陸滬僧

(湖南省醴陵市陸順機(jī)械廠 412200)

一、素?cái)?shù)在數(shù)軸上的排列規(guī)律

1.S(n,p1p2…pr)數(shù)軸

在數(shù)軸的正方向上，去掉最小素?cái)?shù)p1=2的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)，再在余下的整數(shù)點(diǎn)中去掉下一個(gè)素?cái)?shù)p2=3的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)，…，這樣依次做下去,直到去掉pr的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn),稱這樣的數(shù)軸為S(n,p1p2…pr)數(shù)軸.

將S(n,p1p2…pr)數(shù)軸上留下來(lái)的整數(shù)點(diǎn)稱為L(zhǎng)點(diǎn).

2.L(n,p1p2…pr)圖線

表示S(n,p1p2…pr)數(shù)軸L點(diǎn)位置及規(guī)律的圖線，叫L(n,p1p2…pr)圖線.

引進(jìn)定義和定理

定義：設(shè)n是任意實(shí)數(shù)，[n]表示小于n的最大整數(shù)，{n}表示n-[n]，有：[n]=n-{n}.

過(guò)數(shù)軸上任意點(diǎn)n作數(shù)軸的垂線nn0，交L0線于n0，交Q(n,pi)圖線于n1，有：

因?yàn)镾(n,p1p2…pr)數(shù)軸，是在數(shù)軸上，減去前r個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)，加上在減去前r個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)時(shí)重復(fù)減去的點(diǎn);…一直到加上或者減去所有r個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)，而形成的數(shù)軸；

所以L(n,p1p2…pr)圖線，是在表示數(shù)軸的圖線上，減去表示前r個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)的圖線，加上表示在減去前r個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)時(shí)重復(fù)減去的點(diǎn)的圖線;…一直到加上或減去表示所有r個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)的圖線，而形成的圖線.

先求出這些圖線：

數(shù)軸圖線，即L(n,p0)圖線.

L(n,p0)圖線的斜率為1；周期為1.

一元圖線，即Q(n,pi)圖線.

每次取出一個(gè)素?cái)?shù)的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)的位置及規(guī)律的圖線，這些圖線應(yīng)該減去；

以Q(n,5)圖線為例：如圖3.

二元圖線，即Q(n,pipj)圖線.

去掉pi和pj的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)時(shí)，重復(fù)去掉的點(diǎn)位置及規(guī)律的圖線，這些圖線應(yīng)該加上.

以Q(n,3.5)圖線為例：如圖4.

根據(jù)L(n,p1p2…pr)圖線形成的規(guī)律，有：

L(n,p1p2…pr)圖線=數(shù)軸圖線-一元圖線+二元圖線-…+(-1)rr元圖線.

以素?cái)?shù)序號(hào)r=3為例，畫出L(n,2.3.5)圖線，如圖5

同理，可以得到所有的L(n,p1p2…pr)圖線.

而且，L(n,p1p2…pr)圖線的J點(diǎn)與S(n,p1p2…pr)數(shù)軸的L點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),

因此，S(n,p1p2…pr)數(shù)軸L點(diǎn)的位置及規(guī)律，能夠用L(n,p1p2…pr)圖線表示.

3.L(n,p1p2…pr)圖線的特點(diǎn).

(1)L(n,p1p2…pr)圖線的J點(diǎn)與S(n,p1p2…pr)數(shù)軸的L點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；

(2)L(n,p1p2…pr)圖線原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱原點(diǎn)為n×p1p2…pr(n=0,1,2,…)；

(3)L(n,p1p2…pr)為周期圖線，它的周期為p1p2…pr；

二、素?cái)?shù)在對(duì)折數(shù)軸上的排列規(guī)律

1. S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸

將S(2n,p1p2…pr)數(shù)軸沿整點(diǎn)n對(duì)折，對(duì)折后的S(2n,p1p2…pr)數(shù)軸形成的雙層數(shù)軸，稱為S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸.

將S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸從0到折點(diǎn)n的一段稱為上軸，大于n的一段稱為下軸.

在S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸上,如果存在這樣的點(diǎn)：這點(diǎn)的上軸是S(2n,p1p2…pr)數(shù)軸的L點(diǎn)；下軸也是S(2n,p1p2…pr)數(shù)軸的L點(diǎn),這種上下L點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)稱為L(zhǎng)2點(diǎn).

L2點(diǎn)上軸L點(diǎn)的數(shù)值與下軸L點(diǎn)的數(shù)值之和為偶數(shù)2n.如圖6

2. L2(n,p1p2…pr)圖線

表示S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸L2點(diǎn)位置及規(guī)律的圖線，叫L2(n,p1p2…pr)圖線.

