劉秀芹，馬　亮，李　娜

(1.北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083;　2.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院應(yīng)用數(shù)學(xué)所，北京100190;

3. 中國科學(xué)院動(dòng)物研究所，北京100101)

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案例教學(xué)在《應(yīng)用隨機(jī)過程》中的探索和實(shí)踐

劉秀芹1，馬亮2， 3，李娜1

(1.北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083;2.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院應(yīng)用數(shù)學(xué)所，北京100190;

3. 中國科學(xué)院動(dòng)物研究所，北京100101)

[摘要]通過C-K方程在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應(yīng)用的角度對(duì)案例教學(xué)法進(jìn)行了探索和實(shí)踐，并在此基礎(chǔ)上對(duì)應(yīng)用隨機(jī)過程的教學(xué)進(jìn)行了幾點(diǎn)粗略的探討.

[關(guān)鍵詞]案例教學(xué); C-K方程; 馬氏鏈; 系統(tǒng)發(fā)育

1引言

應(yīng)用隨機(jī)過程是一門即抽象又與實(shí)際緊密結(jié)合的學(xué)科.筆者在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)隨機(jī)過程在實(shí)際中的應(yīng)用，并結(jié)合自身的科研工作情況，把隨機(jī)過程在科技前沿中的應(yīng)用案例引入到日常教學(xué)過程中來，不但豐富了教學(xué)內(nèi)容，擴(kuò)大了課堂信息量，而且激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了學(xué)生對(duì)抽象理論的理解能力，使學(xué)生的思維得到不斷攀升.下面僅以切普曼—柯爾莫格洛夫方程的教學(xué)為例，在隨機(jī)過程講解過程中進(jìn)行案例教學(xué)法的探索和實(shí)踐.

2切普曼—柯爾莫格洛夫方程的概念及其在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應(yīng)用

齊次馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣是描述馬爾可夫鏈概率分布的最重要的內(nèi)容，而切普曼—柯爾莫格洛夫方程是求解轉(zhuǎn)移概率矩陣的橋梁.

2.1　切普曼—柯爾莫格洛夫方程

設(shè){X(t)， t≥0}是連續(xù)時(shí)間齊次馬爾可夫鏈，以下簡稱馬氏鏈，pij(t)是該馬氏鏈由狀態(tài)i經(jīng)過t時(shí)間轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率，對(duì)任意的s， t，它滿足

稱之為連續(xù)時(shí)間齊次馬氏鏈的切普曼—柯爾莫格洛夫方程，簡稱為C-K方程[1].

目前《應(yīng)用隨機(jī)過程》的教材中很少提及這一抽象方程在實(shí)際中的應(yīng)用，筆者在進(jìn)行數(shù)學(xué)與生物交叉學(xué)科的研究過程中發(fā)現(xiàn)了C-K方程在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應(yīng)用這一精彩案例.在應(yīng)用隨機(jī)過程的講解過程中采用首先引入抽象的數(shù)學(xué)公式，然后結(jié)合該公式在實(shí)際中的應(yīng)用這一導(dǎo)入式教學(xué)法，從而進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)這一公式的理解，起到了很好的教學(xué)效果.

2.2　C-K方程在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應(yīng)用[2]

生物學(xué)家是如何推斷人類、黑猩猩、大猩猩之間的系譜關(guān)系的呢？

我們知道生物的DNA與RNA序列承載著遺傳物質(zhì)，直觀來講，兩個(gè)物種之間親緣關(guān)系越近，他們相應(yīng)的DNA或者RNA序列的差異越小.下面使用人類和猩猩的線粒體12S rRNA數(shù)據(jù)舉例說明如何計(jì)算兩個(gè)物種之間的距離.

經(jīng)過對(duì)人類和猩猩的線粒體基因組12S rRNA序列比對(duì)(見圖1)，計(jì)算出總的位點(diǎn)數(shù)和錯(cuò)配的數(shù)量分別為n=948和x=90.

圖1　序列比對(duì)示意圖

如果假設(shè)物種變異的速率是固定不變的，那么兩個(gè)物種分化的時(shí)間越長，他們序列中有差異的位點(diǎn)越多，相應(yīng)地，他們之間的遺傳距離也應(yīng)該越遠(yuǎn)，從而定義如下距離，即配對(duì)距離(又稱為錯(cuò)配概率).

