邵紅剛

【摘要】好的數(shù)學問題的特征；一是能激活學生原有的知識經(jīng)驗，二是能推廣、擴充、引申，三是有多種解決的辦法。促進學生思維能力提升的有效抓手是多角度探究數(shù)學問題、整合數(shù)學問題。其常用的方法有按學生的認知特點根據(jù)知識點間的聯(lián)系設計“問題鏈”、實施變式求異提問導學。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學問題 問題鏈 課堂教學

數(shù)學問題是指“以數(shù)學為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學為內(nèi)容，但必須運用數(shù)學概念、理論或方法才能解決的問題”1。面對數(shù)學問題，當我們通過對它進行深化、推廣、引申、綜合，從而發(fā)現(xiàn)矛盾和缺陷（問題所在），探索到新的發(fā)展規(guī)律（需要論證的問題），或找到了問題與問題之間的新的聯(lián)系時，這就是形成“問題鏈”的開始.通過這種過程的不斷深化和逐次推進而找到的，具有內(nèi)在聯(lián)系的若干問題，就形成了“問題鏈”。

一、好的數(shù)學“問題”的特征

對數(shù)學教學而言，如何引發(fā)學生積極思維、主動學習和鉆研，變“要我學”為“我要學”？筆者以為關(guān)鍵在于問題的設置。通過教師有效地設置問題，將教學各環(huán)節(jié)，知識各部分連接起來，讓學生通過問題解決進行學習，這是數(shù)學教學的重要途徑。數(shù)學問題的設置是“用問題包裝課堂”的基礎。要使教學取得良好成效，必須將問題設計好。總體來說，“好問題”的特征包括：問題的條件、結(jié)論、所描述的對象，給解題者提供廣闊的思維空間，使他們有機會經(jīng)理有意義的教學活動，如觀察、猜測、檢驗、修正、證明、推廣等，而且在活動中需要使用基本的、重要的餓數(shù)學知識、數(shù)學方法等。從教學實踐看，好的問題對學生思維的展開、引起學生認知上的沖突進而促進他更深入進行思考，有著重要的推動作用。

（一）能激活原有的知識經(jīng)驗

問題的解決過程應包含已經(jīng)學過的某些知識或所要討論的有關(guān)概念和技巧，能使學生更主動、更廣泛、更深入地激活自己的原有經(jīng)驗，通過積極的分析，形成新的理解、新的認識。好問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學原理，對于這些問題或者能啟發(fā)學生尋找應該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的某種運用很快能得到解決，能夠促進學生對于數(shù)學基本知識和技能的掌握，有利于學生掌握有關(guān)的數(shù)學知識和思想方法。

（二）能進行推廣、擴充、引申

好問題的可發(fā)展空間意思是說問題并不一定在找到解答時就結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對原問題的各部分做種種變化后，由此可以引出新的問題和進一步的結(jié)論。問題的發(fā)展性可以把問題延伸、拓廣、擴充到一般情形或其他特殊情形，給學生一個充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。因此，問題的設計要注重代表性，要能夠聯(lián)系，推廣，學生在這種不斷擴充、改變條件就能引發(fā)新的結(jié)論的訓練中，就能促進思維的靈活性，學會舉一反三，提高轉(zhuǎn)化的能力。

（三）有許多種解決的辦法

一題多解，就是對一個問題從不同角度加以思考，探求出不同的解決方案。它有幾個方面的作用 ：一是開拓學生的解題思路、激發(fā)探索興趣；二是能激發(fā)學生主動尋找解題捷徑，培養(yǎng)求簡意識；三是創(chuàng)新解題模式，提高創(chuàng)新能力。一題多解是被當下教學實踐證明對培養(yǎng)學生數(shù)學意識和解題能力有重要作用的訓練模式。因此 ，問題的設計要考慮它的可變性，盡可能挖掘從不同的角度去尋找解決問題的途徑，以此促進學生思維能力的提高。

二、利用“問題鏈”教學的具體案例

教學中注重適當?shù)卦O置問題，啟發(fā)誘導學生自覺去分析、鑒別、類比、抽象概括，尊重學生的個人感受和獨特見解，這對促進學生思維活動的豐富性、多變性和復雜性，激發(fā)思維的能動性都有著特殊的作用。

（一）根據(jù)學生實際與教學要求設計“問題鏈”

數(shù)學的概念、法則、定理等都具有嚴密的內(nèi)在體系 ，一些看似相近的知識卻有著明顯的不同之處。而學生的學習具有一定的遷移性，他會將原有的一些思維習慣帶入新問題的學習之中，影響對問題的認識。針對這些問題合理設置“問題鏈”，破除學生思維中狹窄、零碎、片面的定勢，激發(fā)和活躍思維，促進其在新的思考平臺中去正確認識問題。

