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用基底表示任意向量的三種基本方法

張國坤

(云南省曲靖市第一中學(xué)，655000)

平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個向量,那么對于這個平面內(nèi)的任一個向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)的所有向量的一組基底.

那么,在具體操作中,怎樣用e1、e2表示a呢?也就是如何確定λ1、λ2的值呢?有以下三種基本方法.

一、三角形法則或平行四邊形法則

解法1(三角形法則)

已知點(diǎn)C在AB上，且AC=2CB,則

據(jù)三角形法則，有

解法2(平行四邊形法則)

如圖2，過點(diǎn)C作OB的平行線CD與直線OA相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作OA的平行線CE與直線OB相交于點(diǎn)E.

已知AC=2CB,由平行線分線段成比例的規(guī)律及共線定理，得

二、待定系數(shù)共線法

解法1由A、E、C三點(diǎn)共線,可設(shè)

解法2由條件知

即2x+3y=2；

①

即3x+y=1.

②

三、待定系數(shù)“點(diǎn)乘”法

①

即a2x+abycos(α+β)=accosα；

②

即abxcos(α+β)+b2y=bccosβ.

③

聯(lián)立② ③，得關(guān)于x、y的二元一次方程組,解之即得x、y的值.

解由余弦定理，得

OA是?ABC外接圓半徑,由正弦定理，得

①

6x-2y=-3；

②

3x-4y=2.

③

聯(lián)立②③，解得

○課外測試○

高一數(shù)學(xué)測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.若集合A={1,2},B={-2,1},則A∪B=______.

2.函數(shù)f(x)=lg(3x-2)的定義域?yàn)開_____.

4.函數(shù)y=ax+1(a>0,a≠1)過定點(diǎn)______.

5.函數(shù)f(x)=|x-1|的單調(diào)遞增區(qū)間是______.

6.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+1,且f(a)=6,則f(a)=______.

8.已知a=log1.20.6,b=1.20.6,c=log0.50.6,則a,b,c從小到大排列依次為______.

9.方程log3x=3-x的解在區(qū)間(n,n+1)內(nèi)，n∈N*，則n=______.

11.已知f(x)=x|x+1|,則

的解集是______.

二、解答題(本大題共6小題,共計90分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟)

(1)若m=3,求(RA)∩B;

(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

16.(本小題滿分14分)已知函數(shù)

(1)證明:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上遞減;

(2)記函數(shù)g(x)=f(x+1)-1,判斷函數(shù)g(x)奇偶性,并加以證明.

17.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+3在區(qū)間(-∞,2)上是減函數(shù),在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù).

(1)求a的值;

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]的值域;

(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,m](m>0)上的最大值g(m).

18.(本小題滿分15分)心理學(xué)家通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為發(fā)現(xiàn):學(xué)生的接受能力與老師引入概念和描述問題所用的時間相關(guān).教學(xué)開始時,學(xué)生的興趣激增,學(xué)生的興趣保持一段較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明,用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力,x表示講授概念的時間(單位:min),可有以下的關(guān)系:

(1)開講后第5 min與開講后第20 min比較,學(xué)生的接受能力何時更強(qiáng)一些?

(2)開講后多少min學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?能維持多少時間?

(3)若一個新數(shù)學(xué)概念需要55以上(包括55)的接受能力以及13 min時間,那么,老師能否在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個概念?

19.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)是定義在(-4,4)上的奇函數(shù),當(dāng)-4

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值,并求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個不同的實(shí)數(shù)解,請寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)解關(guān)于x的不等式(x-1)f(x)<0.

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)

f(x)=|x2-1|+x2-kx.

(1)若k=2,作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(3)若關(guān)于x的方程f(x)=0在(0,+∞)上有兩個不同的解x1,x2,試比較f(x1x2)與1-k的大小.

參考答案

一、填空題

4.(0,2);5.(1,+∞);6.-4;7.-2;

二、解答題

(1)當(dāng)m=3時,RA={},集合B={<7},于是

(2)因?yàn)锳∪B=A,所以B?A.

16.(1) 設(shè)x1>x2>1,則x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0.

∴f(x1)

∴f(x)在(1,+∞)上遞減.

∴g(x)是奇函數(shù).

