楊玲香　姚斌

摘要：本文根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)，給出了在課程教學(xué)中應(yīng)用隨機(jī)模擬試驗(yàn)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的一個(gè)案例，既加深了學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的理解，也鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：模擬試驗(yàn)；概率統(tǒng)計(jì)；研究性學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）07-0167-02

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)生必修的公共數(shù)學(xué)課之一，它是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。與其他數(shù)學(xué)學(xué)科不同的是，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和思想的深入理解占有極大的比重，解題方法和技巧并不多。而作為概率統(tǒng)計(jì)主要研究對(duì)象的隨機(jī)現(xiàn)象又特別適合進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬。因此，筆者通過(guò)信息技術(shù)開(kāi)展課程研究性學(xué)習(xí)，利用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的編程軟件對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行模擬，制作模擬試驗(yàn)，讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐，可以將課程基礎(chǔ)知識(shí)直觀化，增加課程的趣味性，加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，取得良好的教學(xué)效果。

一、應(yīng)用拋硬幣試驗(yàn)講解概率的頻率定義

在講解隨機(jī)事件的概率這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，涉及到頻率的穩(wěn)定性講解。課堂開(kāi)始時(shí)，首先讓學(xué)生回憶中學(xué)物理上有關(guān)頻率的定義。同學(xué)們很快就異口同聲地說(shuō)出：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。接著，告訴同學(xué)們數(shù)學(xué)上也有關(guān)于頻率的定義，即在相同的條件下將試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，在n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了fA次，fA稱為事件在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)，而比值Rn（A）=fA/n （1） 就稱為事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。

講解了這個(gè)概念以后，可以讓學(xué)生來(lái)觀察一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬試驗(yàn)——拋硬幣試驗(yàn)。在模擬之前，先讓學(xué)生想一想，如果拋一枚硬幣多次，觀察正反面出現(xiàn)的次數(shù)。那么，正面出現(xiàn)的概率應(yīng)為多少？學(xué)生立馬就能通過(guò)直覺(jué)及中學(xué)所學(xué)的簡(jiǎn)單概率知識(shí)就能答出：0.5。

接著，請(qǐng)某位同學(xué)運(yùn)用拋硬幣試驗(yàn)軟件進(jìn)行模擬，讓學(xué)生從直觀上感受不同試驗(yàn)次數(shù)時(shí)正面出現(xiàn)的頻率。

再接著，我說(shuō)歷史上有很多著名的學(xué)者也都做過(guò)拋硬幣試驗(yàn)。他們做的結(jié)果如表1。

顯然，這些學(xué)者所做的結(jié)果也體現(xiàn)了我們所得出的結(jié)論。

有了這些試驗(yàn)結(jié)果做鋪墊，我自然地引出頻率穩(wěn)定性的概念及概率的頻率定義：當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n很大時(shí)，頻率會(huì)穩(wěn)定在某一常數(shù)附近，我們稱這個(gè)常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值，就是我們所求的概率。

頻率方法提供了概率的一個(gè)可供想象的具體值，并且在試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)較大時(shí)，可用于給出頻率的一個(gè)近似值。這個(gè)概念有兩個(gè)關(guān)鍵部分，一個(gè)是試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)要足夠大，另一個(gè)是要得出頻率的穩(wěn)定值。

概念里的試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)足夠大，這是一個(gè)很模糊的字眼，到底多少次是試驗(yàn)次數(shù)足夠大，15000次算不算足夠大呢？如果設(shè)拋硬幣試驗(yàn)的n=15000，統(tǒng)計(jì)正面出現(xiàn)的頻率，讓學(xué)生將這一試驗(yàn)重復(fù)4次，記錄其結(jié)果如表2。

而把概率定義成頻率的穩(wěn)定值，也就是通過(guò)頻率來(lái)估計(jì)概率，可即使在相同的條件下重復(fù)多次試驗(yàn)，得到的頻率值都是不一樣的，這是由隨機(jī)性所決定的，但多次試驗(yàn)時(shí)頻率具有一定的穩(wěn)定性。

