汪秋蓮

摘要：鑒于初中學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題不會(huì)思考、無(wú)從下手，并且時(shí)有產(chǎn)生畏難情緒等現(xiàn)狀，通過(guò)還原思維初始狀態(tài)，借助數(shù)學(xué)典例，師生共同體驗(yàn)思考過(guò)程，在操作、觀察、方法、情感等深切的體驗(yàn)中，揭開(kāi)數(shù)學(xué)神秘的面紗，發(fā)展自身思維的能力。

關(guān)鍵詞：操作體驗(yàn)；觀察體驗(yàn)；方法體驗(yàn)；情感體驗(yàn)；思維發(fā)展

時(shí)常遇到這樣一些情形：這道題目曾經(jīng)做過(guò)、講過(guò)不止一遍，學(xué)生再次遇到，依然不會(huì)；一道陌生的中等難度的題目學(xué)生無(wú)從下手；有的學(xué)生成績(jī)猶如過(guò)山車，一下很高，一下很低……這些現(xiàn)象的背后蘊(yùn)含著一個(gè)相同的本質(zhì)：學(xué)生不會(huì)思考問(wèn)題。對(duì)于熟悉的問(wèn)題，他能夠采用正確的解題方法獨(dú)立地完成，老師不講他也會(huì)；對(duì)于陌生的問(wèn)題，由于思維障礙，無(wú)從下手，老師講了他也不會(huì)。如何來(lái)改變這一現(xiàn)狀呢？如何有效實(shí)現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的“數(shù)學(xué)思考”這一方面的目標(biāo)呢？下面結(jié)合常見(jiàn)的幾類數(shù)學(xué)問(wèn)題，回顧筆者與學(xué)生之間的幾段體驗(yàn)。

一、操作體驗(yàn)—將小小紙片動(dòng)起來(lái)

用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)探究幾何圖形變化規(guī)律的試題已經(jīng)成為近幾年中考及課程改革的熱點(diǎn)試題。這類題以運(yùn)動(dòng)為載體，集代數(shù)與幾何的知識(shí)于一體，并滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等重要數(shù)學(xué)思想，具有開(kāi)放性、操作性和探究性，因?yàn)槌掷m(xù)運(yùn)動(dòng)將會(huì)引發(fā)系列變化，所以學(xué)生怕做這類問(wèn)題，覺(jué)得難以把握動(dòng)中之靜。有的學(xué)生遇到動(dòng)態(tài)問(wèn)題便會(huì)卡住，有的學(xué)生遇到動(dòng)態(tài)問(wèn)題往往漏解，這群孩子有個(gè)共性：面對(duì)這類問(wèn)題僅憑想象解題，常常面對(duì)試題苦思冥想缺乏動(dòng)手操作。每逢遇到這類問(wèn)題，筆者會(huì)事先制作一個(gè)教具，與學(xué)生一起感受、一起體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，以此抓住特殊位置進(jìn)行分類、抓住不同形狀解決問(wèn)題。

【案例1】如圖1，拋物線y=-（x-1）2+4交x正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)E，B為拋物線的頂點(diǎn)，連接AB、AE、BE。①求四邊形ABEO的面積；②設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0

分析：如何準(zhǔn)確理解這類問(wèn)題呢？通過(guò)想象獲知變化之中的形狀并非易事；通過(guò)講評(píng)之后獲取答案無(wú)法有效發(fā)展學(xué)生能力。于是筆者把拿到這類問(wèn)題以后的原始思維呈現(xiàn)出來(lái)：制作一個(gè)與試卷上大小相同的紙片，沿著x軸正方向進(jìn)行平移，并注意觀察重疊部分形狀的變化。通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：重疊部分的形狀有四邊形、三角形；然后出示“慢鏡頭”，提醒學(xué)生觀察越過(guò)哪個(gè)地方形狀發(fā)生改變？（尋找特殊位置），學(xué)生亦能發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E，落在AB上；接著，動(dòng)中求靜，畫(huà)出下列各圖（如下頁(yè)圖2），結(jié)合圖像運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)用割補(bǔ)法或面積公式等數(shù)學(xué)方法、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

