ARIMAX模型方法及其應(yīng)用
——重慶城市居民可支配收入與消費支出

程燕

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067)

摘要：可支配收入是影響消費支出的重要因素，主要討論ARIMAX模型及其在人均可支配收入與消費支出關(guān)系上的應(yīng)用.首先將重慶人均可支配收入和消費支出取對數(shù)并且作一階和二階差分序列畫圖，結(jié)合單位根檢驗來判斷其平穩(wěn)性，并且進行協(xié)整檢驗；其次，用最小二乘法估計參數(shù)建立了反應(yīng)重慶城市居民可支配收入與消費支出的ARIMAX模型，并用重慶城市居民人均消費支出和擬合值的擬合圖與其相對誤差百分比不超過9.3%來表明ARIMAX模型用于研究居民消費效果比較理想.

關(guān)鍵詞：ARIMAX模型；協(xié)整檢驗；相對誤差百分比

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.019

收稿日期：2015-04-02；修回日期：2015-05-26.

作者簡介：程燕(1990-)，女，重慶豐都人，碩士研究生，從事經(jīng)濟統(tǒng)計研究.

中圖分類號：F063.2文獻標志碼：A

1ARIMAX模型的理論知識

1976年，Cox和Jenkins采用帶自變量的ARIMAX模型[3]，為平穩(wěn)多元時間序列建模.假設(shè)響應(yīng)序列{yt}和自變量序列{x1t}，{x2t}，…，{xkt}均平穩(wěn)，首先構(gòu)建響應(yīng)序列和自變量序列的回歸模型：

其中，Φi(B)是第i個自變量的自回歸系數(shù)多項式；Θi(B)是第i個自變量的移動平均系數(shù)多項式；li是第i個自變量的延遲階數(shù)；{εt}是回歸殘差序列.

2ARIMAX模型的應(yīng)用

2.1數(shù)據(jù)來源與處理

圖1　重慶城市居民人均可支配收入x t 和人均消費y t序列圖

圖2　重慶城市居民人均可支配收入對數(shù) ln x t和人均消費支出ln y t圖

從圖1和圖2中可以看出，原始數(shù)據(jù)t取對數(shù)后的數(shù)據(jù)均是不平穩(wěn)的，因此，將對數(shù)的一階差分和二階差分作圖(圖3，圖4).

圖3和圖4呈現(xiàn)出一階差分和二階差分均有可能平穩(wěn)，因此，對一階差分和二階差分序列進行平穩(wěn)性檢驗.

圖3　 ln x t和 ln y t

圖4　 2ln x t和 2ln y t圖

2.2ADF檢驗平穩(wěn)性

目前，最常用的平穩(wěn)性[5]統(tǒng)計檢驗法是單位根檢驗[6].文章采用ADF檢驗[7]，在EVIEWS6.0軟件中選視圖/單位根檢驗(View/Unit Root Test)得到結(jié)果，結(jié)合AIC準則、SC準則[8]等選出最優(yōu)的滯后階數(shù)，經(jīng)整理得到單位根檢驗結(jié)果(表1).

表1　重慶城市人均可支配收入與消費支出的ADF單位根檢驗結(jié)果

注：c,t分別表示ADF檢驗中常數(shù)項和趨勢項，k表示檢驗所采用的滯后階數(shù).

表2　 2ln x t和 ln y t的Johansen協(xié)整檢驗(Johansen Co-integration Test)

2.4ARIMAX模型的建立

(1)

圖5　{ ln y t}和{ 2ln x t}的相互關(guān)系圖

從協(xié)相關(guān)圖5中可知，延遲一階的協(xié)相關(guān)系數(shù)顯著非0.回歸模型(1)可以進一步表示為

(2)

對回歸模型(2)中的參數(shù)用最小二乘法估計，回歸模型如下：

(3)

這里對上述回歸模型(3)中的殘差序列εt進行ADF檢驗，形式采用無截距、時間趨勢類型1,檢驗結(jié)果如表3.

表3　殘差 ε t的ADF檢驗

從檢驗結(jié)果來看，殘差序列平穩(wěn)性顯著.考慮殘差序列的性質(zhì)，下面作出殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖(圖6).

圖6　殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖6殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖顯示，相關(guān)和偏自相關(guān)均在2倍標準差[9]范圍內(nèi)，表明殘差序列是白噪聲序列[10]，即歸回模型(3)已經(jīng)提取了大部分信息，回歸模型(3)就是ARIMAX模型.通過建立的ARIMAX模型來看，前期可支配收入新增1單位會使消費支出以0.204 47的新增幅度增加，表明居民消費支出受未來可支配收入的增加幅度影響.對圖6進行擬合，得到擬合圖(圖7).

圖7　重慶城市居民人均消費支出實際 值y t和擬合值y f圖

2.5ARIMAX模型的事后檢驗

利用重慶1985年到2012年城市居民人均可支配收入和消費支出數(shù)據(jù)建立的動態(tài)回歸方程(3)對1989年到2013年重慶市城市居民人均消費支出進行擬合預(yù)測(表4)，為了考察此動態(tài)回歸方程(3)的預(yù)測精度，利用各期相對誤差[11]來測量，其計算公式：

表4　重慶城市居民人均消費支出預(yù)測結(jié)果

通過模型，可以預(yù)測年度誤差絕對百分比都小于9.3%，另外24個年度預(yù)測中平均絕對百分誤差(MAPE)為3.325 295 7%.一般認為MAPE的值低于10%時預(yù)測精度較高，所以模型擬合效果非常好.

3結(jié)論

重慶城市居民人均可支配收入和消費支出是兩個不平穩(wěn)的序列，經(jīng)過取對數(shù)、一階和二階差分后，得知消費支出對數(shù)的一階差分序列是平穩(wěn)序列，人均可支配收入的二階差分序列是平穩(wěn)的.建立了ARIMAX模型，表明重慶城市居民人均消費支出的增加值和前期的人均可支配收入有關(guān).前期可支配收入新增1單位會使消費支出以0.204 47的新增幅度增加，即政府在促進增加當(dāng)期人均可支配收入的同時，還需讓居民看到未來可支配收入增加的幅度，這樣就能在很大程度上促進居民消費支出，促進重慶經(jīng)濟健康發(fā)展.

用建立的ARIMAX模型對1989-2012年消費支出進行擬合，擬合值和實際值的擬合圖表明，ARIMAX模型用于研究居民消費支出的效果比較理想，并且算出2013年的消費支出17 723.757 51元.模型的事后檢驗相對誤差百分比均不超過8%，24個年度預(yù)測中平均絕對百分誤差MAPE為3.325 295 7%也表明ARIMAX模型擬合效果理想.

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ARIMAX Model of Urban Residents’ Disposable Income and ConsumptionExpenditures of Chongqing and Its Application

CHENG Yan

(School of Mathematics and Statistics,Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China)

Abstract：Disposable income is an important factor influencing consumption expenditures. This paper mainly discusses ARIMAX model and its application in the relation between disposable income per capita and consumption expenditures. Firstly the log of disposable income and consumption expenditures of Chongqing is taken and the first-order difference and second-order difference sequence are drawn. The stability is judged by unit root test and is tested by co-integration test. Secondly,the ARIMAX model reflecting urban residents’ disposable income and consumption expenditures of Chongqing is set up by least square estimate. the ARIMAX model shows good performance in research on residents’ consumption effect by the fitting chart of urban residents’ consumption expenditures of Chongqing and the fitted values and the mean absolute percentage error is no more than 9.3%.

Key words： ARIMAX model; co-integration Test; mean absolute percentage error