同理，L2(n,p1p2…pr)圖線=對(duì)折數(shù)軸圖線-一元圖線+二元圖線-…+(-1)rr元圖線.

畫出對(duì)折數(shù)軸圖線、一元圖線、二元圖線、…、r元圖線.

對(duì)折數(shù)軸圖線：L2(n,p0).

Q2(n,pi)圖線：

Q2(n,pi)圖線分兩種情況：(1)2n能被pi整除，(2)2n不能被pi整除；

(1)2n能被pi整除：

(2)2n不能被pi整除：

Q2(n,pipj)圖線：

因?yàn)镼2(n,pipj)圖線是在去掉pi和pj的一切倍數(shù)時(shí)，重復(fù)去掉的點(diǎn)的位置及規(guī)律的圖線，而pi和pj的一切倍數(shù)的點(diǎn)與Q2(n,pi)圖線和Q2(n,pj)圖線的J點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),所以Q2(n,pipj)圖線的J點(diǎn)是Q2(n,pi)圖線的J點(diǎn)和Q2(n,pj)圖線的J點(diǎn)的重合點(diǎn)；

Q2(n,pipj)圖線的斜率是Q2(n,pi)圖線的斜率×Q2(n,pj)圖線的斜率.

以Q2(59,3.5)為例(n=59，p2=3，p3=5),如圖10.

Q2(59,3.5)圖線的J點(diǎn)是Q2(59,3)圖線的J點(diǎn)和Q2(59,5)圖線的J點(diǎn)的重合點(diǎn).

Q2(59,3.5)圖線的斜率是Q2(59,3)圖線的斜率×Q2(59,5)圖線的斜率.

因此，只要確定Q2(n,pi)的J點(diǎn)和Q2(n,pj)的J點(diǎn)的重合點(diǎn)的位置與Q2(n,pi)的斜率和Q2(n,pj)的斜率，Q2(n,pipj)的圖形就能確定.

Q2(n,pipjpk)圖線：

Q2(n,pipjpk)的J點(diǎn)是Q2(n,pi)的J點(diǎn)、Q2(n,pj)的J點(diǎn)和Q2(n,pk)的J點(diǎn)的重合點(diǎn)；

Q2(n,pipjpk)的斜率為Q2(n,pi)的斜率×Q2(n,pj)的斜率×Q2(n,pk)的斜率.

以Q2(59,3.5.7)為例(n=59，p2=3，p3=5，p4=7),如圖11.

Q2(59,3.5.7)的J點(diǎn)是Q2(59,3)的J點(diǎn)、Q2(59,5)的J點(diǎn)和Q2(59,7)的J點(diǎn)的重合點(diǎn)；

Q2(59,3.5.7)的斜率是Q2(59,3)的斜率×Q2(59,5)的斜率×Q2(59,7)的斜率.

同理，可以得到所有的：對(duì)折數(shù)軸圖線、一元圖線、二元圖線、…、r元圖線.

因?yàn)椋琇2(n,p1p2…pr)圖線=對(duì)折數(shù)軸圖線-一元圖線+二元圖線-…+(-1)rr元圖線，

所以，通過(guò)以上這些圖線的運(yùn)算，可以得到所有L2(n,p1p2…pr)圖線.

以L2(59,2.3.5.7)為例(n=59，p1=2，p2=3，p3=5，p4=7)說(shuō)明圖線的畫法：如圖12.

L2(59,2.3.5.7)由下列圖線形成：

L2(59,2.3.5.7)=L2(59,1)-Q2(59,2)-Q2(59,3)-Q2(59,5)-Q2(59,7)+Q2(59,2.3)+Q2(59,2.5)+Q2(59,2.7)+Q2(59,3.5)+Q2(59,3.7)+Q2(59,5.7)-Q2(59,2.3.5)-Q2(59,2.3.7)-Q2(59,2.5.7)-Q2(59,3.5.7)+Q2(59,2.3.5.7).

L2(59,2.3.5.7)的斜率

3.L2(n,p1p2…pr)圖線的一般形式

根據(jù)L2(n,p1p2…pr)圖線的特點(diǎn)：

(1)L2(n,p1p2…pr)圖線的J點(diǎn)與S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸的L2點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；

(2)L2(n,p1p2…pr)圖線是有間斷點(diǎn)的單線圖線；

(3)因?yàn)檎埸c(diǎn)n被所有去掉的素?cái)?shù)整除，余數(shù)的種類有p1p2…pr種，所以，L2(n,p1p2…pr)圖線有p1p2…pr種；

(4)L2(n,p1p2…pr)圖線原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱原點(diǎn)為n×p1p2…pr(n=0、1、2、…)；

