胡慶軍， 王炯琦

(國防科學技術大學理學院數(shù)學與系統(tǒng)科學系，湖南長沙410073)

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導彈武器射程評估的多因素正交試驗設計方法

胡慶軍， 王炯琦

(國防科學技術大學理學院數(shù)學與系統(tǒng)科學系，湖南長沙410073)

[摘要]“問題驅動”式的教學理念、教學模式和方法是教學改革和發(fā)展的趨勢.以導彈武器射程鑒定與評估為背景，探討了正交試驗設計的課程教學在其中的應用.通過對影響導彈武器射程因素的分析，在確定的水平條件下，進行正交試驗設計，得到較好的組合方式.從理論分析和仿真案例，回答了多因素水平下的導彈射程試驗評估問題.通過“問題驅動”，不僅有利于提高學生學習興趣和積極性，同時還有利于加深對理論和方法的認識和理解.

[關鍵詞]問題驅動； 試驗設計； 多因素； 武器射程

1引言

在第二次世界大戰(zhàn)后期(1942年)德國研制成了V-2火箭.后來，一些國家以V-2為基礎，逐步進行改進，到目前為止，已經(jīng)出現(xiàn)了射程不同、性能不同、用途不同的各種導彈.

導彈是一種攜帶戰(zhàn)斗部，依靠自身動力裝置推進，由制導系統(tǒng)導引控制飛行航跡，導向目標并摧毀目標的飛行器.其組成包括戰(zhàn)斗部、控制系統(tǒng)、發(fā)動機裝置、彈體.導彈既可以攜帶普通彈頭，用于常規(guī)的實戰(zhàn)，也可以攜帶核彈頭，用于戰(zhàn)略威懾.它早已成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭中最重要的武器之一.

作為導彈技戰(zhàn)術的一個重要指標，導彈射程直接決定著導彈的打擊效能.然而，在導彈研發(fā)過程中，影響導彈射程的因素往往很多，包括推進器、助推器、燃料、射向、射角、導彈載荷、空間環(huán)境、抗干擾能力以及操作人員的水平等，而每一因素的改變都有可能影響導彈武器的射程，當然有些因素影響較大，有些因素影響較小.目前，在我國各靶場進行的導彈武器試驗鑒定，就是要找出哪些是主要影響因素，哪些是次要影響因素，以便在后續(xù)的導彈研發(fā)和生成過程中加以改進.

導彈武器的試驗與鑒定，就是通過一系列實彈試驗，獲取足夠有價值的數(shù)據(jù)資料(信息)，并將所獲得的數(shù)據(jù)進行處理、邏輯組合和綜合分析，將其結果與裝備研制總要求中規(guī)定的戰(zhàn)術技術指標(射程、精度、毀傷效果)和作戰(zhàn)使用要求進行分析比較，對實現(xiàn)導彈武器研制目標的情況進行評價，對導彈武器裝備(包括系統(tǒng)、分系統(tǒng)及其部件)的戰(zhàn)術技術性能和作戰(zhàn)使用性能進行評定的過程.其目的是為裝備定型、部隊使用、研制單位驗證設計和檢驗生產(chǎn)工藝提供科學決策依據(jù).

然而，從導彈靶場試驗鑒定角度來看，導彈試驗具有小子樣試驗特點，也就是說由于實彈射擊是消耗性的，不可能進行大量試驗，因而從統(tǒng)計意義上看，屬小子樣范圍.針對導彈試驗小子樣的特點，相對于試驗數(shù)據(jù)分析而言，試驗設計更為重要，如何設計好的試驗方案，從而使得通過盡少的試驗次數(shù)，來得到反映整體能力的試驗結果.這就是試驗設計所要解決的問題.

本文以導彈武器射程的評估為研究背景，利用正交試驗設計方法，進行了導彈武器射程評估的多因素正交試驗設計研究，給出了正交試驗設計表格的設計方案，并利用極差分析法對試驗數(shù)據(jù)進行合理性分析.

2問題描述及正交試驗方案

2.1　問題描述

問題某基地進行導彈武器射程的鑒定與評估，通過靶場實彈測試，要尋找影響武器系統(tǒng)射程的主要因素.為簡單起見，先考慮如下四個因素，分別是推進器(A)、燃料(B)、射向(C)、空間環(huán)境(D)，并假定以上因素間無交互作用，由此確定了各因素的三個不同水平如下表1所示.

表1　導彈武器射程試驗影響因素及水平

若做導彈武器射程鑒定的全面試驗，共需要34=81次試驗，次數(shù)太多，實際不允許，且試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析較復雜.

針對以上問題，本文考慮用多因素試驗的設計方法之一——正交試驗設計來討論.