但是錯(cuò)配距離忽略了以下的情況：

圖2　物種序列演變示意圖

如圖2可見一條祖先序列分化為兩條子序列，在整個(gè)進(jìn)化過程中發(fā)生了10次堿基替代，但是在兩個(gè)后代序列中只能觀測(cè)到兩個(gè)堿基的變異.

為了考慮不可觀測(cè)的堿基變異，下面用馬氏鏈模型來描述物種的演化過程，即把每個(gè)位點(diǎn)隨著時(shí)間的變化看成一個(gè)連續(xù)時(shí)間有限狀態(tài)馬氏鏈{X(t)， t≥0}，其狀態(tài)空間為S={T，C，A，G}，設(shè)它的轉(zhuǎn)移概率矩陣為，

馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率滿足切普曼—柯爾莫格洛夫方程：

圖3　C-K方程時(shí)間狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖

馬氏鏈模型是如何把不可觀測(cè)的堿基變異(圖2)也考慮在內(nèi)的呢？這主要是因?yàn)轳R氏鏈從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率囊括了所有可能發(fā)生的進(jìn)化過程(如圖3所示).

在一定條件下，從C-K方程出發(fā)可以推出轉(zhuǎn)移概率滿足柯爾莫哥洛夫向前和向后方程，

P′(t)=P(t)Q和 P′(t)=QP(t)

(1)

其中Q=(qij)n×n為狀態(tài)之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率矩陣，qij為狀態(tài)i替換為狀態(tài)j的瞬時(shí)速率.1969年JukesandCantor[3]給出了一類簡單的核苷酸替代模型JC69(式(2)所示)，假設(shè)四種堿基有相同的替代速率，

TCAG

(2)

其中qijΔt表示在很短的時(shí)間Δt內(nèi)狀態(tài)i轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)j的概率.(1)式的解為

TCAG

(3)

其中

那么我們?nèi)绾伟堰@個(gè)模型應(yīng)用于矯正兩個(gè)物種序列之間的距離呢？

顯然此馬爾可夫鏈的極限分布為

在應(yīng)用與計(jì)算物種間距離的時(shí)候，我們一般總是假設(shè)過程已經(jīng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài).

假設(shè)兩條序列從一個(gè)共同祖先發(fā)生分歧，經(jīng)過t/2時(shí)間演化到現(xiàn)在的狀態(tài)(圖4 左)，可是我們實(shí)際并不知道祖先的狀態(tài).由于轉(zhuǎn)移矩陣以及極限分布的對(duì)稱性，此馬爾可夫鏈?zhǔn)菚r(shí)間可逆的，即對(duì)于t≥0，?i，j∈S有

πipij(t)=πjpji(t).

圖4

因此我們可以把一條序列視作另一序列的祖先，而把實(shí)際的祖先作為中間點(diǎn)，利用C-K方程遍歷其所有可能狀態(tài)(圖4右)，

下面估計(jì)兩條序列之間的距離，從(2)式可見任意一個(gè)堿基被其他三種堿基替代的速率總和為3λ，由此兩個(gè)序列之間的距離可表示為d=3λt， 從而λ=d/3t.

從式(3)可知，兩條序列中的堿基變化的概率為

解得

基于物種的線粒體rRNA序列，使用上述方法計(jì)算下列物種間的距離矩陣(表1)，從表1可以看到，人類和黑猩猩最近，首先把這兩個(gè)物種看成一類(A)，使用這一類中各物種與其他類中物種的距離的算數(shù)平均值表示類A和其他物種之間的距離(表2).

表1 各物種之間的距離1.人類2.黑猩猩0.09653.大猩猩0.11400.11804.猩猩0.18490.20090.19471.人類2.黑猩猩3.猩猩

表2 各類之間的距離A大猩猩0.116猩 猩0.19290.1947A大猩猩

如此下去，就構(gòu)建出了他們之間的系統(tǒng)發(fā)育關(guān)系(圖5)

圖5　各物種之間的系統(tǒng)發(fā)育樹及示意圖

相比于離散時(shí)間馬爾可夫鏈，連續(xù)時(shí)間馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率及C-K方程的概念更加抽象，計(jì)算也更加復(fù)雜.通過結(jié)合C-K方程在進(jìn)化生物學(xué)中推斷系統(tǒng)發(fā)育樹方面的應(yīng)用來將抽象的概念具象化，從而加深學(xué)生在學(xué)習(xí)中的理解.

