詹恒 張東起

摘 要： 數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程，是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。到了21世紀(jì)，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，而數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁。本文簡(jiǎn)單介紹了數(shù)學(xué)建模的基本概念，以及數(shù)學(xué)建模的一些應(yīng)用領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模 概念 背景 過(guò)程 應(yīng)用

1.關(guān)于數(shù)學(xué)模型概念的引入

在美國(guó)中西部的一個(gè)小鎮(zhèn)上住著一位退休的鐵路工程師W.Johnson。他工作了大半輩子的那條鐵路線正好穿過(guò)這個(gè)小鎮(zhèn)。Johnson患有失眠癥，退休后，這位老工程師經(jīng)常會(huì)在夜里的某個(gè)奇數(shù)點(diǎn)時(shí)間（但不固定）醒來(lái)，且再也不能入睡。后來(lái)他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)治療失眠的方法：每當(dāng)他醒來(lái)后，他就沿著小鎮(zhèn)上的那條寂靜的街道步行，一直走到與鐵路的交叉點(diǎn)。他站在那兒，一直等到有一列火車開(kāi)過(guò)來(lái)。火車的吼叫聲撕破了寧?kù)o的夜空，這一情景使這一位老工程師心情舒暢。然后他走回家，很快就能睡著。

過(guò)了一段時(shí)間，他意外地發(fā)現(xiàn)，他所看到的火車大都是向一個(gè)方向的，而他清楚地記得，這條干線上的火車向東和向西的次數(shù)是一樣的。后來(lái)他又觀察了一個(gè)星期，并且把看到的結(jié)果都用一個(gè)小本記下來(lái)，結(jié)果還是一樣。這時(shí)他想：是否由于自己每天都在同一個(gè)時(shí)間起來(lái)？于是，他讓一個(gè)朋友給他擬了一個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)的隨機(jī)時(shí)間表，結(jié)果還是一樣，和他開(kāi)始看到的情形差不多。并且，他詢問(wèn)了火車站，是否有些火車改線了，回答是否定的。這一奇怪的現(xiàn)象使這位老工程師很沮喪，而后完全失眠，身體越發(fā)虛弱。

在現(xiàn)實(shí)生活中存在一些事情，它們的發(fā)生與否并不取決于人們的主觀意愿。那么在客觀世界，有大量的問(wèn)題就必須通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決。

2.數(shù)學(xué)建模的概念

當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述，也就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程被稱為數(shù)學(xué)建模。

3.數(shù)學(xué)建模的背景

數(shù)學(xué)作為人類的一種知識(shí)體系，它的產(chǎn)生與發(fā)展從來(lái)都是與人類的社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)密切聯(lián)系的。幾何學(xué)的知識(shí)來(lái)源于丈量土地、水利建設(shè)、房屋與陵墓的建筑施工，器皿與工具的制作；算術(shù)的知識(shí)來(lái)源于產(chǎn)品的生產(chǎn)、儲(chǔ)備、分配、交換與流通等社會(huì)實(shí)踐，這是眾所周知的。在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一個(gè)個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首要的一步是要把問(wèn)題所涉及的各種物理量及各個(gè)物理量之間的關(guān)系暫時(shí)地剝離去它們的物理含義，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)的量及數(shù)學(xué)符號(hào)、語(yǔ)言、表達(dá)式，通過(guò)數(shù)學(xué)的推理、演算得到結(jié)果，然后再結(jié)合原來(lái)的物理含義，得出實(shí)際問(wèn)題的答案。這是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。