【反思】通過(guò)經(jīng)歷一個(gè)操作的過(guò)程，把握行進(jìn)之中的整個(gè)狀態(tài)，體驗(yàn)問(wèn)題解決的思維方式，這樣，學(xué)生在千變?nèi)f化的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，能夠抓住基本的解題思路：即借助手邊的工具（紙片等），通過(guò)動(dòng)態(tài)的演練，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中特殊位置進(jìn)行討論并加以解答。通過(guò)上述初始思維形態(tài)的呈現(xiàn)，意在教給學(xué)生以不變（基本的解題思路）應(yīng)萬(wàn)變（變化的圖形、變化的背景、變化的問(wèn)題）的解題策略。這樣，學(xué)生通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題就能抓住關(guān)鍵，把握要領(lǐng)，學(xué)會(huì)解題，享受成功，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

二、觀察體驗(yàn)—將基本模型找出來(lái)

意大利科學(xué)家伽利略曾說(shuō)：“大自然用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講話，這個(gè)語(yǔ)言的字母是：圓、三角形以及其他各種數(shù)學(xué)形體?！蔽覀兊纳钪刑N(yùn)含著豐富的圖形，研究數(shù)學(xué)，我們的學(xué)習(xí)中充斥著大量的圖形，在形態(tài)各異的幾何圖形中，存在著許多基本的圖形。在求解幾何問(wèn)題時(shí)，往往需要抓住“基本圖形”，在復(fù)雜的幾何圖形中辨認(rèn)、分解出基本圖形，或通過(guò)添加輔助線補(bǔ)全、構(gòu)造基本圖形；或運(yùn)用圖形變換的思想，將分散的條件集中起來(lái)產(chǎn)生基本圖形。這是一類幾何問(wèn)題解決的初始想法或基本思路。

【案例2】如圖3，在△ABC中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=6，CE=5，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于Q。當(dāng)EP+BP=18時(shí)，則CQ的值為 。

分析：遇到這一問(wèn)題，不少學(xué)生被難倒了，面對(duì)多條線，多個(gè)點(diǎn)，無(wú)法獲取有用的信息并加以解決。講評(píng)時(shí)，我把自己的思考過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)：由E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，你能得出什么結(jié)論？（中位線及中位線的性質(zhì)）；由EE//BC，BQ平分∠CBP，你又能得出什么結(jié)論？（基本圖形：平行線+角平分線→等腰三角形）；如何構(gòu)造基本圖形呢？（延長(zhǎng)BQ交射線EF于點(diǎn)G，如圖4所示），這樣，不難得到BP=GP，∵EP+BP=18，∴EP+GP=18，即EG=18，要求CQ的值，利用△BCQ～△GEQ的性質(zhì)即可。學(xué)生解答不出的原因主要是，無(wú)法將題目已知條件整合推出新的結(jié)論，再將結(jié)論與其他條件整合獲取新的信息；難以從復(fù)雜的圖形中找出“基本圖形”，由陌生的情境轉(zhuǎn)向熟悉的對(duì)象。

【反思】通過(guò)這題的分析與思考，意在告訴學(xué)生首先熟悉數(shù)學(xué)中的基本圖形，不斷發(fā)展自己的眼力和提高自身的觀察能力，這樣，面對(duì)初次遇見(jiàn)的幾何問(wèn)題，能夠快速抽象基本模型，運(yùn)用已有知識(shí)加以解決。

三、方法體驗(yàn)—將基本方法用上來(lái)

數(shù)學(xué)在其漫長(zhǎng)的的發(fā)展過(guò)程中，不僅建立了嚴(yán)密的知識(shí)體系，而且形成了一整套行之有效的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：掌握數(shù)學(xué)意味著要善于解題。所謂“善于解題”，并非陷入“就題論題”的困境，而是進(jìn)入“以題論法”的境界。只有將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹并會(huì)融會(huì)貫通時(shí)，新看法、新點(diǎn)子自然噴涌而出。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重基本方法的傳授與基本思想的滲透，發(fā)展學(xué)生“由已知想可知”、“由未知想需知”的思維方式和思維能力。圓中的計(jì)算是作業(yè)中錯(cuò)題率較高的一類問(wèn)題，究其原因，學(xué)生解決問(wèn)題的方向不清晰，解決問(wèn)題的方法不準(zhǔn)確。

