倪嵐　蔡吉花

摘 要 近世代數(shù)課程是高校數(shù)學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，在教學(xué)中起承上啟下作用。本文從幾個方面探討了近世代數(shù)課程教學(xué)改革的必要性，并淺談了自己的一些體會。

關(guān)鍵詞 近世代數(shù) 教學(xué)改革 數(shù)學(xué)思想方法 知識背景

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.06.028

Teaching Reform of Modern Algebra Curriculum

NI Lan， CAI Jihua

（College of Science， Heilongjiang Institute of Science and Technology， Harbin， Heilongjiang 150027）

Abstract Modern Algebra Curriculum is one basis course of the mathematics major， playing a connecting role in Teaching. This paper discusses the necessity of teaching reform of modern algebra Curriculum by some aspects， and talks some experiences.

Key words Modern Algebra; teaching reform; mathematical thought and method; background knowledge

1 課程的重要意義

近世代數(shù)課程作為數(shù)學(xué)的一個重要分支是高等代數(shù)和解析幾何的繼續(xù)和提高，是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)涞然A(chǔ)數(shù)學(xué)課程的一門基礎(chǔ)專業(yè)課程，同時也是計算代數(shù)、編碼等應(yīng)用數(shù)學(xué)課程所必需的一門基礎(chǔ)課程。主要介紹的基本概念和基本理論是群、環(huán)、域，這些都有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力。同時蘊含的劃分、等價、同態(tài)、同構(gòu)、群、環(huán)、域等數(shù)學(xué)思想方法是研究和觀察自然及社會時采用的最重要的數(shù)學(xué)方法之一。因此，這門課程對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的抽象思維推理能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有著很重要的積極作用。

2 課程教學(xué)中存在的問題

近世代數(shù)是一門抽象性很強(qiáng)的學(xué)科，是數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)的一個難點，同學(xué)們普遍感覺學(xué)習(xí)這門課程很困難，這其中有多方面的原因。下面我們從數(shù)學(xué)思想方法、概念的理解和掌握，應(yīng)用幾方面談?wù)劷来鷶?shù)課程教改的必要性。

（1）數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提練上升的數(shù)學(xué)觀點，數(shù)學(xué)思想的具體化形式是數(shù)學(xué)方法，其實兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看待問題。在教學(xué)的整體過程中，作為教師，我們在講授基礎(chǔ)知識和基本技能時，還應(yīng)慢慢滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)活動。數(shù)學(xué)教材中的每一章節(jié)，體現(xiàn)了知識和思維的有機(jī)結(jié)合。由于在認(rèn)知能力及思維發(fā)展有所限制，教師從事知識的單方面?zhèn)魇?，學(xué)生注重數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，都忽略了聯(lián)結(jié)這些知識的觀點和思想的方法。

（2）概念的背景介紹匱乏，概念抽象難以理解，僅僅背下來一些命題、性質(zhì)和定理，并不意味著真正理解和掌握了知識。因為近世代數(shù)的理論系統(tǒng)是很多數(shù)學(xué)家根據(jù)實際中不同的集合和模型抽象創(chuàng)造出來的，所以系統(tǒng)內(nèi)許多概念都是根據(jù)直接或間接刻畫新的幾何量和物理量的需要而產(chǎn)生的，但教材中并沒有提到這些來源和背景。例如，天才數(shù)學(xué)家Galois通過深入研究一個方程能用根式求解所要滿足的必備條件，提出了“Galois域”、“Galois群”和“Galois理論”，而近世代數(shù)教學(xué)過程中對這一類背景沒有介紹。

（3）缺少概念歷史發(fā)展的介紹，近世代數(shù)的有些內(nèi)容比較抽象，大多內(nèi)容可以從各種具體對象中抽象出共性，從而使其具有廣泛的應(yīng)用。學(xué)生會有疑問，近世代數(shù)是如何演化而來的？但是這些內(nèi)容大都是課堂上很少講到的內(nèi)容。

（4）缺少與數(shù)學(xué)相關(guān)課程的必備聯(lián)系，近世代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科，代數(shù)系統(tǒng)大致分成初等代數(shù)學(xué)、高等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)三大部分。19世紀(jì)上半葉以前，初等代數(shù)學(xué)得到了發(fā)展，主要是研究某一方程〔組〕是否有解，若有如何求出所有的根〔包括近似根〕，以及根有什么性質(zhì)等問題，都是側(cè)重計算和分析能力的培養(yǎng)。高等代數(shù)學(xué)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)充了研究對象，許多新的概念被引進(jìn)，許多新的量被定義，如最基本的集合、向量和向量空間等等，抽象代數(shù)學(xué)則是初等代數(shù)學(xué)和高等代數(shù)學(xué)的后繼與提高。但是，很多學(xué)生都認(rèn)為他們學(xué)的每門課程都是互相獨立的，彼此之間是沒有什么相關(guān)聯(lián)系的。

（5）學(xué)生缺少自主學(xué)習(xí)能力，我們的學(xué)生在上大學(xué)之前，都是被動地接受知識，都是為了應(yīng)付考試而學(xué)習(xí)知識。顯然，在如今的社會形態(tài)下，被動接受知識的思想是要不得的。所以，在教學(xué)中我們要著重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)方面能力，同時也要著重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題方面的能力。為學(xué)生在將來的工作和生活把握住機(jī)遇打下基礎(chǔ)。

