關(guān)于k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象的不動(dòng)點(diǎn)問題*

羅光耀1, 龔黔芬2

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,重慶 400067)

摘要：介紹了一類新的k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象,舉例說明了該類映象的存在性,并在Hilbert空間中建立嚴(yán)格偽擴(kuò)展映象的不動(dòng)點(diǎn)與變分不等式問題解集的等價(jià)關(guān)系. 利用該等價(jià)關(guān)系和求解變分不等式問題的投影技巧、預(yù)解算子技巧和松弛迭代等方法,可以研究逼近k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)值方法.

關(guān)鍵詞：非擴(kuò)展映象;k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象;不動(dòng)點(diǎn);變分不等式;Hilbert空間

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.017

收稿日期：2015-06-15；修回日期：2015-07-16.

基金項(xiàng)目：*重慶市自然科學(xué)

作者簡(jiǎn)介：羅光耀(1956-)，男，重慶人，講師，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究.

中圖分類號(hào)：O117.91文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

(1)

從文獻(xiàn)[1]可知,式(1)等價(jià)于

稱T:C→C為k-嚴(yán)格偽壓縮映象[2],如果存在常數(shù)k∈[0,1),使得

(2)

(3)

顯然,每一個(gè)非擴(kuò)展映象都是擬非擴(kuò)張映象且0-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象,但其逆命題并不成立.所以,k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象是非擴(kuò)展映象的推廣形式. 此處以Fix(T)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集合,即Fix(T)={x∈C,Tx=x}.

不動(dòng)點(diǎn)理論是現(xiàn)代非線性分析的重要組成部分,廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)決策、最優(yōu)化理論、算子理論、數(shù)值分析和動(dòng)力系統(tǒng)等經(jīng)濟(jì)和工程技術(shù)領(lǐng)域. 近年來(lái),非線性映象的不動(dòng)點(diǎn)定理及其逼近算法引起了數(shù)學(xué)研究者的極大興趣,他們努力尋求各種關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)問題的數(shù)值算法、變分不等式、平衡問題和鞍點(diǎn)問題等,并獲得了一系列很好的研究成果[2-13].文章目的是在Hilbert空間中建立k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象的不動(dòng)點(diǎn)與不等式問題解的等價(jià)關(guān)系,為進(jìn)一步探索變分不等式和平衡問題的數(shù)值解提供必要的理論基礎(chǔ).

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)C為Hilbert空間H的一個(gè)非空閉凸子集,A:C→H為一非線性映象. 考慮如下變分不等式問題: 求一點(diǎn)x∈C,使得

(4)

用VI(C,A)表示變分不等式問題(4)的解集. 對(duì)任意x∈H,在C中存在唯一的最近點(diǎn)Pcx,即

稱PC為H到C上的度量投影. 從文獻(xiàn)[5]可知,PC是非擴(kuò)張的,且u=PCx的充分必要條件是

稱映象A:C→H是α-逆強(qiáng)單調(diào)的,如果存在常數(shù)α>0,使得

現(xiàn)舉例說明該類推廣的k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象及其不動(dòng)點(diǎn)問題的存在性.

例1[7]設(shè)R表示實(shí)數(shù)集,如下定義映象T:R→R，

不難驗(yàn)證,T是k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象,卻不是非擴(kuò)展映象且Fix(T)=(-∞,0].

所以,對(duì)任意k∈[0,1),使得

由于x∈[-1,0],y∈[0,1],則

因此,T:C→C是k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象且Fix(T)={1}.

2主要結(jié)果

定理1設(shè)C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,T:C→C為k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象且Fix(T)≠?,則Fix(T)=VI(C,I-T).

證明記A=I-T,取p∈Fix(T),即p=Tp(Ap=0),則

即p∈VI(C,A),進(jìn)一步得Fix(T)?VI(C,I-T).

另一方面,設(shè)u*∈VI(C,A),即〈(I-T)u*,v-u*〉≥0,?v∈C，且

整理得

即u*∈Fix(T),進(jìn)一步得VI(C,I-T)?Fix(T) . 因此,Fix(T)=VI(C,I-T).

注1定理1建立了k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象的不動(dòng)點(diǎn)和變分不等問題解的等價(jià)關(guān)系,利用該等價(jià)關(guān)系和求解變分不等式問題的投影技巧、預(yù)解算子技巧和松弛迭代等方法,可進(jìn)一步研究逼近k-嚴(yán)格偽非擴(kuò)展映象不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)值算法和收斂分析等問題.

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On Fixed Point Problem ofk-strictly Pseudononspreading Mapping

LUO Guang-yao,GONG Qian-fen

(1.School of Mathematics and Statistics,Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,

China; 2. School of Computer Science and Information Engineering,Chongqing Technology and Business

University,Chongqing 400067,China)

Abstract：This paper introduces a class of new k-strictly pseudononspreading mappings with some examples in Hilbert space. Equivalence between the fixed point problem of strictly pseudononspreading mapping and variational inequality is established. This alternative equivalent formulation can be used to analyze some numerical methods for finding a fixed point of pseudononspreading mapping based on the current technique such as projection,resolvent operator and relaxed iteration.

Key words： nonspreading mapping; k-strictly pseudononspreading mapping; fixed point; variational inequality; Hilbert space