高純標

摘 要：極限思想是近代數(shù)學中一種重要的思想，是以后學習數(shù)學分析的理論基礎。將結合小學數(shù)學這一特定教育階段，以幾個有代表性的特例，論述極限思想在小學數(shù)學教學中的滲透。

關鍵詞：極限思想；小學數(shù)學；無限逼近；無限遞減；化曲為直

極限思想是近代數(shù)學中一種重要的思想，主要是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。即用聯(lián)系變動的觀點，把所考查的對象看作是某個對象在無限變化過程中變化結果的思想。它體現(xiàn)了“從有限中找到無限，從暫時中找到永久，并且使之確定起來”的一種運動辯證思想。數(shù)學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學科。極限的思想方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終?？梢哉f，數(shù)學分析中幾乎所有的概念都離不開極限。

在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》課程目標中的“總目標”明確指出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！睆摹半p基”到“四基”的變化上可以看出，課程標準重視在數(shù)學教學中滲透數(shù)學的基本思想，重視數(shù)學思想對學生思維發(fā)展的作用。

縱觀小學教材，極限思想蘊含在小學數(shù)學諸多知識領域中。如何在小學生的頭腦中播下極限思想的“種子”，讓其“生根”“發(fā)芽”，為以后成長為枝繁葉茂數(shù)學分析的“參天大樹”打下堅實的基礎呢？本文將立足于小學數(shù)學這一特定的教育階段，針對“極限思想”在小學數(shù)學教學中幾個特例進行初步探索，為教師的教學設計提供參考。

學生在學習了循環(huán)小數(shù)后的數(shù)學活動課上，我出示了這樣一道題。

下面有兩組數(shù)，請大家比較大?。?/p>

討論交流：①減數(shù)0.99…的小數(shù)點后面有多少個9？②你認為差的小數(shù)點后面的0有多少個？③差的最后一位會出現(xiàn)1嗎？

生1：減數(shù)0.99…的末尾有無數(shù)多個9，差的小數(shù)點后面有無數(shù)多個0，差的最后一位可能不會出現(xiàn)1。

生2：差的最后一位一定不會出現(xiàn)1，因為一直減下去，有無限多個0，永遠也不會出現(xiàn)0。

生3：我感覺0.99…無限接近1。

通過上面的教學，改變了學生總以為在那遙遠的地方一定還有一個9的思維定式吧。其實，既然是無限，哪有末尾。正如“時間無所謂始終”“宇宙無邊無際”一樣。學生在思考解決問題的過程中，初步體會了“無限逼近”的含義，基本上知道0.99…無限接近1，最后就真的等于1的本質。

二、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”真的取不完嗎

在北師大版義務教育教科書五年級《數(shù)學》（下）中有以下兩個數(shù)學情境：

第一個情境是用圖形直觀地幫助學生理解分數(shù)單位乘分數(shù)單位的意義，即單位量與單位數(shù)都是分數(shù)單位，表示一個分數(shù)單位的幾分之一，分數(shù)單位與分數(shù)單位的積仍然是一個分數(shù)。第二個情境主要向學生滲透極限思想。怎樣幫助學生感悟出木棒所剩部分的長度會趨向于0，體會到初步的極限思想，而且受到一定的傳統(tǒng)文化的熏陶呢？

師：同學們，你們還記得在第三單元中學的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的含義嗎？

生：它的含義就是說“一尺長的木棍，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完”。

師：你能說一說把這根木棍截1次、2次、3次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

師：你能直接說出截4次，8次，100次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生：截4次，剩的木棍的分母應該是4個2相乘，分子應該是1……

師：如果把這根木棍截n次，還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生：還剩木棍的分母應該是n個2相乘，分子應該是1。

師：你能說出把這個木棍截（n+1）次，截無數(shù)次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生1：截（n+1）次還剩木棍的分母應該是（n+1）個2相乘，分子是1。

生2：截無數(shù)次，還剩的木棍的分母應該是無數(shù)個2相乘，分子是1。

生3：我認為剩的很少很少，幾乎沒有了。

生4：還剩的木棍的分母很大很大，分子是1，應該離0很近很近。

師：是啊，當截得次數(shù)無限多時，分母就越來越大，分子是1，剩的就無限逼近0。

三、真的能“化圓為方”嗎

極限思想不但在“數(shù)與代數(shù)”方面有所滲透，而且在“圖形與幾何”也有涉及，如，北師大六年級數(shù)學（上）圓的面積公式的推導過程就滲透了極限的數(shù)形結合思想。在這節(jié)課上，我利用幾何畫板軟件，幫助學生直觀理解把圓分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形，下面我把在本課教學中的一個片段摘錄如下：

師：誰能說一下平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式是怎樣推導出的？

生：轉化成學過的圖形。

師：怎樣計算一個圓的面積呢？能不能把圓轉化成我們學過的圖形來計算呢？（學生獨立思考、動手剪拼、小組討論、匯報交流）

生1：近似的長方形。

生2：平均分成64份拼成的圖形比平均分成32份拼成的圖形更接近長方形。

師：請大家想象一下：如果老師繼續(xù)平均分成128份、256份時，圓平均分的份數(shù)越多，每份就越小，拼組成的圖形會怎樣變化？

生：越來越接近長方形。

師：如果無限分下去，拼組成的圖形會怎樣？

生1：很像很像長方形。

生2：分成無限多份，長就變成直的了，就是一個長方形。

這個過程中從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“曲的真的變成直的了，圓形真的變成了長方形”就是收斂的結果。學生經歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的具大價值。

其實，在小學數(shù)學教學中，能夠挖掘滲透極限思想的地方還很多，譬如：在學完小數(shù)的基本性質之后，讓學生寫出和0.5相等的小數(shù)；在教學“自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)”這些概念教學時讓學生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個；在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會直線的兩端是可以無限延長的；兩條平行線無論延長多長，永遠不會相交等。教師在設計教學方案，進行課堂教學時，要在學生感知有限的基礎上，幫助學生構建知識表象，結合想象讓學生體驗無限。在感受無限的過程中，飛躍到感知極限，從而感悟極限思想。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是對數(shù)學知識的本質反映，是學習和研究更高深的數(shù)學理論的基礎。我們小學數(shù)學教師在教學中應善于挖掘教材中極限思想的素材，抓住時機，將這一思想播種在學生的頭腦中，為其澆水、施肥。那么，在不久的將來，極限思想這株小苗一定會成長為數(shù)學森林中的一棵參天大樹。

參考文獻：

[1]白淑珍.對極限思想的辯證理解[M].中國校外教育，2008（2）.

[2]鄭毓信.數(shù)學文化學[M].四川教育出版社，2004.

[3]孔企平.現(xiàn)代數(shù)學思想方法[M].貴州人民出版社，1994.