王富

【摘 要】排列組合是數(shù)學(xué)中比較重要的基礎(chǔ)知識(shí)，在日常生活和生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。它所研究的內(nèi)容獨(dú)特，比較抽象，解題的方法靈活多樣，沒(méi)有固定的模式，因而學(xué)起來(lái)比較吃力。是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。我在教學(xué)實(shí)踐中特別強(qiáng)調(diào)基本原理的深化理解及基本類型的總結(jié)歸納，收到良好的教學(xué)效果。下面就自己的教學(xué)實(shí)踐簡(jiǎn)述排列組合教學(xué)點(diǎn)滴做法和體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】排列組合；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；教學(xué)

一、要注重基本概念、基本原理的教學(xué)

教學(xué)中要使學(xué)生明確什么是排列問(wèn)題、什么是組合問(wèn)題，進(jìn)而正確計(jì)算排列數(shù)和組合數(shù)。要重點(diǎn)學(xué)習(xí)加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理是推導(dǎo)排列組合數(shù)公式的依據(jù)，要把這兩個(gè)原理貫穿于整個(gè)章節(jié)。這兩個(gè)原理即可獨(dú)立地解決問(wèn)題，又可聯(lián)系起來(lái)解決問(wèn)題，所以要理解這兩個(gè)原理的異同處。

1.加法原理是確定一事物或完成一事物時(shí)，不需要分階段（或分步驟），重點(diǎn)在一個(gè)“類”字上。而乘法原理是確定一事物或完成一事物時(shí)，必須分成若干階段（或若干步驟），故重在一個(gè)“步”字。一“類”一“步”是加法原理和乘法原理的不同處。

2. 加法原理能單獨(dú)依靠其中任何一個(gè)辦法來(lái)完成這件事。乘法原理中分步驟是無(wú)法單獨(dú)完成的。通俗地說(shuō)，分類是獨(dú)立的，是并列的關(guān)系而步驟之間是無(wú)法獨(dú)立的，彼此依附缺一不可。

二、要引導(dǎo)學(xué)生掌握基本習(xí)題類型和解題的相應(yīng)方法

排列組合應(yīng)用題一般說(shuō)來(lái)都是比較抽象的，學(xué)生學(xué)起來(lái)比較吃力，因此必須注意培養(yǎng)學(xué)生正確分析和解決問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)掌握習(xí)題類型，以及解決各類型題的方法。指導(dǎo)引領(lǐng)學(xué)生從繁多復(fù)雜的題型中合理歸類。

學(xué)生通過(guò)老師的指導(dǎo)引領(lǐng)掌握了正確的分類方法，還要能夠掌握每類題型的基本解法，為此教師要示范講解教會(huì)學(xué)生各個(gè)類型題的解題技巧和方法，使學(xué)生能舉一反三，類比掌握解決相似問(wèn)題。不同問(wèn)題解法教學(xué)舉例。

典型問(wèn)題1：相鄰排列問(wèn)題

例1：四名男生和三名女生照相，若女生必須站在一起，問(wèn)共有多少種站法？

分析：將三名女生“捆綁”起來(lái)看做一個(gè)元素，將4名男生排列共有P55種排法，而這三名女生本身又P33種排法，所以滿足條件的排法總數(shù)有P55P33=720（種）

例2：排一張有三個(gè)合唱節(jié)目和兩個(gè)獨(dú)唱節(jié)目的節(jié)目單，要求2個(gè)獨(dú)唱節(jié)目之間恰有一個(gè)合唱節(jié)目，問(wèn)該節(jié)目單有多少種排法？

分析：本題有一個(gè)固定搭配“獨(dú)合獨(dú)”，可把這個(gè)搭配“捆綁”起來(lái)當(dāng)做一個(gè)元素，與其余兩個(gè)元素排列共有P33種排法，而“獨(dú)合獨(dú)”的排列法有P31P22種，所以滿足條件的排總數(shù)有P33P22P31（種）。

典型問(wèn)題2：不相鄰排列問(wèn)題

例3：某次文藝演出，有5個(gè)歌唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，若要求舞蹈節(jié)目不能連續(xù)演出，問(wèn)有多少種不同次序的節(jié)目單？

分析：節(jié)目單分兩個(gè)步驟完成：①先安排歌唱節(jié)目，有 P55；②在兩個(gè)歌唱節(jié)目之間及首、尾安排舞蹈節(jié)目，有P63種方法。符合要求的節(jié)目單的種數(shù)有P55P63=14400。