2.2　正交表及正交試驗方案

針對導彈武器射程評估的多因素試驗問題，試驗設計方法眾多，研究的基本內涵是如何制定試驗方案使導彈試驗次數(shù)盡可能少，并使試驗結果能有效地進行統(tǒng)計分析，最終目的是分析因素對導彈射程是否有顯著影響或尋找較優(yōu)(或最優(yōu))試驗方案.目前具有代表性的試驗設計方法之一是正交試驗設計，它是利用一套規(guī)格化的表格——正交表來安排多因素多水平試驗，并對試驗結果進行統(tǒng)計分析，找出較優(yōu)(或最優(yōu))試驗方案的一種科學方法.下面先對正交試驗設計進行簡要的介紹.

2.2.1正交表介紹

同水平的正交表形如Ln(tm)(如下表2是一張L9(34)正交表)，其中L表示正交表符號；n表示正交表行數(shù)，即正交表安排試驗的次數(shù)；m表示正交表列數(shù)，即最多可安排因素的個數(shù)；t表示每個因素的水平數(shù).

表2　L9(34)正交表

正交表的兩個基本特征是：

(i)整齊可比性：每列中各種水平出現(xiàn)的次數(shù)相同；

(ii)均衡搭配性：任意兩列中橫向間所有各種“數(shù)對”出現(xiàn)的次數(shù)相同，且各種搭配都出現(xiàn)，是全面搭配，一般分類同水平的正交表、混合正交表以及交互作用列表三大類[1-2].關于正交表的構造，在正交拉丁方的基礎上運用組合數(shù)學理論而形成，參見文獻[2].

2.2.2正交試驗方案

正交試驗設計的任務之一是用正交表確定試驗方案.對于問題，關心的導彈射程，所考察四個因素(假定因素間無交互作用)

要尋找影響導彈射程的主要因素，需要用正交表安排試驗：

(i)選一張合適的正交表：在三水平正交表中考慮，如用L9(34)(也可用L27(313)[2])；

(ii)表頭設計：將因素A，B，C，D依次填入L9(34)的1~4列上(原則上是隨機填入)，各因素的水平與L9(34)中因素所在列的水平對應起來，得表2.這就完成了表頭設計(注：此處是無交互作用情形的表頭設計).由此表確定了試驗方案，即從全面試驗的81次中只選9次進行試驗，如第6號試驗條件：

表3　正交表L9(34)實施方案

一旦試驗方案確定，嚴格按各號試驗條件進行試驗，得表3，最右側的導彈射程數(shù)據(jù)yi，i=1，2，…，9.

表4　由正交表L9(34)實施的導彈射程試驗

圖1　L9(34)正交表試驗方案的示意圖

2.2.3正交試驗方案的合理性解釋

用正交表制定試驗方案，可大大減少試驗次數(shù)，且試驗點具有很好的代表性.例如：對于問題一中，假設只考慮三個因素A，B，C(假定因素之間無交互作用)的影響，每個因素各取三個水平，分別記為

A: A1，A2，A3； B: B1，B2，B3；C: C1，C2，C3

決定進行試驗以尋找較好組合方式.若進行全面試驗需做33=27次試驗，如圖1所示立方體上的各條線的交點表示了這27個試驗條件.若用正交表安排試驗，選L9(34)較合適，如用L9(34)的前三列分別安排因素A，B，C，則只需安排9次試驗，且這9個試驗點“·”很均勻地分布在立方體的各個部位，可以說是面面俱到，線線俱到.在上、中、下，左、中、右，前、中、后的九個面的每個面上均衡整齊地分布著三個試驗點，在27條線上，每條線上分布一個試驗點，非常均勻.這是正交表的兩個特征所決定的，可以說用正交表安排的這9個試驗點能很好地代表27個試驗點[3].

3正交試驗的數(shù)據(jù)分析——極差分析法

對于導彈射程評估的正交試驗方案下的試驗數(shù)據(jù)(見表3的最右側)，隨后進行數(shù)據(jù)分析以獲得最優(yōu)決策，常用方法有極差分析法與方差分析法[1].極差分析法：直觀、簡單，但過于粗糙，未能深入考慮試驗誤差的大小；方差分析法：結論更精確，但理論深刻，計算量稍大.下面僅討論極差分析法[4].

3.1　數(shù)據(jù)計算

將問題中實彈測試的結果(見表3)y1，y2，…，y9按每列的同水平分別求和，得到數(shù)據(jù)和Ij，IIj，IIIj(對應第j列的“1”，“2”，“3”水平)，并計算極差

Rj?max{Ij，IIj，IIIj}-min{Ij，IIj，IIIj}，j=1，2，3，4

得到極差分析數(shù)據(jù)表4.

表5　極差分析數(shù)據(jù)表

3.2　試驗因素分析及最優(yōu)組合方式

首先指出：提高導彈射程(指標yi)是試驗的目的，yi越大越好.