【案例3】如圖5，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q。若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的長(zhǎng)。

分析：引導(dǎo)學(xué)生由已知想可知，如見(jiàn)直徑想直角，在Rt△BPQ中，cosB= = ，AB=BP+AP=6+1=7等，再由未知想需知，從圖形可以看出，CQ=BQ-BC，只要求出BQ與BC的值即可。BQ放置在Rt△BPQ中，BP=6，cosB= ，便可求出BQ的值；BC呢？不妨連接AC，如圖6，將BC放置在Rt△ABC中，AB=7，cosB= ，亦能求出BC的值。當(dāng)然，BC是⊙O的弦，要求弦長(zhǎng)，可以先求弦長(zhǎng)的一半，因此，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，如圖7，在Rt△BOE中，OB= ，cosB= ，便可求出BE的長(zhǎng)，由垂徑定理，得出BC=2BE，這樣，問(wèn)題就能得以解決。

【反思】通過(guò)這一問(wèn)題的分析，意在培養(yǎng)學(xué)生“由已知想可知”及“由未知想需知”的思考方式和思維能力，并且能夠掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題中常見(jiàn)的解題方法，如求線段的長(zhǎng)、求角的度數(shù)等都有自身常用的解題思路和解決方法，學(xué)生能夠在“做”的過(guò)程與“思考”的過(guò)程中不斷積淀，逐步積累運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

四、情感體驗(yàn)—感受挫敗與成功帶來(lái)的韌性與動(dòng)力

1.盡管失敗，依然呈現(xiàn)碰壁折回

在教學(xué)中我們常會(huì)有這樣的經(jīng)歷：遇到一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題，第一時(shí)間在腦海里浮現(xiàn)的解題思路不一定是正確的，有時(shí)需要換個(gè)角度、換種思路才能正確地解答出來(lái)。數(shù)學(xué)老師在講評(píng)這一問(wèn)題時(shí)，僅僅展示正確的解題思路，往往回避思維碰壁、如何折回這一過(guò)程的呈現(xiàn)。事實(shí)上，我們的學(xué)生在解題中常常會(huì)有碰壁的情形，卡住了，不知所措，思維停滯，最終無(wú)法正確解答。所以，筆者覺(jué)得在解決問(wèn)題的過(guò)程中碰壁折回這一歷程的回溯，對(duì)學(xué)生而言是彌足珍貴的。教學(xué)中，我們無(wú)法回避，不能忽略。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，我盡量呈現(xiàn)自身初始的思維狀態(tài)，通過(guò)讓學(xué)生體驗(yàn)完整的思維過(guò)程，提高學(xué)生的思維能力與解題能力。

2.因?yàn)槌晒Γ哉f(shuō)出自我想法

課堂上，我們不僅需要呈現(xiàn)教師原始的思維狀態(tài)，也有必要提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法。有的時(shí)候，談?wù)勛约旱南敕ㄍ葏R報(bào)一個(gè)答案更能掀起課堂的高潮。學(xué)生智慧的匣子在霎那間打開(kāi)，猛然發(fā)現(xiàn)“我們的孩子非常優(yōu)秀”。著名教育家陶行知先生曾經(jīng)提出“六大解放思想”，在我們的數(shù)學(xué)課堂上，同樣需要陶老先生“六大解放思想”的引領(lǐng)，讓我們的孩子動(dòng)起手來(lái)，通過(guò)眼睛觀察，動(dòng)腦思考，以及由挫敗或成功帶來(lái)的韌性與動(dòng)力的體驗(yàn)，促使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，發(fā)展抽象思維與推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到發(fā)展。