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掃描高考中的線性規(guī)劃問題

羅禮明

(湖南省炎陵縣第一中學，412500)

線性規(guī)劃問題在實際生活、生產(chǎn)中應(yīng)用十分廣泛,也是高中數(shù)學中的重點內(nèi)容之一.近年來在全國各地的高考數(shù)學命題中,線性規(guī)劃類問題已逐步成為高考的一個新熱點,它以其實用性、工具性和交互性,備受人們的關(guān)注.題型也越來越開放,從單一的、靜態(tài)的線性規(guī)劃發(fā)展到較全面的、動態(tài)的線性規(guī)劃.常有一些綜合性、探索性等新型試題出觀.本文以近兩年高考中的線性規(guī)劃題為例,就線性規(guī)劃問題進行歸納總結(jié).

一、靜態(tài)可行域下的目標函數(shù)最值問題

1.形如z=ax+by+c截距型線性目標函數(shù)的最值

(A)-7(B)-1(C)1(D)2

分析作出可行域,作直線l:3x-y=0,平行移動l利用數(shù)形結(jié)合法求最值.

解畫出可行域如圖1中的陰影部分,作直線l:3x-y=0,平移l,可知當x=-2,y=1時,zmin=3×(-2)-1=-7,故選A.

評注對線性規(guī)劃問題,求目標函數(shù)的最值的一般步驟為:一畫二移三求.其關(guān)鍵是準確作出可行域,理解目標函數(shù)的意義.利用z的幾何意義,結(jié)合可行域找出取最值的點,通過解方程組求出最優(yōu)解,代入目標函數(shù),求出最值.在畫可行域時,首先必須找準可行域的范圍,其次要注意目標函數(shù)對應(yīng)的直線斜率的大小,從而確定目標函數(shù)取到最優(yōu)解時所經(jīng)過的點.

(A)[2,8] (B) [4,13]

分析將目標函數(shù)z=x2+y2看作可行域中的點P(x,y)與原點距離的平方來求解.

解可行域為如圖2所示的三角形內(nèi)部及其邊界,z=x2+y2表示可行域中的動點P(x,y)到原點O(0,0)距離的平方.從而有

二、動態(tài)可行域下的線性目標函數(shù)問題

1.形如z=ax+by+c截距型線性目標函數(shù)逆向問題

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

評注本題考查含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,解此類問題要善于從已知的可行域(動態(tài)區(qū)域)中找出不變的區(qū)域.先要對目標函數(shù)進行分析,什么時候目標函數(shù)取到最大值,其次要對m的符號討論,以確定可行域.解該類題目時候,往往還要將目標直線的斜率和可行域邊界的斜率比較,否則很容易出錯.

2.平面區(qū)域的面積問題

評注平面區(qū)域的面積問題主要有兩類題型:(1)求已知約束條件下平面區(qū)域的面積;(2)根據(jù)平面區(qū)域面積的大小求所含參數(shù)的值.求解時需抓住兩點:① 正確判斷平面區(qū)域的形狀,如果形狀不是常見的規(guī)則平面圖形或面積不易求,則需要進行分割;② 求參數(shù)問題時一般涉及一條動直線,確定其位置至關(guān)重要,有時還需要對動直線的位置進行分類討論.

三、線性規(guī)劃與其他知識的交匯

1.線性規(guī)劃與柯西不等式的整合

分析先由線性目標函數(shù)的最優(yōu)解得出a,b的關(guān)系式,再用柯西不等式求a2+b2的最小值,也可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

2.線性規(guī)劃與平面向量的整合

作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如