李恩兵

摘 要： 解題反思是對整個解題活動深層次的思考，是再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程。數(shù)學(xué)問題的解決后，還應(yīng)該更深一步挖掘題目隱含的條件，命題的目的，所涉及的知識要點和數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步探討解題過程的思維方式是否正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)；解決問題的策略是否巧妙，有無其他解法；本題的解法和結(jié)論能否進(jìn)一步推廣。反思解題過程，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；反思解題結(jié)果，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的合理性；反思解題方法，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性；反思“一題多解、一題多變、一解多題”，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)解題反思 解題過程 解題結(jié)果 一題多解 一解多題

在《數(shù)學(xué)的心臟》中，美國數(shù)學(xué)家P.R.Halmos提出“數(shù)學(xué)的心臟是問題”，可見學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要解題。多做題目在一定程度上是可以提高解題能力，然而影響提高數(shù)學(xué)解題能力，有諸多條件和因素。其中普遍被遺忘的一個重要環(huán)節(jié)：解題后的“反思”。如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的反思呢？筆者做了以下嘗試。

一、反思解題過程

（一）解題完成之后應(yīng)立即反思解題過程，默默問自己：

我的推理過程是否嚴(yán)密？

我的表達(dá)是否規(guī)范？

我的書寫是否簡潔？

（二）進(jìn)一步深入思考：

反思解題方法，是怎樣做出來的？

反思解題依據(jù)的原理，為什么可以這樣做？

反思解題思路，為什么會想到這種方法？

學(xué)生通過對解題過程深入細(xì)致地反思，變被動接受為主動積極參與、主動獲得，既能讓學(xué)生對概念、定理、規(guī)律、方法理解得更加完整和深刻，又易于學(xué)生學(xué)習(xí)的知識內(nèi)化和正向遷移，還能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的思維習(xí)慣。

二、反思解題結(jié)果

反思解題結(jié)果可以檢驗解題的合理性，豐富解題的成果。解題獲得答案后可以反思：我的結(jié)論可信嗎？還有其他結(jié)論嗎？還有哪些收獲？

（一）反思結(jié)果的合理性。

例：學(xué)校準(zhǔn)備在圖書館后面的場地邊上建一個面積為50平方米的長方形自行車棚，一邊利用圖書館的后墻，后墻長18米，并利用已有的總長為25米的鐵圍欄，請你設(shè)計，如何搭建較合適？

學(xué)生解題得長是20米，寬為2.5米或長為10米，寬為5米。得出結(jié)果后反思，兩組解都合理嗎？

（二）反思解題結(jié)果或條件的引申變換，解題后反思題目條件、結(jié)論可否變換，能否繼續(xù)引申，即一題多變。

在完成證明“依次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形”之后，可以反思：如果菱形改為四邊形結(jié)論會是怎樣呢？平行四邊形呢？矩形呢？如果是等腰梯形結(jié)論又如何？

這樣就超出了單純的為結(jié)果而解題，思維的產(chǎn)物也超出題目本身的內(nèi)涵，具有一定的創(chuàng)新性。

（三）反思解題特點。

反思上例中的解題，會發(fā)現(xiàn)共同特點：都要構(gòu)造三角形，都是應(yīng)用三角形的中位線解題。

深入思考還發(fā)現(xiàn)，所得四邊形的形狀是由原四邊形對角線的性質(zhì)決定的，對角線互相垂直可得四邊形是矩形；對角線相等得到的就是菱形；相等又垂直得到四邊形就是正方形。

在解決問題后，引導(dǎo)學(xué)生反思，并歸納解題的基本規(guī)律，這比解幾道題目的意義大多了，不僅使學(xué)生掌握了解答某一類問題的規(guī)律，形成科學(xué)解題的基本思路，還訓(xùn)練了學(xué)生從特殊到一般的歸納總結(jié)能力。

三、反思一題多解，一解多題

一題多解，即對同一題目，從不同角度運用不同的思維，聯(lián)系各種數(shù)學(xué)背景，采用不同的數(shù)學(xué)方法，廣開思路分析探討，從而獲得多種解題途徑。通過訓(xùn)練使學(xué)生通過反思，從不同的角度、不同的方位分析、思考問題，溝通知識之間的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)發(fā)散性思維。

一解多題，即是用同一種（或同類）方法解多個不同的題目，這對于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用規(guī)律的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力有很大的幫助。

四、反思錯題

學(xué)生在解題中由于審題不清、思維的不嚴(yán)密，對知識理解的不深刻、考慮問題不全面，經(jīng)常會導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。我們應(yīng)該啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對解題結(jié)果作進(jìn)一步反思，從反思中鑒別解題結(jié)果的真?zhèn)?，辨別錯誤出在何處？產(chǎn)生的根源是什么？如何得出正確答案？

在解題教學(xué)中，如果能經(jīng)常啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在解題后反思其結(jié)果的合理性，反思是否可將題設(shè)條件和結(jié)果進(jìn)行引申和變換，反思解題方法的多樣性，反思錯題的根源，再將不同的題目按解法或按題型或按類型串在一起，不僅有利于學(xué)生學(xué)習(xí)從不同角度、不同層次探索新命題和獲取新知識的方法，而且能提高學(xué)生解決問題的能力，產(chǎn)生舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效應(yīng)，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還能培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括思維能力、聯(lián)想思維能力和建模能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]單墫.解題研究.南京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]呂建恒.一道幾何題的證明思路及方法.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006，4.