20世紀(jì)中期至今，數(shù)學(xué)應(yīng)用的巨大發(fā)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的顯著特征之一。數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合在很多方面直接為社會(huì)創(chuàng)造了價(jià)值，數(shù)學(xué)的應(yīng)用在很多情況下，都要借助數(shù)學(xué)模型解決。因此，數(shù)學(xué)建模顯得尤為重要。而且數(shù)學(xué)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)意識(shí)的良好素材。通過(guò)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力。國(guó)外很多國(guó)家對(duì)于數(shù)學(xué)教育尤其重視，像一些西方國(guó)家的大學(xué)在二十世紀(jì)六、七十年代開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)建?！氛n程，我國(guó)則在80年代初將《數(shù)學(xué)建?！芬胝n堂。我國(guó)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽創(chuàng)辦于1992年，由79所院校的314隊(duì)參加，每年一屆，目前已成為全國(guó)高校最大規(guī)模的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。

4.數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

（1）模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題。⑵模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。⑶模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具）⑷模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。⑸模型分析：對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。⑹模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋；如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。⑺模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。

建立的數(shù)學(xué)模型要具有以下特點(diǎn)：①逼真性與可行性結(jié)合。過(guò)于逼真，數(shù)學(xué)模型后期難以處理；過(guò)于簡(jiǎn)單，模型不能反映問(wèn)題的實(shí)質(zhì)；②漸近性。由簡(jiǎn)到繁，逐步達(dá)到目的；③穩(wěn)定性。指對(duì)原始數(shù)據(jù)的相對(duì)穩(wěn)定性，因?yàn)樵紨?shù)據(jù)一般都有一定的誤差，所以不穩(wěn)定則無(wú)實(shí)際意義；④非預(yù)測(cè)性。任何具體問(wèn)題都有它的特點(diǎn)，無(wú)法預(yù)測(cè)；⑤條理性。通過(guò)建模可以使人們對(duì)實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)識(shí)更深刻、更全面、更條理（如田忌賽馬，應(yīng)急設(shè)施，核競(jìng)賽等）；⑥可轉(zhuǎn)移性；⑦技藝性。無(wú)規(guī)可循，是一門藝術(shù)；⑧局限性。計(jì)算機(jī)下棋，亂走能贏。中醫(yī)診斷，模擬難。

模型的分類：（1）按應(yīng)用領(lǐng)域分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、水資源模型等；（2）按所用數(shù)學(xué)方法分：初等模型（包括微分、差分模型）、概率模型、方程模型、幾何模型、圖論模型、規(guī)劃模型、回歸模型、優(yōu)化模型、統(tǒng)籌模型等；（3）按表現(xiàn)特性分：確定型；隨機(jī)型；靜態(tài)、動(dòng)態(tài)模型；線性、非線性等；（4）按目的分：描述模型、分析模型、預(yù)測(cè)模型、優(yōu)化模型等；（5）按了解程度分：白箱（力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)）；灰箱（生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等）；黑箱（生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)）。

5.數(shù)學(xué)建模的一些應(yīng)用

這里我只是大概地概述一下，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域可以說(shuō)非常廣泛，比如：（1）穩(wěn)定的椅子：四條腿的椅子能否放穩(wěn)當(dāng)？（2）哥尼斯堡七橋問(wèn)題，哥尼斯堡那里有一條河，稱為普雷格爾河，河上有七座橋。當(dāng)?shù)厝藗冊(cè)噲D沿河上每一座橋走一遍，且每一座橋只走一次再返回原出發(fā)地，但沒(méi)有人能夠成功；（3）迷宮問(wèn)題；（4）朝鮮戰(zhàn)爭(zhēng)：戰(zhàn)爭(zhēng)開(kāi)始一年后，美國(guó)三德公司的數(shù)學(xué)家給出的研究報(bào)告指出，中國(guó)將出兵韓國(guó)，從而預(yù)示著美國(guó)的侵朝戰(zhàn)爭(zhēng)必?cái)?；?）天文學(xué)：冥王星、海王家跳槽金融，將引發(fā)金融革命，等等。

數(shù)學(xué)建模在如今的數(shù)學(xué)應(yīng)用上起著重要的作用，國(guó)家應(yīng)該重視中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模興趣的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)工作，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)從中學(xué)生開(kāi)始抓起。

參考文獻(xiàn)：

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[3]朱道元.數(shù)學(xué)建模案例精選.科學(xué)出版社.