“數(shù)形結(jié)合”在求電功率中的應(yīng)用

柯 堯

(九江第一中學(xué)江西 九江332000)

摘 要：U-I圖像是恒定電流中的一個(gè)基本圖像，它應(yīng)用廣泛.本文利用數(shù)形結(jié)合的原理探討了其在求非線性元件功率中的應(yīng)用，從而提高學(xué)生利用圖像解決問(wèn)題的能力．

關(guān)鍵詞：U-I圖像數(shù)形結(jié)合非線性元件電功率

收稿日期：(2015-03-13)

在恒定電流中，利用U-I圖像解決實(shí)際問(wèn)題是一種常見(jiàn)的方法與手段，特別是利用交點(diǎn)坐標(biāo)求電功率，更是能體現(xiàn)其獨(dú)到之處．在實(shí)際解題中，大部分學(xué)生會(huì)采用此法，卻不知道其原因，甚至教師在教學(xué)中，也有只能意會(huì)、無(wú)法言傳的困惑．本文通過(guò)數(shù)學(xué)方法論證，解釋交點(diǎn)的物理意義，并通過(guò)幾例將其應(yīng)用進(jìn)一步深化．

1問(wèn)題引入

【例1】(2013高考天津卷第9題)實(shí)驗(yàn)得到小燈泡的伏安特性曲線如圖1所示，如果將這個(gè)燈泡接到電動(dòng)勢(shì)為1.5V，內(nèi)阻為5Ω的電源兩端，小燈泡消耗的功率為多少？

圖1

圖2

解析:這是一道非常典型的利用U-I圖像求功率的題目，大部分考生知道需要在小燈泡的伏安特性曲線圖像上作出電源的外伏安特性曲線，再取其交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)乘積即可得到小燈泡實(shí)際功率．但為什么交點(diǎn)坐標(biāo)乘積表示小燈泡實(shí)際功率呢？要清楚交點(diǎn)的意義并不難，可以這么論證：

通過(guò)電源的電流

I1=f(U)

由閉合電路歐姆定律知

小燈泡電流與電壓的關(guān)系無(wú)具體的表達(dá)式，但可表示為

I2=g(U)

考慮到電源與燈泡串聯(lián)，有

I1=I2

在同一圖像上畫(huà)出f(U)與g(U)的圖線，結(jié)合圖像交點(diǎn)的數(shù)學(xué)意義可知圖線I1=f(U)與I2=g(U)的交點(diǎn)表示小燈泡此時(shí)的實(shí)際電壓和電流，交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積為實(shí)際功率．由于電源電動(dòng)勢(shì)為為1.5V，內(nèi)阻為5Ω，有f(U)=0.3-0.2U，在圖1上作出其圖線，如圖2所示的圖線Ⅱ，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1.0，0.10)，因此小燈泡功率為P=0.1W．

2舉一反三拓展應(yīng)用

變式1:在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，將兩個(gè)此小燈泡串聯(lián)接到該電源上，如圖3，求每個(gè)小燈泡消耗的功率．

圖3

解析:對(duì)于這個(gè)問(wèn)題直接作圖找交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法求出小燈泡的功率，原因是此時(shí)小燈泡的實(shí)際電壓不等于電源的路端電壓．可以用兩種方法來(lái)解此題．

方法一：將兩個(gè)小燈泡等效為一個(gè)小燈泡，畫(huà)出等效小燈泡的伏安特性曲線，設(shè)每個(gè)小燈泡的電壓電流為(U,I),相應(yīng)的等效小燈泡電壓電流為(U′,I′)，顯然有U′=2U，I′=I,在圖2中作出等效小燈泡的伏安特性曲線，如圖4所示的圖線Ⅲ．圖線Ⅲ與電源外伏安特性曲線Ⅱ交點(diǎn)坐標(biāo)為(1.20,0.063)，所以小燈泡的功率為

