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“和型”不等式的幾種求解策略

許雪芬李建潮

(浙江省湖州市雙林中學(xué)，313012)

有關(guān)數(shù)列前n項(xiàng)和不等式的試題是當(dāng)下高考的一大熱點(diǎn),今介紹幾種常用的應(yīng)對策略．

策略1待定系數(shù)法放縮通項(xiàng)

例1(2014年全國高考題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

策略2待定系數(shù)法“裂”通項(xiàng)

裂通項(xiàng)求和是數(shù)列求和的一種行之有效的通法．這一策略可觸類旁通地應(yīng)用到“和型”不等式中來，如例1(2)的下列證法：

即α·3n≥3n+1-1，

(α-3)3n≥-1,n∈N*恒成立，

∴α-3≥0.

取α的最小值3,知對任意n∈N*,有

由此,立得

策略3改證“有(上)界”為“往后有(上)界”

例2(2004年全國高考題) 已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和Sn滿足Sn=2an+(-1)n.

(1)寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1,a2,a3;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(3)證明:對任意的整數(shù)m>4,均有

分析(1)略.

(*)

計算可得

這就是為什么本期寫《童年的色彩》的小作者漆依蕓說她的童年有那么多種色彩、寫《玩具考古》的小作者呂兆恩有那么多“現(xiàn)代化”的玩具。小朋友們今天的幸福生活，跟小朋友們的爸爸媽媽小的時候相比，簡直是有天壤之別，不信就看看本期的《童年的味道》和《遠(yuǎn)去的童年時光》吧。

當(dāng)n≥6時

因此,當(dāng)n≥6 時(*)式成立,即原不等式成立，得證.

評注以上第(3)小題也可以就m的奇偶性分類討論證明,但明顯繁瑣.

策略4改證反向不等式

(*)

容易驗(yàn)證: 當(dāng)n=1、2時(*)式成立.

當(dāng)n≥3時,有

=(*)式的右邊.

綜上,對任意n∈N*,(*)式成立,原不等式獲證.

策略5用增數(shù)列構(gòu)造減數(shù)列

例4求證:

>0.

(*)

可見,{an}是增數(shù)列,但對正增數(shù)列求上界無濟(jì)于事，為此設(shè)法通過(*)式構(gòu)造出一個與之相關(guān)的減數(shù)列來.

事實(shí)上,由(*)式,可有