附有免賠額特約條款的汽車車身險鞅方法定價*

朱丹

(湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 基礎(chǔ)課部,長沙 410205)

摘要：在假定汽車車身事故損失服從正態(tài)分布模型下，利用Martingale Pricing方法推導(dǎo)出附有免賠額特約條款的汽車車身險的定價公式．

關(guān)鍵詞：免賠額特約條款；障礙期權(quán)；鞅測度；風(fēng)險中性定價；Girsanov定理

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.016

收稿日期：2015-05-06；修回日期：2015-06-20.

基金項目：*湖南省科技廳軟科學(xué)基金(2011ZK3101)；湖南財政經(jīng)濟學(xué)院院級課題(K201101).

作者簡介：朱丹(1973-),女，湖南衡陽人,副教授,碩士,從事數(shù)理金融研究.

中圖分類號：F830.9;O211.63文獻標志碼：A

免賠額是指在保險合同中規(guī)定的損失在一定限度內(nèi)保險人不負賠償責(zé)任的額度，國內(nèi)多數(shù)財產(chǎn)險公司的車損險條款中均有關(guān)于免賠額的具體規(guī)定．一般而言，投保人可根據(jù)自己的駕駛技能、經(jīng)濟實力、汽車狀況，自由選擇免賠額，高免賠額低繳保費,低免賠額高繳保費，從而實現(xiàn)權(quán)利和義務(wù)的對等．對保險公司而言，免賠額條款的設(shè)定顯然可以減少小額索賠的費用支出.因此，車損險實行免賠額條款實現(xiàn)了客戶與保險公司的雙贏，已逐漸為市場和客戶接受．對免賠額汽車車身險保費定價的研究，國內(nèi)多采用保險精算定價方法[1,2]．事實上，保險與期權(quán)有著相似性，二者都是回避風(fēng)險的金融工具．投保人購買保險相當于購買了一個以保險標的為基礎(chǔ)風(fēng)險資產(chǎn)的賣權(quán)，執(zhí)行價格為約定賠償金額，保險費就是該賣權(quán)的價格．在保險有效期內(nèi)，若保險事故發(fā)生并造成標的損失，被保險人就能執(zhí)行賣權(quán)，減少損失額．此處應(yīng)用期權(quán)理論，采用鞅方法定價(即風(fēng)險中性定價)，給出了附有免賠額特約條款的的汽車車身險的保險費價格公式．

1模型的基本假設(shè)及預(yù)備知識

1.1基本假設(shè)

(1)

1.2預(yù)備知識

參考文獻為了得到附有免賠率特約條款的汽車車身險在0時刻的價值表達式，先引入兩個引理,其證明參見[6]．

(2)

(3)

(4)

2附有免賠額特約條款的汽車車身險到期時刻(T)的價值特征

附有免賠額特約條款的汽車車身險在設(shè)置了執(zhí)行價格K(履賠起付價格)的同時，另外又設(shè)置了障礙價格B(常數(shù))，如在保險合約有效期內(nèi)，車身事故損失未曾突破B，則保險合約到期失效；如果突破了B，則附有免賠額特約條款的汽車車身險到期收益與一般保險合約到期收益相同．因此，附有免賠額特約條款的汽車車身險到期時刻T的現(xiàn)金流量為

(5)

一旦附有免賠額特約條款的汽車車身險到期現(xiàn)金流量確定后，其評價模型可根據(jù)Martingale Pricing的方法求解,在風(fēng)險中立下，其價值是到期現(xiàn)金流量期望值的現(xiàn)值，并以無風(fēng)險利率折現(xiàn)．

3附有免賠額特約條款的汽車車身險現(xiàn)在時刻(0)的價格推導(dǎo)

根據(jù)附有免賠額特約條款的汽車車身險到期現(xiàn)金流量CT的定義，它在現(xiàn)在時刻(0)的價值C為

(6)

令式(6)中的第1，2部分為V1，V2，則

(7)

又有

(8)

利用引理1，引理2，類似計算可得

(9)

(10)

將式(8)(9)(10)分別代入式(7)，得到

(11)

(12)

將式(11)(12)分別代入式(6)，最后得到定理1.

定理1附有免賠額特約條款的汽車車身險在現(xiàn)在(0時刻)的價值為

(13)

4結(jié)語

2009年我國已成為全球機動車第一大市場，隨著國內(nèi)汽車市場的逐漸擴大，由此帶來的車險定價問題無疑是急待理論界與實務(wù)界探討的重要課題. 此處在常數(shù)利率下，將無套利定價原理與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的鞅論、隨機微分方程理論結(jié)合起來，得到了附有免賠額特約條款的汽車車身險的定價公式，這是數(shù)學(xué)方法在保費計算問題中的有益嘗試．

參考文獻：

[1] 郁佳敏、郝旭東.索賠額服從對數(shù)正態(tài)分布的車險經(jīng)驗費率精算模型[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，2008,42(11):1836-1838

[2] 趙培臣.一類離散雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率和Lundberg不等式[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,28(5):444-446

[3] 朱丹,楊向群.有跳-擴散違約風(fēng)險的可轉(zhuǎn)換債券的鞅定價[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2010,53(1):165-170

[4] 朱丹.隨即利率下可分離交易的可轉(zhuǎn)換債券定價[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2011,34(2):265-271

[5] 朱丹.附有回售條款的可轉(zhuǎn)換債券的鞅定價[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2005,28(4):23-26

[6] 洛倫茲·格利茨.金融工程學(xué)[M].唐旭,等譯.北京：經(jīng)濟科學(xué)出版社,1998

[7] HE S,WANG J,YAN J. Semimatingale and Stochastic Calculus[M].Baca Batoa: CRC Press，1992

[8] 陳松男.金融工程學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2002

The Martingale Pricing of the Auto Insurance with Deductible Special Provisions

ZHU Dan

(Department of Basic Course,Hunan University of Finance and Economics,Changsha 410205,China)

Abstract：Under the hypothesis that the loss of car accidents is normal distributed,the pricing formula of the auto insurance with deductible special provisions by Martingale approach is deduced.

Key words： deductible special provisions; barrier option; martingale measure; risk-neutral valuation; Girsanov’s theory