3應(yīng)用隨機(jī)過程教學(xué)中的幾點(diǎn)探討

3.1　注重由淺入深，結(jié)合實(shí)際背景講解基本概念

隨機(jī)過程是研究自然界中隨機(jī)現(xiàn)象變化過程的一門學(xué)科，它在金融、通信、生物、控制等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.由于研究對(duì)象隨機(jī)性、復(fù)雜性的特點(diǎn)，隨機(jī)過程的概念相對(duì)比較抽象.在講解過程中注重由淺入深，以最樸素的語言介紹隨機(jī)過程的基本理論和分析方法，通過大量精選例題使學(xué)生能夠比較容易的理解隨機(jī)過程的基本概念；采用形象生動(dòng)的圖形展現(xiàn)隨機(jī)過程的一些關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)(例如，隨機(jī)過程的樣本曲線，柯爾莫哥洛夫前進(jìn)后退方程的時(shí)間狀態(tài)對(duì)應(yīng)示意圖等)；講解基本概念時(shí)通常可以將其與具體的應(yīng)用實(shí)例結(jié)合起來，使學(xué)生更容易接受.例如，對(duì)隨機(jī)過程定義的講解，可以結(jié)合具體的實(shí)例，如生物種群的增長問題，手機(jī)接收到的電話次數(shù)問題，超市的客流量問題等；再如講到泊松過程的時(shí)候，可以結(jié)合某盞燈更換燈管的數(shù)量；而復(fù)合泊松過程的講解可以結(jié)合乘飛機(jī)抵達(dá)機(jī)場(chǎng)的乘客人數(shù)，保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)儲(chǔ)備金數(shù)量等.

3.2　從案例整合和結(jié)合前沿方面構(gòu)建課程內(nèi)容

任課教師應(yīng)該結(jié)合自己的科研情況，把隨機(jī)過程在科技前沿中的應(yīng)用引入到教學(xué)過程中，只有充分考慮當(dāng)前科學(xué)綜合、交叉、滲透的發(fā)展趨勢(shì)，做到教學(xué)內(nèi)容不僅能幫助學(xué)生理解隨機(jī)過程最本質(zhì)的東西，而且能了解各種基本規(guī)律之間，各分支之間的聯(lián)系，同時(shí)，將一些知識(shí)點(diǎn)組合成為案例，通過研究者的思想、語言和方法，集中傳遞科學(xué)思想.把反映當(dāng)前科學(xué)前沿的內(nèi)容整合到教學(xué)中，給學(xué)生逐步走向科技前沿起引領(lǐng)作用.

4小結(jié)

在應(yīng)用隨機(jī)過程教學(xué)過程中盡量穿插一些它在交叉學(xué)科中的應(yīng)用的實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生的“應(yīng)用意識(shí)”[4]，從而達(dá)到為國家輸送高質(zhì)量的優(yōu)秀人才的目的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]林元烈.應(yīng)用隨機(jī)過程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[2]Ziheng Yang. Computational Molecular Evolution[M].Oxford: Oxford University Press， 2006.

[3]Jukes TH, Cantor CR. Evolution of protein molecules[M]∥ln H. N. Munro(Ed). Mammalian protein metabolism. New York: Academic, 1969:21-132.

[4]劉秀芹，趙金玲，范玉妹.剖析馬氏鏈平穩(wěn)分布的講解——談《應(yīng)用隨機(jī)過程》教學(xué)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2011， 27(4):199-202.

Exploration and Practice of Case Teaching in Applied Stochastic Process

LiuXiu-qin1，MaLiang2，3，LiNa1

(1.College of mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083,China;

2. Institute of applied mathematics， AMSS，CAS， Beijing 100190, China;

3.Institute of zoology， CAS， Beijing 100101, China)

Abstract:We have some exploration and practice of case teaching from the point of view of the application of C-K equation in inferring phylogenetic tree， and then give a simple discussion on the teaching of Applied Stochastic Process.

Key words:Case Teaching; C-K equation; Markov Chain; phylogenetic tree

[基金項(xiàng)目]北京科技大學(xué)研究型教學(xué)示范課項(xiàng)目(KC2014YJX36)；北京科技大學(xué)研究生教育發(fā)展基金；北京科技大學(xué)教研基金(JG2012M38)

[收稿日期]2015-01-03

[中圖分類號(hào)]O211.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0101-05