再談關(guān)于Lp空間的幾種收斂關(guān)系*

聶 東 明

(安徽新華學(xué)院 公共課教學(xué)部,合肥 230088)

摘要：討論了Lp空間弱收斂、強(qiáng)收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，給出了證明，并通過舉例的方式說明了一些定理的特殊情況.

關(guān)鍵詞：強(qiáng)收斂；弱收斂；幾乎處處收斂；依測度收斂

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.014

收稿日期：2015-05-14；修回日期：2015-06-17.

基金項目：*安徽省教育廳自然科學(xué)基金(KJ2013B107);安徽新華學(xué)院自然科研項目(2014zr014).

作者簡介：聶東明(1981-)，男，河南南陽人，講師，碩士，從事微分方程研究.

中圖分類號：O175文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

在實變函數(shù)課程中，如文獻(xiàn)[1，2],Lp空間函數(shù)序列的收斂主要有依測度收斂、幾乎處處收斂，在可積函數(shù)空間中既有強(qiáng)收斂又有弱收斂，這些收斂關(guān)系既相互聯(lián)系又有區(qū)別，關(guān)于這些收斂之間的關(guān)系也有很多作者做出了一些結(jié)果.如文獻(xiàn)[3-5]主要給出Lp空間的強(qiáng)收斂和弱收斂之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[6]給出弱收斂序列的一些性質(zhì).此處討論了序列收斂與積分意義下的強(qiáng)收斂弱收斂之間的關(guān)系.

1幾個預(yù)備知識

定義1 設(shè)f(x)是Ω?Rn的可測函數(shù)，定義Lp范數(shù)為

(1)

定義2設(shè)fn(x)∈Lp(Ω)(n=1,2,…).若存在f(x)∈Lp(Ω)，使得

(2)

(3)

則稱{fn(x)}在Lp(Ω)中弱收斂于f(x).

定義4設(shè){fn(x)}(n∈N),f(x)是Ω上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若對任給的ε>0,有

(4)

則稱{fn(x)}在Ω上依測度收斂于f(x)

定義5{fn(x)}(n∈N),f(x)是Ω上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若存在Ω中點集Z，有

(5)

其中m(Z)=0,則稱{fn(x)}在Ω上幾乎處處收斂于f(x).

注1這些收斂關(guān)系在一定條件下相互聯(lián)系，又有區(qū)分，如知道的結(jié)論有[1,2]

1) 強(qiáng)收斂一定弱收斂，但反之不成立.

3) 依測度收斂但不一定弱收斂.

又函數(shù)列

在[0,1]上依測度收斂于0,但不在Lp([0,1])中弱收斂.

4) 幾乎處處收斂且弱收斂不一定Lp強(qiáng)收斂.如函數(shù)列

在[0,1]上幾乎處處收斂于0,且在L2([0,1])中弱收斂于0,但不是在L2([0,1])意義下收斂.

2弱收斂與強(qiáng)收斂的關(guān)系

熟知在Lp意義下強(qiáng)收斂一定弱收斂，反之不成立，但是弱收斂在一定條件下可以強(qiáng)收斂，如

但該定理對p=1,+∞不成立，例如

但在一維空間R1中，上述結(jié)果可以弱化為

考察

3幾乎處處收斂與Lp強(qiáng)收斂

由定義5的4)知道幾乎處處收斂不一定Lp意義下強(qiáng)收斂,但附加一定條件可得

定理3若1≤p<∞,f(x)∈Lp(Ω),fn∈Lp(Ω)(n=1,2,…)，且有

因此有

所以得出

4幾乎處處收斂與依測度收斂

關(guān)于幾乎處處收斂與依測度收斂有著名的Riesz定理.

定理5設(shè){fn(x)},f(x)為在Ω上幾乎處處有限的可測函數(shù)，且m(Ω)<∞.若{fn(x)}的任一子列中均存在幾乎處處收斂于f(x)的子列，則{fn(x)}在Ω上依測度收斂于f(x).

證明 (反證法) 假設(shè){fn(x)}在Ω上不是依測度收斂于f(x),則存在ε0>0,σ>0,以及{ki},使得

(6)

由此又知{fkij(x)}在Ω上依測度收斂于f(x)，這與式(6)矛盾.定理得證.

參考文獻(xiàn)：

[1] 周民強(qiáng)．實變函數(shù)論[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2008

[2] 程其襄.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2003

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[6] 刑家省.空間Lp中弱收斂序列的一些性質(zhì)[J].河南科學(xué)，2001，19(4):331-336

Several Convergence Relation ofLp Space

NIE Dong-ming

(Department of Public Courses,Anhui Xinhua University,Hefei 230088,China)

Abstract：In this paper，the relations of strong convergence，weak convergence,almost everywhere convergence，convergence in measure in Lp are discussed．In order to explain the special conditions of those theorem，some examples are given.

Key words： strong convergence; weak convergence; almost everywhere convergence; convergence in measure