(5)計(jì)算圖線的斜率時(shí)，凡是含pi的所有斜率，斜率的表達(dá)式中都含有分母為pi的分?jǐn)?shù)：

如果折點(diǎn)n能被pi整除，計(jì)算斜率時(shí)，含有pi的所有分?jǐn)?shù)的小數(shù)部分，分子都是1，

如果折點(diǎn)n不能被pi整除，計(jì)算斜率時(shí)，含有pi的所有分?jǐn)?shù)的小數(shù)部分，分子都是2，

(當(dāng)折點(diǎn)n能被pi整除時(shí)，ti=1；當(dāng)折點(diǎn)n不能被pi整除時(shí)，ti=2)；

g.因?yàn)椋簍1恒為1，t2-tr=1或者2，所以，L2(n,p1p2…pr)圖線的斜率種數(shù)為2r-1.

所以，L2(n,p1p2…pr)圖線有一般形式：如圖13.

三、任意大于2的偶數(shù)都是兩素?cái)?shù)之和

因?yàn)長(zhǎng)2(n,p1p2…pr)圖線是周期圖線，所以Cr有最大值.

如果求得Br-Cr的最小值，就可以得到L2(n,p1p2…pr)圖線的J點(diǎn)的最少個(gè)數(shù).

下面求：(1)素?cái)?shù)序號(hào)r為自變量，Cr的最大值；

(2)素?cái)?shù)序號(hào)r為自變量，Br+1-Br的最小值和Br的最小值.

1.素?cái)?shù)序號(hào)r為自變量，Cr的最大值

首先，求Ar+1的最大值.

在L2(n,p0)上依次去掉p1、p2、…、pr的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)，形成L2(n,p1p2…pr)圖線；

(1)如果在去掉pi的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)時(shí)，去掉的J點(diǎn)中包含Ai點(diǎn)，則又會(huì)產(chǎn)生Ai+1點(diǎn)；

(2)如果在去掉pi的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)時(shí)，去掉的J點(diǎn)中不包含Ai點(diǎn)，則Ai點(diǎn)變成Ai+1點(diǎn).

L2(n,p1p2…pr)圖線的0到Ai+1段，在去掉p1p2…pr的一切整數(shù)倍數(shù)的點(diǎn)時(shí)，同時(shí)去掉了每次形成的A1、A2、…、Ar；L2(n,p1p2…pr)圖線的L0線上只有0與Ar+1.如圖15.

得出：素?cái)?shù)序號(hào)r為自變量，Cr的最大值不會(huì)大于r+1.

在平面直角坐標(biāo)上，令x軸為素?cái)?shù)序號(hào)r，y軸為Cr，

則Cr的取值范圍在直線Cr=r+1，斜率為1的斜線的下方，如圖17.

2.素?cái)?shù)序號(hào)r為自變量，Br+1-Br的最小值和Br的最小值.

化簡(jiǎn)上式，提取公因式Br，在化簡(jiǎn)過(guò)程中：

(1)除t1=1以外，令其余ti=2時(shí)，則L2(n,p1p2…pr)圖線的斜率最小，所計(jì)算的Br最??；

因?yàn)楫?dāng)r﹥12時(shí)，上式將會(huì)乘以大于1的數(shù)，

所以，當(dāng)r﹥12時(shí)，Br+1-Br﹥1.

這時(shí)，求Br的值就變成求B12的值.

所以，當(dāng)素?cái)?shù)序號(hào)r=12時(shí)，B12>20.

有：r=12時(shí)，B12>20；r>12時(shí)，Br+1-Br﹥1.

在平面直角坐標(biāo)上，令x軸為素?cái)?shù)序號(hào)r，y軸為Br.

根據(jù)以上結(jié)論，L2(n,p1p2…pr)圖線的Br值的取值范圍在斜率為1，過(guò)點(diǎn)(12,20)的斜線(Br=r+8)的上方.如圖18.

3.比較圖17和圖18，將Br=r+8和Cr=r+1兩條斜線放在同一坐標(biāo)系中，它們是兩條永不相交的平行線，Br的最小值比Cr的最大值至少大于7.如圖19.

因?yàn)?/p>

S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸的L2點(diǎn)與L2(n,p1p2…pr)圖線的J點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以，當(dāng)r>12時(shí)，S2(n,p1p2…pr)數(shù)軸上至少有7對(duì)素?cái)?shù)之和為偶數(shù).

小于1369的偶數(shù)用作圖的方法逐一進(jìn)行證明，也可以用湊數(shù)的方法直接證明.

結(jié)論：任意大于2的偶數(shù)都是兩素?cái)?shù)之和.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳景潤(rùn).初等數(shù)論[M].北京：科學(xué)出版社，1978.