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一道高考函數(shù)題的解法探究

鄒蓓蓓

(江蘇省如皋中學，226500)

本文以2015年江蘇高考數(shù)學卷第19題為例,對高考函數(shù)的常考問題進行探究,以總結出解決這類問題的有效思路與解法.

一、試題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)試討論f(x)的單調(diào)性;

分析本題是導數(shù)、函數(shù)知識的綜合應用題,主要考查含參函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點判定定理,利用導數(shù)探究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值和零點問題;考查學生綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題的能力以及邏輯推理能力,包括分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想以及數(shù)形結合思想.

二、思路與解答

1.第(1)問思路與解答過程

思路觀察題目,要求函數(shù)f(x)的單調(diào)性,先求導,此時發(fā)現(xiàn)求導后f′(x)表達式中含有參數(shù),這就要求根據(jù)參數(shù)的范圍進行分類討論.

解答f′(x)=3x2+2ax.

下面分三種情況討論:

①當a=0時f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;

圖7的四邊形OABC及其內(nèi)部,其中A(-3,3)、B(3,-1),C(2,-1),O為坐標原點.設z=2λ+μ,易知動直線z=2λ+μ過點B時z有最大值,且zmax=2×3-1=5.

評注本題以平面向量的線性運算為載體,考查了平面向量的線性運算、線性規(guī)劃及其應用與等價轉化的思想、靈活運用所學知識解決問題的能力.若不能正確地將其轉化為λ,μ的線性規(guī)劃問題則無從下手.

2.第(2)問思路與解答過程

分析本題第(2)問考查學生對函數(shù)零點的判定定理的理解與掌握,要求學生利用題目已知條件通過轉化推理最終得出滿足條件的結果.

又，因為b=c-a,所以

f(x)=x3+ax2+1-a

=(x+1)[x2+(a-1)x

+(1-a)].

因為函數(shù)有三個零點,故x2+(a-1)x+(1-a)=0有兩個異于-1的不等實數(shù)根,

綜上所述c=1.

又∵g(a)是一個連續(xù)函數(shù),

∴g(a)的圖象如圖3所示.

∴只有當c=1時,才可滿足上述方程,

此時f(x)=x3+ax2++1-a

=(x+1)[x2+(a-1)x

+(1-a)].

∵函數(shù)有三個零點,

∴x2+(a-1)x+(1-a)=0有兩個異于-1的不等實數(shù)根,

綜上所述:c=1.

評注可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)與導數(shù)的結合,考查函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點問題是一種非常常見的題型.在這道江蘇考題中,第(1)問涉及參數(shù),要求分類討論并不難.數(shù)學問題之間往往有一定的聯(lián)系.第(2)問在得出函數(shù)單調(diào)性基礎上,運用函數(shù)零點判定定理對題目條件進行轉化,而數(shù)形結合思想的運用使題目條件由繁到簡,由難到易,加速了問題的解決.

函數(shù)零點問題是高中數(shù)學新課標的新增內(nèi)容.這類問題往往考查零點存在性、零點的個數(shù)等,要求考生能夠結合函數(shù)圖象,理解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系,轉化為判斷方程根的存在性及根的個數(shù).以下是函數(shù)零點的幾種處理方法:

①解方程(方程思想)

方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的零點(也就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點的橫坐標),且方程f(x)=g(x)的解就是新函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(也就是函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象交點的橫坐標).因此,可以通過研究方程或函數(shù)圖象解決函數(shù)零點問題.

②構造函數(shù)法

函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象交點的個數(shù)，可以通過作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)圖象解決問題.

函數(shù)作為壓軸題是歷年來高考的熱點,一般以函數(shù)為載體考查學生的基本數(shù)學素養(yǎng)以及運用數(shù)學思想分析、探究和解決問題的能力.近幾年江蘇高考數(shù)學的導數(shù)與函數(shù)問題,承繼了以往“邏輯性、探索性、綜合性”的特點,更注重于對“四基”的考查,即基礎知識、基本技能、基本數(shù)學思想和基本數(shù)學活動經(jīng)驗．縱觀江蘇省近幾年的高考函數(shù)題,其中最主要涉及的數(shù)學思想方法有化歸與轉化、數(shù)形結合、分類討論等.數(shù)學思想方法的掌握程度和思維理解能力的高低決定著高考分數(shù)的高低,數(shù)學試題的考查形式千變?nèi)f化,但是萬變不離其宗,其中蘊含的知識點以及數(shù)學思想方法卻是相通的,掌握了其中的數(shù)學思想方法便能抓住解題的關鍵.