劉長(zhǎng)虹 郝杰 楊晨 陳凱倫

摘 要： 根據(jù)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，考試數(shù)據(jù)的前四階矩，即均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度，用于分析學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。通過(guò)對(duì)不同年級(jí)、專(zhuān)業(yè)的考試數(shù)據(jù)所做的前四階矩計(jì)算分析，提出考試數(shù)據(jù)的前四階矩可以分別反映出班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。因此，可以根據(jù)各個(gè)班級(jí)考試成績(jī)數(shù)據(jù)分布特征量，有針對(duì)性地提出改善班風(fēng)、學(xué)風(fēng)的建議。

關(guān)鍵詞： 學(xué)風(fēng)建設(shè) 考試數(shù)據(jù)分布 統(tǒng)計(jì)分析 前四階矩

在高校教學(xué)過(guò)程中，各門(mén)課程的考試成績(jī)是衡量教學(xué)質(zhì)量、學(xué)生知識(shí)掌握程度、學(xué)習(xí)能力、保研出國(guó)深造及就業(yè)的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)之一。實(shí)際上，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)于學(xué)生考試成績(jī)的分析研究早已成為一門(mén)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，在教育學(xué)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[1，2]。隨著數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，將考試數(shù)據(jù)挖掘研究應(yīng)用于對(duì)教學(xué)質(zhì)量分析上，取得了很大的進(jìn)展[3]。但是如何將考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析，應(yīng)用于指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和學(xué)風(fēng)建設(shè)中，目前還少有論述。下面試著對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行討論。

1.考試成績(jī)數(shù)據(jù)分布的特征量

考試成績(jī)數(shù)據(jù)分布的特征量，指數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中的前四階矩[2，4，5]。由于考試成績(jī)數(shù)據(jù)服從概率分布已是公認(rèn)的事實(shí)，通常各個(gè)教學(xué)部門(mén)都會(huì)統(tǒng)計(jì)考試數(shù)據(jù)的前兩階概率矩，即考試成績(jī)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。但是從事教學(xué)工作的教師都清楚，各門(mén)學(xué)科的考試成績(jī)并不一定服從正態(tài)分布。因此，考試成績(jī)的前兩階矩?zé)o法全面評(píng)價(jià)學(xué)生成績(jī)的情況。根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)理論，一般采用前四階概率矩就可以近似逼近任意概率分布函數(shù)[6]。

描述考試數(shù)據(jù)前四階矩，也就是均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度的計(jì)算公式如下[6]，

是偏倚度，如果概率密度函數(shù)對(duì)稱時(shí)，其值為零。而α4g是峰度，在正態(tài)分布情況下，其值為3。

2.考試成績(jī)的前四階矩

考試成績(jī)的前四階矩分別是均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度。其中，均值表示考試成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)，標(biāo)準(zhǔn)差表示考試成績(jī)的分散程度。偏度衡量實(shí)數(shù)隨機(jī)變量概率分布的不對(duì)稱性，當(dāng)偏度為負(fù)（稱為負(fù)偏態(tài)），意味著在概率密度函數(shù)左側(cè)的尾部比右側(cè)的長(zhǎng)，絕大多數(shù)的考試分?jǐn)?shù)值（包括中位數(shù)在內(nèi)）位于平均分?jǐn)?shù)的右側(cè)；偏度為正（正偏態(tài)）就意味著在概率密度函數(shù)右側(cè)的尾部比左側(cè)的長(zhǎng)，絕大多數(shù)的值（包括中位數(shù)在內(nèi)）位于平均值的左側(cè)；偏度為零，表示考分相對(duì)均勻地分布在平均分?jǐn)?shù)的兩側(cè)，但不一定意味著是對(duì)稱分布。峰度是描述考試分?jǐn)?shù)概率密度函數(shù)分布形態(tài)陡緩程度的統(tǒng)計(jì)量，是和正態(tài)分布相比較的量，當(dāng)峰度值是3，其考試數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。

下面分別對(duì)不同年級(jí)、專(zhuān)業(yè)班級(jí)的考試數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)上述公式，得到相應(yīng)考試數(shù)據(jù)的前四階距。為了舉例說(shuō)明，表1列出其中三個(gè)班級(jí)的三門(mén)基礎(chǔ)理論課程考試成績(jī)的前四階矩。為方便起見(jiàn)，分別稱三個(gè)班為A、B、C。

由表1可以看出，各個(gè)班級(jí)的考試成績(jī)分布并不全是服從于正態(tài)分布和對(duì)稱分布的，在9個(gè)項(xiàng)目的考試成績(jī)峰度值中，只有A班大學(xué)物理、C班線性代數(shù)和電工技術(shù)三項(xiàng)成績(jī)的峰度值接近3，近似于正態(tài)分布的峰態(tài)屬于常峰態(tài)。B班偏度接近于0為0.0113，即考分分布近似對(duì)稱分布于平均分?jǐn)?shù)兩側(cè)。