圖4

方法二：小燈泡電流與電壓的關(guān)系可表示為

I2=g(U)

電源電流與電壓關(guān)系式為

又U′=2UI1=I2

因此，有

P=UI=0.038 4W

圖5

變式2:在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，將2個(gè)此小燈泡并聯(lián)在該電源上，如圖6，求每個(gè)小燈泡消耗的功率．

圖6

解析:同理此問(wèn)題也有兩種解法，即分別將燈泡與電源等效．

方法一：設(shè)每個(gè)小燈泡的電壓電流為(U,I),相應(yīng)的等效小燈泡電壓電流為(U′,I′)，則U′=U,I′=2I．作出等效燈泡伏安特性曲線，如圖7所示的圖線Ⅲ，交點(diǎn)坐標(biāo)(0.75,0.153)表示等效燈泡的實(shí)際工作狀態(tài)，每個(gè)燈泡的功率為

圖7

方法二：燈泡電流與電壓的關(guān)系可表示為

I2=g(U)

電源電流與電壓關(guān)系式為

根據(jù)并聯(lián)的特點(diǎn)知

即

圖8

點(diǎn)評(píng):兩個(gè)燈泡并聯(lián)，電源電流為支路電流兩倍，在理解變式1解法的基礎(chǔ)上，此題的思路應(yīng)該是順理成章、水到渠成．

變式3:(第28屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第10題)有兩個(gè)電阻R1和R2，它們的阻值隨所加電壓的變化而改變，從而它們的伏安特性即電壓和電流不再成正比關(guān)系(這種電阻稱為非線性電阻)．假設(shè)電阻R1和電阻R2的伏安特性圖線分別如圖10所示．現(xiàn)先將這兩個(gè)電阻并聯(lián)，然后接在電動(dòng)勢(shì)E=9.0V，內(nèi)阻r0= 2.0Ω的電源上．試?yán)妙}給的數(shù)據(jù)和圖線在題圖中用作圖法讀得所需的數(shù)據(jù)，進(jìn)而分別求出電阻R1和電阻R2上消耗的功率P1和P2．

圖9

解析:雖然這是一個(gè)競(jìng)賽題，但是如果考生知道利用圖線交點(diǎn)求功率，那么此題難度并不大．前面兩種解法對(duì)這個(gè)題是否都適用呢？顯然這里無(wú)法畫(huà)出等效電源的外伏安特性曲線，只能畫(huà)等效電阻伏安特性曲線．設(shè)兩電阻電壓電流分別為(U1,I1)、(U2,I2)，等效電阻電壓電流為(U3,I3)，由電路特點(diǎn)知：U3=U1=U2，I3=I1+I2，在圖10中作出等效曲線，并作出電源的外伏安特性曲線，如圖11所示，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)知此時(shí)電阻工作電壓為：U1=U2=2.3V，由圖線可得電阻此時(shí)的實(shí)際電流，電阻R1消耗的功率為P1=U1I1=2.5W，電阻R2消耗的功率為

P2=U2I2=4.9W．

圖10

圖11

點(diǎn)評(píng):兩電阻不同，無(wú)法利用函數(shù)解析式的變換畫(huà)出等效電源的特性曲線，需利用等效電阻求出兩電阻的工作電壓，這充分體現(xiàn)了競(jìng)賽題目的靈活性和對(duì)邏輯思維的較高要求．如果將兩電阻串聯(lián)也不難求出其功率．

總之，利用物理規(guī)律建立函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出圖線，以形助數(shù)，借助形中的斜率、截距、交點(diǎn)體現(xiàn)其中的某物理量或某物理狀態(tài)，這是解決物理問(wèn)題的基本方法之一，也符合考綱中對(duì)運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像分析問(wèn)題能力的要求．

參 考 文 獻(xiàn)

1杭慶祥.U-I圖像中交點(diǎn)意義的解釋.物理教師，2012,(4)：19～22