關于數(shù)據(jù)和Ij，IIj，IIIj及極差Rj的直觀分析(以j=1為例).

I1反映因素A(第1列所排因素)的“1”水平的三次作用及其它因素(B，C，D)各水平的一次作用；II1反映因素A的“2”水平的三次作用及其它因素各水平的一次作用；III1反映因素A的“3”水平的三次作用及其它因素各水平的一次作用.由此可以認為：

B，C，D三個因素對I1，II1，III1的作用大體相同；I1，II1，III1之間的差異主要由因素A的水平不同所致，且大者為好；R1反映了A的水平變動對導彈射程影響的大小.

同理，I2，II2，III2，R2反映因素B(第2列所排因素)的情況；I3，II3，III3，R3反映因素C(第3列所排因素)的情況；I4，II4，III4，R4反映因素D(第4列所排因素)的情況.分析結論：

(i)因素對導彈射程影響的主次

由Rj(j=1，2，3，4)這一行知作用大小：

B，D，C，A

即燃料(因素B)和空間環(huán)境(D)最重要，其次射向(C)，而推進器(A)就不太重要了.

(ii)找出較好的生產(chǎn)工藝條件

由各因素的重要地位及Ij，IIj，IIIj，可得較好的組合方式為：

A1B3C3D1

(iii)各因素的水平改變時，指標的變化趨勢：

可用因素—指標圖描述：對每個因素，以指標(用Ij，IIj，IIIj表示)為縱坐標，因素的水平為橫坐標，描點，并連成折線，如圖2.

(iv)若希望進一步提高導彈射程，可由圖2再做探索性試驗.

圖2　因素-指標圖

3.3　導彈射程試驗評估基本步驟

導彈射程評估的試驗設計方法的基本步驟如下：

Step 1：定試驗指標、確定因素、選水平；

Step 2：選用適當?shù)恼槐?，表頭設計，確定試驗方案；

Step 3：嚴格按條件做試驗，并記錄試驗結果；

Step 4：計算各列的同一水平的數(shù)據(jù)和與極差；

Step 5：按極差大小排出因素的主次；

Step 6：選取較好的組合方式；

Step 7：進行驗證性試驗，做進一步分析.

4結論

本文將正交試驗設計的教學內容應用于導彈武器射程評估的實際鑒定中，通過對影響導彈武器射程影響的分析，在確定的水平條件下，進行正交試驗設計，得到較好的組合方式.結合理論分析和仿真案例，回答了多因素水平下的導彈射程試驗評估問題.正交試驗設計方法能很好地解決如下問題：

(i)指出了導彈武器射程評估中影響其射程的各因素的主次關系，并進行了排序分析；

(ii)通過不同的組合方式，結合正交試驗，得到了最優(yōu)的因素間的組合模式；

(iii)利用因素-射程圖能指出因素與射程的關系，即每個因素水平的改變，導彈射程是怎樣變化的；

(iv)利用因素-射程圖還可探索進一步試驗的方向.

值得注意的是，本文僅考慮了各因素間無交互作用下的正交試驗設計方法.然而，在實際應用中，往往存在各因素交互作用，此時的試驗設計方案需要進一步分析和研究.

[參考文獻]

[1]吳翊， 李永樂， 胡慶軍. 應用數(shù)理統(tǒng)計[M]. 長沙:國防科技大學出版社，1995.

[2]子胥. 正交表的構造[M]. 濟南: 山東人民出版社， 1978.

[3]趙選民. 試驗設計方法[M]. 北京: 科學出版社， 2010.

[4]任露泉. 試驗設計及其優(yōu)化[M]. 北京:科學出版社， 2009.

Multi-Factor Orthogonal Experiment Design for

Missile Weapon’s Range Evaluation

HUQing-jun，WANGJiong-qi

(Department of Mathematics and System Science， College of Science，

National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:Teaching ideology， teaching mode and method based on problem driven is the trend for the current teaching innovation and development. Taking the evaluation for missile range as the research object， the course teaching for orthogonal experiment design and its application is discussed in this paper. Firstly， the influence factor for missile range is analyzed， and then the orthogonal experiment is designed under the given test levels. Moreover， the optimum combination mode is obtained based on the relationship between factor and index. Multi-factor and multi-level experiment evaluation is researched both from theory analysis and simulation. The problem-driven teaching mode is propitious to enhance study interest and enthusiasm. Besides， the cogitation and comprehension ability can also be strengthened.

Key words:problem driven; experiment design; multi-factor; missile range

[基金項目]國防科技大學研究生數(shù)學公共課一流課程體系建設項目

[收稿日期]2014-10-16

[中圖分類號]G642.0

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0066-06