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構造函數法在高考中的運用

王維

(山東省曹縣第三中學,274400)

縱觀2015年全國各省市高考數學試題不難發(fā)現,構造函數法在解決高考試題中有著較為廣泛的運用.本文以2015年高考相關試題為例予以說明,僅供參考.

一、不等式問題

例1(全國卷)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(-1)=0.當x>0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()

(A) (-∞,-1)∪(0,1)

(B) (-1,0)∪(1,+∞)

(C) (-∞,-1)∪(-1,0)

(D) (0,1)∪(1,+∞)

綜上，易見x的取值范圍是x<-1或0

例2(北京卷)已知函數

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)求證:當x∈(0,1)時,

(3)(略).

解(1)易知函數f(x)的定義域為(-1,1).

從而f(0)=0,f′(0)=2.

故切線方程為y=2x.

評注用增數列構造減數列的方法是求數列上界不同凡響的一招,由此求得的上界往往比預期的更好.

評注本題第(2)問恰當地構造新函數,利用導數法研究函數的單調性,進而可證明不等式成立.

二、恒成立問題

例3(全國卷)設函數

f(x)=emx+x2-mx.

(1)證明:f(x)在(-∞,0)單調遞減,在(0,+∞)單調遞增;

(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.

解(1)略.

(2)由(1)可知,f(x)在x=0處取得極小值為f(0)=1，所以有

|f(x1)-f(x2)|≤e-1

(*)

令函數g(t)=et-t-e+1,則

g′(t)=et-1，

易見g(t)在(-∞,0)內單調遞減,在(0,+∞)內單調遞增.

又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,

所以當t∈[-1,1]時,g(t)≤0.

下面對實數m進行分類討論:

當m∈[-1,1]時,g(m)≤0,g(-m)≤0,即(*)式成立;

當m>1時,由g(t)的單調性可知,g(m)>0,即em-m>e-1,(*)式不成立;

當m<-1時,g(-m)>0,即e-m+m>e-1,此時(*)式也不成立.

綜上所述,可知m的取值范圍是[-1,1].

評注本題問題(2)通過合理構造新的函數,利用導數法研究函數的單調性以及不等式恒成立問題,方便了求解有關參數的取值范圍.

例4(四川卷)已知函數f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.

(1)設g(x)是f(x)的導函數,討論g(x)的單調性;

(2)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解.

解(1)略.

則φ(1)=1>0,

由零點存在定理,可知存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.

u(x)=x-1-lnx(x≥1).

即a0∈(0,1).

當a=a0時,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.

由(1)可知,函數f′(x)在(1,+∞)內單調遞增,

從而當x∈(1,x0)時,f′(x0)<0,從而f(x)>f(x0)=0;

當x∈(x0,+∞)時,f′(x0)>0,從而f(x)>f(x0)=0.

因此,當x∈(1,+∞)時,恒有f(x)≥0.

綜上所述,可知存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解.

評注本題第(2)問合理構造新函數,利用求導的方法討論函數的單調性,進而使問題得證；同時考查了函數與方程、化歸與轉化、數形結合以及分類討論等重要數學思想.

三、大小比較問題

例5(陜西卷)設fn(x)是等比數列1,x,x2,…,xn的各項和,其中x>0,n∈N,n≥2.

(2)設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列,其各項和為gn(x),比較fn(x)與gn(x)的大小,并加以證明.

解(1)Fn(x)=fn(x)-2

=1+x+x2+…+xn-2,

則Fn(1)=n-1>0；

由Fn′(x)=1+2x+…+nxn-1>0,

(2)可判定當x=1時,fn(x)=gn(x);當x≠1時,fn(x)

由題意,可知

當x=1時,h(x)=0,即fn(x)=gn(x);

若0

若x>1,則

從而函數h(x)在區(qū)間(0，1)內單調遞增,在區(qū)間(1，+∞)內單調遞減,

所以當x≠1時,h(x)

綜上所述,可知當x=1時,fn(x)=gn(x);當x≠1時,fn(x)

評注本題第(2)問首先從整體思想出發(fā)，合理構造函數h(x)=fn(x)-gn(x),再對的范圍進行討論來判定h(x)與0的大小,進而確定fn(x)與gn(x)的大小關系.