針對教學重點、難點設置“問題鏈”。從教學角度來說，每節(jié)課都有一個中心內(nèi)容，即教學的重點和難點 ，問題的設計應圍繞其展開：抓住教學重點內(nèi)容層層設置問題，由淺入深，由易到難；抓住教學的難點設問，淺中見深，化難為易。掌握了重點，突破了難點，數(shù)學思想與方法就會逐步形成并內(nèi)化為學生個體的知識體系。

如在雙曲線概念的教學中，當?shù)贸鲭p曲線定義：“平面內(nèi)到兩定點 的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于 ）的點的軌跡叫雙曲線”之后，筆者設計了如下的問題串：

（1）將定義中的“小于”改為“等于”或“大于”，其點的軌跡又是什么呢？

（2）將“絕對值”三個字去掉，其結(jié)果又如何呢？

（3）令定義中的常數(shù)為0，其余不變，其點的軌跡又是什么呢？

（4）將括號中的小于 去掉后，如何討論點的軌跡？

此問題以“雙曲線的概念”為背景，通過設問，步步深入，形成問題鏈，在“變”中開闊學生的視野，拓寬學生的思維空問，將靜態(tài)的數(shù)學與動態(tài)的變化結(jié)合起來，這樣學生不僅學得輕松，掌握了知識，也培養(yǎng)了學生探索知識、發(fā)現(xiàn)知識、應用知識的綜合創(chuàng)新能力。

（二）選擇能優(yōu)化學生認知結(jié)構(gòu)的“問題鏈”

數(shù)學學習的過程是不斷地建構(gòu)數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，又不斷地打破原有的認知結(jié)構(gòu)建立新的認知結(jié)構(gòu)的過程。數(shù)學教學的重要目的在于培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。教學中要培養(yǎng)學生靈活運用定理、公式與法則的能力，培養(yǎng)學生善于洞察每一個研究對象的實質(zhì)并揭示這些對象之間的相互關(guān)系的能力，讓學生思維的靈活性和深刻性得到極大地發(fā)展。

推廣是事物發(fā)展所遵循的規(guī)律之一。當我們從研究一個對象過渡到研究包含該對象的一個集合，或從研究一個較小的集合過渡到研究一個包含該集合的一個更大的集合時，就是推廣，當我們對命題從層次和形式上作推廣時，可以得到一些層次不同或形式相似的命題，它反映了數(shù)學對象之間的縱向或橫向間的聯(lián)系，可以拓廣命題的外延表現(xiàn)形式并加深對命題內(nèi)涵的認識。概念、體系、命題和方法的各個方面，都可以運用推廣來進行教學。概念的學習分為上位學習、下位學習和并列學習3種方式.在上位學習中，我們可以運用推廣的觀點來教學。

教學案例【1】等差中項的性質(zhì)及其推廣

教學案例【2】錯位排列問題及其推廣

（1）編號為1、2、3、4的四位學生分別坐編號為1、2、3、4的四個座位，所有學生均不對號入座的不同坐法有多少種？

（2）甲、乙、丙等五人排周一至周五的值班，每人值一天，其中甲不排周一，乙不排周二，共有多少種不同的安排方法？

（3）甲、乙、丙等五人排周一至周五的值班，每人值一天，其中甲不排周一，乙不排周二，丙不排周三有多少種不同的安排方法？

（4）編號為l、2、3、4、5的五位學生分別坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，所有學生均不對號入座的不同坐法有多少種？

（1）、（2）是學生熟悉的，學生很快就能給出答案。3）提示學生用分類討論或間接法，在教師的幫助下也不難解決。給出本題組的目的不僅僅是解決這幾個問題，而是要揭示兩類看似不同的問題間的聯(lián)系，整合學生原有的認知結(jié)構(gòu)，讓學生對這兩類問題的認知有質(zhì)的飛躍。

數(shù)學課堂是不斷提出問題、解決問題的過程，好的問題是開啟智慧之源。教師要找準學生原有的認知結(jié)構(gòu)、思維基礎，讓新的問題與學生原有的認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生同化與順應，這樣的問題才能激活學生原有的知識結(jié)構(gòu)，喚醒學生的運用意識。這對教師提出了很高的要求，所以教師要博覽群書，潛心研究教材，對教材的把握做到得心應手，對各知識點之間的聯(lián)系爛熟于心，這樣才能設計出富有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性的問題，才能在課堂上揮灑自如、運籌帷幄。

【參考文獻】

[1]陳 曦.數(shù)學[復習課：在“問題變式”中演繹精彩[J]中學數(shù)學教學參考2012。10

[2]戴再平.數(shù)學習題理論[M].上海：上海教育出版社，1997.163