一類乘積形式積分因子的存在條件及應(yīng)用*

李耀紅, 彭穎

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 宿州 234000)

摘要：討論了一階常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子問題,給出了方程具有一類形如f(axα+bxsyt+cyβ)g(dxmyn)乘積形式積分因子的充要條件，并結(jié)合實(shí)例說明其應(yīng)用，該結(jié)果推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：一階常微分方程；乘積形式積分因子；充要條件；應(yīng)用

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.011

收稿日期：2015-05-16；修回日期：2015-06-20.

基金項(xiàng)目：*安徽省省級(jí)綜合改革數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)項(xiàng)目(2012ZY46)；宿州學(xué)院綜合理科實(shí)踐教育基地項(xiàng)目(SZXYSJJD201205).

作者簡(jiǎn)介：李耀紅(1978-)，男，湖北武漢市人，副教授，碩士，從事泛函分析研究.

中圖分類號(hào)：O175.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

全微分方程是一階常微分方程中一類重要的方程，其求解方便快捷.通常只要判定某個(gè)一階微分方程為全微分方程，其通解就能直接給出.因此尋找一階常微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

(1)

的積分因子μ(x,y)，使得一階常微分方程μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0成為全微分方程，是一種求解方程(1)簡(jiǎn)單有效的方法.

對(duì)一些具有特殊形式的簡(jiǎn)單積分因子存在性條件，文獻(xiàn)[1-3]進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[4-7]則對(duì)一些復(fù)合型積分因子的存在性定理和計(jì)算公式進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[8-10]討論了幾類具有乘積形式的積分因子的問題求解.結(jié)合上述文獻(xiàn)的研究結(jié)果，此處討論方程(1)具有一類形如

f(axα+bxsyt+cyβ)g(dxmyn)

(2)

乘積形式積分因子存在的充要條件,并結(jié)合實(shí)例說明上述形式積分因子的求解.

1主要定理

引理1[1]連續(xù)可微函數(shù)μ(x,y)≠0為方程(1)的積分因子的充要條件是 (μM)y=(μN(yùn))x.

定理1方程(1)具有形如式(2)的混合型積分因子的充要條件是

(3)

其中a,b,c,d,α,β,s,t,m,n是任意常數(shù)，且z1=axα+bxsyt+cyβ,z2=dxmyn.

證明由引理1知，式(2)是方程(1)乘積形式積分因子的充要條件是(fgM)y=(fgN)x，即有fygM+fgyM+fgMy=fxgN+fgxN+fgNx,故有

整理后立即得式(3)，于是定理1得證.

注1在定理1中,若令b=0，d=1,即得文獻(xiàn)[8]的定理1；若令g(z2)=1，即得文獻(xiàn)[10]的定理1，且進(jìn)一步令a=c=1,b=0,可得文獻(xiàn)[2]的定理1.故此處定理1推廣了相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)果.

推論1若存在函數(shù)F(z1)使得等式

下面給出方程(1)具有形如式(2)的乘積形式積分因子的求解方法.

定理2若方程

g(z2)M(x,y)dx+g(z2)N(x,y)dy=0

(4)

滿足

(5)

證明由推論1 直接可得結(jié)果,證明過程從略.

注2將式(5)重新整理可得

(6)

觀察可知,通過選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)F(z1)使得式(6)右端僅為與z2相關(guān)的函數(shù),從而可確定出函數(shù)f(z1),進(jìn)而求出原方程對(duì)應(yīng)的積分因子.

從注2中可以得到求乘積形式積分因子(2)的具體求法,即簡(jiǎn)化為如下兩個(gè)步驟完成：

1) 從滿足式(5)的充要條件表達(dá)式中推導(dǎo)出函數(shù)g(z2)應(yīng)滿足的關(guān)系式,選取恰當(dāng)?shù)腇(z1),確定出g(z2)；

2) 求方程(4)中具有形如f(z1)的積分因子，進(jìn)而確定方程(1)的積分因子f(z1)g(z2).

2應(yīng)用舉例

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Existence Condition of Integral Factor of the Product Form and Its Application

LI Yao-hong,PENG Ying

(School of Mathematics and Statistics,Suzhou University,Anhui Suzhou 234000,China)

Abstract：This paper discusses the problem of integral factor for first order differential equation M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,and gives a sufficient and necessary condition of integral factor of the product form of f(axα+bxsyt+cyβ)g(dxmyn). The application of this method is illustrated by example. Moreover,the result obtained amplifies the conclusions in the relevant reference.

Key words： first order differential equations; integral factor of the product form; sufficient and necessary condition; application