17.(1)∵f(x)=x2-ax+3在區(qū)間(-∞,2)上是減函數(shù),在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),

(2)∵f(x)=x2-4x+3在[0,2]上遞減,在[2,3]遞增,

∴f(x)min=f(2)=-1.

∵f(0)=3,f(3)=0,∴f(x)max=f(3)=3,

∴f(x)值域?yàn)閇-1,3].

18.(1)∵f(5)=53.5,f(x)=47,∴f(5)>f(20),

∴開講后第5 min比開講后第20 min,學(xué)生的接受能力更強(qiáng)些.

(2)當(dāng)0

∴當(dāng)x=10時,f(x)max=f(10)=59；

當(dāng)x>16時,f(x)<-3×16+109=59.

∴開講后10min(包括10分鐘)學(xué)生的接受能力最強(qiáng),能維持6 min.

(3)由函數(shù)f(x)=

當(dāng)1

答:老師不能在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個概念.

19.(1)由f(-3)=0,f(-2)=1,得

loga(-3+b)=0,loga(-2+b)=1,

∴a=2,b=4,

∴-4

設(shè)0

∴f(-x)=log2(-x+4).

∵f(x)是定義在(-4,4)上的奇函數(shù),

∴f(-x)=-f(-x)=-log(-x+4)，且f(0)=0,

(2)當(dāng)-4

當(dāng)0-2.

要使方程f(x)=m有兩個不同的實(shí)數(shù)解應(yīng)滿足-2

所以-2

∴1

∴-3

20.(1)k=2時,

圖略.由圖可知,f(x)單調(diào)減區(qū)間(-∞,1),單調(diào)增區(qū)間(1,+∞).

-1

∴-1≤k≤1.

綜上所述，k的取值范圍是[-1,1].

∴方程-kx+1=0在(0,1)上必有一根,

∴k>1,此時x2>1,

∵k>1,∴0

∵k>1時，f(x)在(0，1)上遞減,

∴f(x1x2)>f(1),而f(1)=1-k,

∴f(x1x2)>1-k.

高二數(shù)學(xué)測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

2.命題p:“?x∈R,x2+2x-3≥0”,命題p的否定為______.

3.“一條直線與兩個相交平面都平行”是“這條直線與這兩個平面的交線平行”的______條件.(在“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中選填)

4.等軸雙曲線的離心率等于______.

6.火星的半徑約是地球半徑的一半, 則地球表面積約是火星表面積的______倍.

8.已知直線l⊥平面α,直線m?平面β，給出下列命題：

①若α∥β，則l⊥m;

②若α⊥β，則l∥m;

③若l∥m,則α⊥β；

④若l⊥m,則α∥β.

其中,正確命題的序號是______.(寫出所有正確命題的序號)

10.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=2,則四面體A1BC1D的體積為______.

12.已知命題p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命題p是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

13.已知橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且斜率為2的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),若?PF1F2為直角三角形,則橢圓的離心率為______.

二、解答題(本大題共6小題,共計90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,E是AB的中點(diǎn).

(1)求證:OE∥平面BCC1B1;

(2)若AC1⊥A1B,求證:AC1⊥平面A1BC.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求以橢圓焦點(diǎn)為頂點(diǎn)且離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

17.(本小題滿分14分)已知a∈R,命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“?x∈R,x2+2ax+2-a=0”.

(1)若命題p為真命題,求a的取值范圍;

(2)若命題“p∨q”為真命題,命題"p∧q"為假命題,求a的取值范圍.

18.(本小題滿分16分)如圖,在三棱錐P-ABC中,?PAB和?CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形,D、E、F分別是PC、AC、BC的中點(diǎn).

(1)證明:平面DEF∥平面PAB;

(2)證明:AB⊥PC;

19.(本小題滿分16分)請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示.ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點(diǎn)重合,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒(不考慮拼接等損耗),E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.

(1)將包裝盒的側(cè)面積S(cm2)表示成x的函數(shù),并寫出x的范圍;

(2)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大,試問x應(yīng)取何值?并求此時S的值.

(2)當(dāng)a2+b2=4時,設(shè)M為橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線l交y軸于點(diǎn)Q，F(xiàn)1M⊥F1Q,證明:點(diǎn)M在定直線上.