典型問(wèn)題3：有序排列問(wèn)題

例4 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊，（A、B可以不相鄰），那么不同的排法共有（ ）

（A）24種 （B）60種 （C）90種 （D）120種

分析：不計(jì)條件的排法種數(shù)是P55種，對(duì)每一種排列要么A在B的左邊，要么A在B的右邊，即對(duì)每一種位置的P22種排法中，只有一種符合要求，所以符合條件的排法種數(shù)是P55÷P22=60。

典型問(wèn)題4：自然數(shù)比較大小的問(wèn)題

例5：由0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，（1）有多少個(gè)比2000個(gè)大的四位偶數(shù)；（2）若按從小到大排列，3204是第幾個(gè)數(shù)？

解：首位可排2、3、4，末位可排0、2、4，其中共同的數(shù)是2、4所以以2、4來(lái)分類處理：

（1）當(dāng)首位是2或4時(shí)，首位有P21，末位有P21，中間P32，即P21 P21 P31。

（2）當(dāng)首位是3時(shí)，末位有P31，中間P32，即P31 P32。所以共有P21 P21 P32+ P31 P32=42（個(gè)）。

解（2）：由高位到低位逐級(jí)分為：

（1）千位是1或2時(shí)，有P21 P43個(gè)。

（2）千位是3時(shí)，百位可排0、1或2，（i）當(dāng)百位排0、1時(shí)有P21 P32個(gè)；（ii）當(dāng)百位數(shù)2時(shí)，比3204小的僅有3201一個(gè)，故比3204小的四位數(shù)共有P21 P43+ P21 P32+1=61（個(gè)），3204是第62個(gè)數(shù)。

基本問(wèn)題1：含有特殊元素的問(wèn)題

例6：某旅行社有10名翻譯，其中7人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)需派出2名英語(yǔ)翻譯，2名日語(yǔ)翻譯，則不同的派法有

種。

分析：從項(xiàng)目的條件可知有2人是“特殊元素”，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這2個(gè)人的分派方法問(wèn)題，（1） 兩人不作為英語(yǔ)翻譯分派有C52 C52=100（種）；（2）兩人作為英語(yǔ)翻譯分派有C72C32=63（種），所以不同的分派方法共有C52C52+ C72 C32=163（種）。

基本問(wèn)題2：排列組合混合的問(wèn)題

例7：（95全國(guó)）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有 種。

分析：（先選后排）從四個(gè)小球中任選兩個(gè)放入其中的一個(gè)盒子有 C42 C41種方法，剩余的2個(gè)小球放入3個(gè)盒子中的各一個(gè)有P32 種方法，由乘法原理知不同的放法共有C42P41P32=144（種）。

基本問(wèn)題3：多重受限的問(wèn)題

例8：將字母a、b、c、d、e排成一排，a不排在首位，e不排在末尾，有多少種不同排法？

分析一：按a不在首位分類，a可在中間三個(gè)位置或在末尾，a若在中間三個(gè)位置有C32種排法，e還有三種可能的排法C31，其余三個(gè)元素有 P33種排法，故有C31 C31 P33種排法，a若在末尾，共有C44種排法，所以共有C31 C31 P33+P44=78（種）。

分析二：5個(gè)字母不計(jì)條件的排列有P55，a在首位的排法有P44種，e在末尾的排法有P44種，由于a在首而e在尾的排法兩次重復(fù)，用排除法減去時(shí)已被多減了一次，應(yīng)補(bǔ)上，而a在首e在尾的排法有P33種，所以滿足條件的排法共有P55-2 P44+P33.=78。

三、小結(jié)

排列組合的內(nèi)容相對(duì)比較獨(dú)立，和前幾章的內(nèi)容聯(lián)系不大，具有不易檢驗(yàn)、抽象、無(wú)固定解法等特點(diǎn)，這給學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難。但這一章對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力無(wú)疑是很好的教材，我通過(guò)教學(xué)實(shí)踐后認(rèn)為使學(xué)生掌握一批基本問(wèn)題和典型問(wèn)題的解法，加上正確的分類方法和類比解題技巧能力，就能有效的突破難點(diǎn)，使復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題（化歸思想）從而使問(wèn)題迎刃而解。

（作者單位：撫順體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校）