其次，如果均值和標(biāo)準(zhǔn)差很接近，就不能保證考試成績(jī)分布一致。以大學(xué)物理考試成績(jī)?yōu)槔齻€(gè)班級(jí)的均值在75分上下，方差在11到15分之間，盡管三個(gè)班考試成績(jī)的均值和方差均相差不大。但是三個(gè)班的偏度和峰度卻相差較大。三個(gè)班級(jí)中只有班級(jí)A的大學(xué)物理考試分布近似為正態(tài)分布，其余兩個(gè)班的考試成績(jī)則不服從正態(tài)分布。

在表1中，只有B班線性代數(shù)的偏度大于零，偏度大于零表示該班大于平均分?jǐn)?shù)的人數(shù)多于小于平均數(shù)人數(shù)。如果假設(shè)線性代數(shù)考試難度一致無(wú)差異的前提下，與其他兩個(gè)班級(jí)的成績(jī)相比，說(shuō)明B班大部分同學(xué)對(duì)這門(mén)課程掌握程度最好，A班次之，C班最差。

在電工技術(shù)考試成績(jī)中，B班偏度最小為-2.09，標(biāo)準(zhǔn)差也是最小為7.74，而峰度為最大值8.39，結(jié)合上述三個(gè)指標(biāo)，說(shuō)明有較多同學(xué)低于平均分?jǐn)?shù)，但是多數(shù)學(xué)生分?jǐn)?shù)的差距不大。如同一個(gè)陡峭山峰一樣，分?jǐn)?shù)緊密靠在一起，說(shuō)明盡管B班總體上不如其他兩個(gè)班對(duì)這門(mén)課程掌握得好，但是在班級(jí)內(nèi)對(duì)該門(mén)課知識(shí)掌握的差距不大。通過(guò)進(jìn)一步的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，B班通常采取集體復(fù)習(xí)方式，所以大部分同學(xué)復(fù)習(xí)充分得分較高，導(dǎo)致最大峰度值。

在表1中，A班是標(biāo)準(zhǔn)差最大的班級(jí)，該班分?jǐn)?shù)分散性最大，結(jié)合峰度情況，表示該班級(jí)同學(xué)們學(xué)習(xí)成績(jī)分散性較強(qiáng)。事實(shí)證明，該班級(jí)在學(xué)習(xí)方面，同學(xué)之間協(xié)作少、獨(dú)立性最強(qiáng)。因此，在班風(fēng)建設(shè)時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中相互幫助，有意識(shí)地培養(yǎng)全班同學(xué)集體自習(xí)的習(xí)慣。

除了大學(xué)物理成績(jī)外，B班考試的平均分?jǐn)?shù)最高，標(biāo)準(zhǔn)差是三個(gè)班中最小的。標(biāo)準(zhǔn)差小即分?jǐn)?shù)離散程度低，說(shuō)明該班級(jí)同學(xué)對(duì)知識(shí)掌握差異性較小，或者在學(xué)習(xí)方面團(tuán)結(jié)性最強(qiáng)。調(diào)查表明，B班是在各科學(xué)習(xí)時(shí)相互幫助、協(xié)作性最強(qiáng)的班級(jí)。

盡管C班各科平均成績(jī)均處于中間水平，而且峰度值較大。但是標(biāo)準(zhǔn)差也較大，偏度為較大的負(fù)值，說(shuō)明盡管大部分同學(xué)在平時(shí)學(xué)習(xí)上相互協(xié)助較好，特別是物理成績(jī)峰度為6.2，體現(xiàn)該班大部分同學(xué)能夠參加集體自習(xí)，但是由于有少數(shù)同學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)差距較大，為此拉低了全班成績(jī)，使得考分標(biāo)準(zhǔn)差較大。因此，應(yīng)該提倡班里采取成績(jī)優(yōu)秀的和成績(jī)差的同學(xué)“結(jié)對(duì)子”，以提高全班平均成績(jī)，降低成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差。

3.結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述對(duì)于各個(gè)年級(jí)、班級(jí)考試成績(jī)的前四階矩計(jì)算分析，得出以下結(jié)論：考試平均分代表整體學(xué)生學(xué)習(xí)的平均水平；成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差代表考試分?jǐn)?shù)的離散程度，與學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握程度的差異有關(guān)，班級(jí)中好和差成績(jī)相距較大；偏度則表示考試分布是否高于或低于平均水平的程度。當(dāng)峰度為負(fù)值時(shí)，表示有較多同學(xué)考試成績(jī)高于班平均分，該班學(xué)風(fēng)較好；峰度則表示考試分?jǐn)?shù)是否像陡峭山峰聚集在一起的程度，體現(xiàn)出班級(jí)在學(xué)習(xí)中團(tuán)結(jié)程度。因此，通過(guò)綜合分析考試成績(jī)的前四階矩，可以了解學(xué)生的學(xué)風(fēng)和班風(fēng)情況，從而對(duì)癥處理，在班風(fēng)、學(xué)風(fēng)建設(shè)中取得更好的效果。

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