（6）只注重理論，忽視應(yīng)用，近世代數(shù)的核心是其抽象的理論和廣泛的應(yīng)用，抽象的理論和廣泛的應(yīng)用是相互扶持的，但是近世代數(shù)的應(yīng)用在教材中卻不涉及。所以，學(xué)生會有疑問：近世代數(shù)有什么用處呢？

3 課程教學(xué)改革的幾點設(shè)想

根據(jù)以上的探討，同時結(jié)合近世代數(shù)課程的教學(xué)實際，提出以下幾點教改設(shè)想：

（1）在教學(xué)中，教師要習(xí)慣挖掘數(shù)學(xué)概念和定理中蘊含的數(shù)學(xué)思想，在解決問題和數(shù)學(xué)推理時，要有意識地利用數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而有效地提高解題效率，還可以有效地提高意識方法的構(gòu)成，使學(xué)生的思維能力得到加強(qiáng)。例如抽象代數(shù)的重要概念之一是同構(gòu)映射，它的數(shù)學(xué)思想是兩個代數(shù)系統(tǒng)之間有一個保持運算的雙射，若兩個代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)，則它們將具有相同的代數(shù)性質(zhì)。這種兩個群運算結(jié)構(gòu)之間相同的規(guī)律性，對研究數(shù)學(xué)問題起重要作用。類似通過對整數(shù)環(huán)的分析引入環(huán)的定義，通過對商群概念的分析引入剩余類環(huán)的概念。所以在近世代數(shù)教學(xué)中注重滲透這些數(shù)學(xué)思想方法無疑非常重要。endprint

（2）通過典型例子理解概念，舉一反三達(dá)到效果。例如：群論里有一個問題是n階有限群的同構(gòu)類型有多少個，圍繞這個問題可以引出很多抽象的概念，比如元素的階數(shù)，正規(guī)子群，商群的概念。

（3）注重概念的歷史發(fā)展，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的基本思路就是滲透數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)發(fā)展史的介紹中。通過介紹數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的來龍去脈，在很大程度上可以提高學(xué)生對概念的理解能力。所以，在近世代數(shù)教學(xué)過程中通過調(diào)動學(xué)生存在的各種數(shù)學(xué)知識，列舉多姿多彩的具體實例，從而揭示概念的本質(zhì)特征，在具體和抽象之間架起一座座橋梁，讓學(xué)生從被動變主動地接受諸如群、環(huán)、域這樣的概念，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的正遷移。

（4）注重概念的知識背景的引入，事實上，伽羅華運用群的思想解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性，高斯研究二次型整數(shù)解討論高斯整數(shù)環(huán)的某些問題時，受費馬猜想問題的啟發(fā)，德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栆氩⒀芯苛死硐霐?shù)的概念，這些知識背景的引入既能使學(xué)生了解概念的來源，也能使學(xué)生增加學(xué)習(xí)興趣。

（5）加強(qiáng)與數(shù)學(xué)相關(guān)課程的聯(lián)系，高等代數(shù)學(xué)中很多定義和定理經(jīng)推廣可以是近世代數(shù)學(xué)中相關(guān)的定義和定理內(nèi)容。所以在講授這些定義和定理時，要習(xí)慣讓學(xué)生先回憶以前在高等代數(shù)中學(xué)過的類似的結(jié)論，使學(xué)生有意識采用聯(lián)系的方法來接受這些定義和定理。

（6）培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和思考問題的能力，應(yīng)注重加強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。如要求學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容要習(xí)慣課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)和歸納總結(jié)。課前預(yù)習(xí)可以讓學(xué)生盡早對新教學(xué)內(nèi)容有整體方面的認(rèn)識，對新教學(xué)內(nèi)容的重點和難點做到心中有數(shù)，從而提高課堂聽課效率。課后復(fù)習(xí)是為了讓學(xué)生能更好地鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，加強(qiáng)學(xué)生理解知識的能力，是學(xué)習(xí)過程中必不可缺的一環(huán)。及時的歸納總結(jié)有助于學(xué)生透徹理解所學(xué)知識。

（7）注重知識的應(yīng)用，如組合群論在簽名體制中的應(yīng)用、同余方程組、尺規(guī)作圖難題等。同時該學(xué)科在計算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、近代物理與近代化學(xué)等方面也有廣泛的應(yīng)用。因此，教師要習(xí)慣在講授課程內(nèi)容時適當(dāng)?shù)匾胍恍┙来鷶?shù)的應(yīng)用，一方面可使學(xué)生感受到理論的巨大應(yīng)用價值，另一方面，也可以使學(xué)生感到學(xué)習(xí)該課程是有應(yīng)用價值的，可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

以上是對近世代數(shù)課程教學(xué)改革的一些設(shè)想，近世代數(shù)課程改革任務(wù)是連續(xù)不斷的，需要我們常常對課程系統(tǒng)自身的思想方法進(jìn)行研究，對學(xué)生的特點進(jìn)行研究，對數(shù)學(xué)知識的相關(guān)聯(lián)系進(jìn)行研究等等。

基金項目：黑龍江省教育科學(xué)規(guī)劃課題（GBB1213013）

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