對導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場中極限速度的討論

葛曉東余杰成

(浙江省杭州第二中學(xué)浙江 杭州310053)

摘 要：在中學(xué)物理教材中有這么一類變加速的問題,定性判斷的結(jié)果是物體最終要做勻速運(yùn)動,但是在通過對導(dǎo)體棒在磁場中運(yùn)動情況進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)后得出了一個和常規(guī)理解不同的結(jié)論:勻強(qiáng)磁場中切割磁感線的導(dǎo)體棒有可能無法達(dá)到勻速的狀態(tài), 對這一熟知的結(jié)論進(jìn)行了修正,并且將該結(jié)論推廣到高中其他類似的問題模型中去,比如在機(jī)車啟動中的極限速度問題．

關(guān)鍵詞：安培力電磁感應(yīng)極限速度

收稿日期：(2015-05-12)

1題目

近日做到一道電磁感應(yīng)方面的綜合題:兩條水平虛線之間有垂直于紙面向里，寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．質(zhì)量為m，電阻為R的正方形線圈邊長為L(L

A．線圈可能一直做勻速運(yùn)動

B．線圈可能先加速后減速

圖1

這個解釋乍一看很有道理，但不難看出它只進(jìn)行了定性分析．于是筆者抱著懷疑的態(tài)度進(jìn)行了定量運(yùn)算，證明了它的謬誤并得到了一些副產(chǎn)物．

由于只研究線圈進(jìn)入磁場時的運(yùn)動情況，所以本文將此過程一般化，即轉(zhuǎn)化為一根導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場內(nèi)運(yùn)動的情況．

2引理

先證明一個引理．

引理：在有限的時間內(nèi)，一個加速度a數(shù)值和速度v數(shù)值始終成正比的減速直線運(yùn)動的速度不可能減為零．

引理的證明：

設(shè)a=-kv，其中k為大于零的常數(shù)．記初速度為v0(v0>0)．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法：

a=-kv≥-kvn

故

順帶一提，此運(yùn)動的位移是有上界的，證明如下：

于是位移

故位移有上界．

從而易得位移的最小上界

但這不在本文的探究范圍內(nèi).

由于只研究線圈進(jìn)入磁場時的運(yùn)動情況，所以本文將此過程一般化，即轉(zhuǎn)化為一根導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場內(nèi)運(yùn)動的情況．

3討論

3.1導(dǎo)體棒不受安培力以外的力

如圖2，足夠長的水平導(dǎo)軌寬度為L，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒電阻為R，導(dǎo)軌間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．t=0時刻，導(dǎo)體棒開始以初速度v0向右運(yùn)動．

圖2

記某時刻速度為v，則

感生電動勢

ε=BLv

感應(yīng)電流

安培力

加速度

可見導(dǎo)體棒的加速度與其速度成正比！

由引理，導(dǎo)體棒在有限的時間內(nèi)一直做減速運(yùn)動．

導(dǎo)體棒的速度圖像如圖3所示,為指數(shù)曲線,無限趨近于零．

圖3

3.2導(dǎo)體棒受恒定外力

如圖4，足夠長的水平導(dǎo)軌寬度為L，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒電阻為R，導(dǎo)軌間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．t=0時刻，導(dǎo)體棒開始以初速度v0向右運(yùn)動，同時給導(dǎo)體棒施加一個水平向右的恒定外力．

圖4

記某時刻速度為v，分3類情況討論：

感生電動勢

ε=BLv0

感應(yīng)電流

安培力

故導(dǎo)體棒受力平衡，做速度為v0的勻速運(yùn)動．

感生電動勢

ε=BLv0

感應(yīng)電流

安培力

加速度

可見加速度與v′成正比．

由引理，v′在有限時間內(nèi)不能減為零，故導(dǎo)體棒一直做減速運(yùn)動．

通過計(jì)算可得

及位移

若時間足夠長,其速度圖像如圖5所示,為指數(shù)曲線,無限趨近于

圖5

感生電動勢

ε=BLv0

感應(yīng)電流

安培力

加速度

可見加速度與v′成正比．

由引理，v′在有限時間內(nèi)不能減為零，故導(dǎo)體棒一直做加速運(yùn)動．

通過計(jì)算可得

及位移

若時間足夠長,其速度圖像如圖6所示,為指數(shù)曲線,無限趨近于

圖6

綜合上述討論，可知在有限時間內(nèi)，導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況只可能為一直加速、一直減速或一直勻速．

4結(jié)論

以上過程證明了導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動情況不可能為先變速后勻速，故原題中線圈進(jìn)入磁場時的運(yùn)動情況在有限時間內(nèi)不可能是先減速后勻速，所以選項(xiàng)C是錯誤的．

額外的，我們發(fā)現(xiàn)一些題干中有“導(dǎo)體棒經(jīng)過時間t后變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動”或“受恒力的導(dǎo)體棒位移x后變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動”的高中物理題目從嚴(yán)格意義上說均是錯題．

這可真是個有意思的結(jié)論．而且這個結(jié)論應(yīng)該也可以適用機(jī)車恒定功率加速的模型中,按照本文的引理可以知道,機(jī)車只能無限靠近恒速,但是無法達(dá)到最終的勻速運(yùn)動,感興趣的讀者可以加以證明．