延長線與雙曲線右支的交點(diǎn)時,|PF|-|PA|取到最大值6,當(dāng)且僅當(dāng)P為線段AF′的延長線與雙曲線右支的交點(diǎn)時,|PF|-|PA|取到最小值2．

(1)當(dāng)點(diǎn)A在雙曲線右弧外(包括左弧內(nèi),下同)的區(qū)域時,|PF|+|PA|有最小值2a+|AF′|;當(dāng)點(diǎn)A在右弧內(nèi)的區(qū)域時,|PF|+|PA|有最小值|AF|;無論點(diǎn)A在何處,|PF|+|PA|都不存在最大值．

(2)若A點(diǎn)在雙曲線右弧外的區(qū)域:① 當(dāng)直線FA與右支有交點(diǎn)時,|PF|-|PA|只有最大值或最小值;②當(dāng)直線FA與射線AF′都與右支有交點(diǎn)時,|PF|-|PA|既有最大值也有最小值;③當(dāng)直線FA與射線AF′都與右支無交點(diǎn)時,|PF|-|PA|既無最大值也無最小值．

(3)若點(diǎn)A在雙曲線右弧內(nèi)的區(qū)域:① 當(dāng)直線F′A與右弧只有一個交點(diǎn)時,|PF|-|PA|=2a+|PF′|-|PA|只有最大值或最小值;② 當(dāng)直線F′A與右弧有兩個交點(diǎn)時,|PF|-|PA|=2a+|PF′|-|PA|既有最大值也有最小值．