這個(gè)概念看似簡(jiǎn)單，但背后卻隱藏著不少疑點(diǎn)，如果僅僅將概念在課堂上簡(jiǎn)單一講便進(jìn)入到后續(xù)內(nèi)容，學(xué)生將會(huì)把這些問(wèn)題遺忘，最終導(dǎo)致課程沒(méi)學(xué)到位。但這些疑點(diǎn)在本次課程中也無(wú)法從根本上解決。因此，課程內(nèi)容講完后，我便給同學(xué)們留了一道家庭作業(yè)，就是希望同學(xué)們能夠通過(guò)所學(xué)的VB程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，自己開(kāi)發(fā)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的拋硬幣模擬試驗(yàn)，并在實(shí)踐中思考概念的疑點(diǎn)。沒(méi)想到，在第二次上課時(shí)，就有兩組同學(xué)主動(dòng)告訴我已完成了模擬試驗(yàn)。兩組同學(xué)的拋硬幣試驗(yàn)，雖然基本原理一樣，但有一個(gè)學(xué)生設(shè)計(jì)的相對(duì)比較簡(jiǎn)單，主要是輸入次數(shù)，然后顯示正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率。另一位同學(xué)的界面就相對(duì)豐富一些，既包含了上述這些內(nèi)容，還包含了柱狀圖，餅狀圖等基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些表示方法。

一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬拋硬幣試驗(yàn)在同學(xué)們的手中可以變得如此豐富多彩，也讓我看到了學(xué)生們的求知欲和渴求創(chuàng)新的火花。但是，對(duì)于概念的疑點(diǎn)，同學(xué)們似乎都沒(méi)有進(jìn)行深層次的挖掘。

二、模擬試驗(yàn)引出大數(shù)定律，解釋其理論依據(jù)

在講到大數(shù)定理這一節(jié)的時(shí)候，我?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們重溫了概率的頻率定義，并請(qǐng)大家思考，這個(gè)概念的理論依據(jù)是什么？頻率與概率到底有什么關(guān)系呢？同學(xué)們表現(xiàn)的很沉默。

1000，10000，m=50。為了節(jié)省時(shí)間，我讓每組同學(xué)只做其中一種情況，最后由學(xué)習(xí)委員匯總大家的結(jié)果，后來(lái)，我請(qǐng)同學(xué)們觀察表中的結(jié)果是否有什么規(guī)律？很快就有同學(xué)說(shuō)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，在多次試驗(yàn)中，正面出現(xiàn)的頻率與概率非常接近。我馬上接話：不錯(cuò)，這一現(xiàn)象用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述其實(shí)就是著名的伯努利大數(shù)定律。

三、中心極限定理給出估計(jì)誤差

再次上課時(shí)，我便問(wèn)同學(xué)們，上節(jié)課給大家布置的散點(diǎn)圖是否具有規(guī)律性？有同學(xué)說(shuō)散點(diǎn)圖有點(diǎn)像正態(tài)分布的曲線。我接著說(shuō)，同學(xué)們的理解是對(duì)的，下面我們就來(lái)介紹關(guān)于這一現(xiàn)象的棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理：

這個(gè)關(guān)系式給出了用頻率估計(jì)概率的誤差。從這個(gè)誤差計(jì)算公式中可以看出，試驗(yàn)次數(shù)n的大小決定著估計(jì)的誤差大小，隨著n的增大，誤差會(huì)逐漸減小?？捎糜诮鉀Q用頻率估計(jì)概率的計(jì)算問(wèn)題。所以在不同的實(shí)際問(wèn)題中，試驗(yàn)次數(shù)n不是固定的，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題對(duì)精度的要求來(lái)確定n的最小取值。至此，這一概念的疑點(diǎn)才算是徹底解決了。

以往在講解大數(shù)定理和中心極限定理的內(nèi)容時(shí)，我們雖然說(shuō)這些內(nèi)容是個(gè)概率統(tǒng)計(jì)的精華部分，但大多數(shù)學(xué)生都覺(jué)得這些只是些枯燥的定理。在講解上，由于學(xué)時(shí)的壓縮，只有2～4學(xué)時(shí)的時(shí)間。學(xué)生學(xué)過(guò)后都不知所以然，更不用說(shuō)去解決課程前面遺留的問(wèn)題。本文運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)強(qiáng)大的計(jì)算功能，通過(guò)編制簡(jiǎn)單模擬試驗(yàn)開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，把概率論的內(nèi)容從教師的模擬、疑問(wèn)，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自己實(shí)踐驗(yàn)證，再到后來(lái)的討論，引入新內(nèi)容，前后聯(lián)系，課內(nèi)與課外相結(jié)合，既解決了前面內(nèi)容的疑問(wèn)，又加深了后續(xù)內(nèi)容理論基礎(chǔ)。也為學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)部分打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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