參考答案

一、填空題

1.6;2.?x∈R,x2+2x-3<0;

二、解答題

15.(1) 連結(jié)BC1.

∵側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,

∴O為AC1的中點(diǎn).

∵E是AB的中點(diǎn), ∴OE∥BC1.

∵OE?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,

∴OE∥平面BCC1B1.

(2)∵側(cè)面AA1C1C是菱形, ∴AC1⊥A1C.

∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,

A1C?平面A1BC,A1B?平面A1BC,

∴AC1⊥平面A1BC.

17.(1)命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”為真命題.

令f(x)=x2-a,根據(jù)題意,只要x∈[1,2]時，f(x)min≥0即可，

也就是1-a≥0?a≤1.

(2)由(1)可知,當(dāng)命題p為真命題時,a≤1.

命題q為真命題時,Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.

因?yàn)槊}“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,所以命題p與命題q一真一假.

當(dāng)命題p為真,命題q為假時,

當(dāng)命題p為假,命題q為真時,

綜上,a>1或-2

18.(1)∵E、F分別是AC、BC的中點(diǎn),

∴EF∥AB.

∵AB?平面PAB,EF?平面PAB,

∴EF∥平面PAB, 同理DF∥平面PAB.

EF∩DF=F，且EF?平面DEF,DF?平面DEF,

∴平面DEF∥平面PAB.

(2)AB的中點(diǎn)G,連結(jié)PG、CG.

∵?PAB和?CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形,

∴PG⊥AB,CG⊥AB.

∵PG∩CG=G, 且PG?平面PCG,CG?平面PCG,∴AB⊥平面PCG.

∵PC?平面PCG, ∴AB⊥PC.

(3)在等腰直角三角形PAB中,

∵AB⊥平面PCG,

其側(cè)面積

S=4ah=-8(x2-30x),0

(2)S=-8(x-15)2+1 800.

當(dāng)x=15時,S有最大值1 800.

20.(1)設(shè)F2(c,0),則

(2)設(shè)M(x0,y0)(x0>0,y0>0),F2(c,0),則

直線l的方程為

由F1M⊥F1Q,可知

又c2=a2-b2=2a2-4,

所以點(diǎn)M在定直線x+y=2上.

一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的簡便解法及應(yīng)用

程漢波楊春波

(廣東省廣州市第二中學(xué),510040)(河南省鄭州外國語學(xué)校,450001)

(1)、(2)(略);

(3)記g(x)=|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值為M，若M≥k對任意的b,c恒成立,試求k的最大值.

此壓軸題構(gòu)思精巧,涉及到導(dǎo)數(shù)、絕對值、不等式與最值等知識點(diǎn),而且將其融合在一個新的定義運(yùn)算情境之中,耐人尋味.后期統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)該題第(3)問得分率極低,遺憾的是之后關(guān)于該題的研究也很少,很多師生都覺得參考答案中縝密而復(fù)雜的討論不可避免.筆者近日又偶遇此題,意外之中得到了一個巧妙的解法,并且很容易將該題拓廣,介紹如下,供參考.

M≥f(1)=|1-2b-c|,

M≥f(-1)=|1+2b-c|,

M≥f(0)=|c|.

于是4M≥f(1)+f(-1)+2f(0)

≥|1-2b-c+1+2b-c+2c|=2,

該解答利用絕對值不等式,并結(jié)合最值定義利用特殊值使問題巧妙得解.類似地，我們可解決如下的最值問題：

例1已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),當(dāng)-1≤x≤1時,有|f′(x)|≤M恒成立,求a的最大值.

解由已知得f′(x)=3ax2+2bx+c,故

消去b,c，得

6a=f′(1)+f′(-1)-2f′(0),

所以6|a|=|f′(1)+f′(-1)-2f′(0)|≤|f′(1)|+|f′(-1)|+2|f′(0)|≤4M,

例2(2010年全國數(shù)學(xué)競賽聯(lián)賽題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),當(dāng)0≤x≤1時，有|f′(x)|≤1,試求a的最大值.

解由已知，得f′(x)=3ax2+2bx+c,于是有

○高考之窗○