楊兆興

[摘 要]高中物理習題量大、面廣，涉及的知識點多，且思維嚴密，邏輯性強，所以在選題、命題的過程中，要嚴密推演、仔細推敲，否則，容易出現這樣或那樣的失誤。

[關鍵詞]商榷 思考 改進

[中圖分類號] G633.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2015）230061

下面是一道關于機械能守恒定律的計算題，在很多參考資料里頻繁出現，本人認為題目的答案并無不妥，但題目所涉及的物理過程值得商榷。

原題：如圖1所示是一個橫截面為半圓、半徑為r的光滑圓柱面，一根不可伸長的細線兩端分別系著小球A、B，A、B均可視為質點，其質量關系為mA=2mB。由圖示位置從靜止開始釋放小球A，當小球B達到圓柱頂點時，求繩的張力對小球B所做的功。

圖1

原解：本題要求繩的張力對小球B做的功，關鍵是求出小球B到達圓柱頂點時的動能。由于柱面是光滑的，故系統(tǒng)重力勢能的減少量等于系統(tǒng)動能的增加量。

系統(tǒng)重力勢能的減少量為ΔEp=mAgπr2-mBgr

系統(tǒng)動能的增加量為ΔEk=12（mA+mB）v2

由ΔEp=ΔEk得v2=πmA-2mBmA+mBgr

……①

將mA=2mB代入①式可得v2=23（π-1）gr

所以繩的張力對小球B做的功為

W=12mBv2+mBgr=π+23mgr

疑問：此題靈活地考查了連接體的機械能守恒定律，思路及解答也都無可厚非。但問題是：B球在沿柱面上運動的過程中，是否脫離柱面，脫離的位置在何處呢？有沒有可能在還未滑至最高點就脫離了柱面呢？

圖2

解析：如圖2所示，設半圓的圓心為O，B球與圓心的連線為BO。假設當連線BO與桌面成θ弧度角時，小球脫離柱面，則此時柱面對小球的彈力為0，此時小球的速度為v，由向心力公式可得

mBgsinθ=mBv2r……②

系統(tǒng)重力勢能的減少量為ΔEp=mAgrθ-mBgrsinθ

系統(tǒng)動能的增加量為ΔEk=12（mA+mB）v2

由ΔEp=ΔEk得

mAgπrθ2-mBgrsinθ=12（mA+mB）v2

……③

聯立②、③兩式并將mA=2mB代入可得5sinθ-4θ=0，解得θ≈1.13rad≈64.8°。

所以說，小球B在未到達頂點之前就因離心運動而脫離了柱面，題設的條件是不妥當的。

那么，我們要設定怎樣的條件才能確保小球B不離開柱面而運動到頂點呢？

方案一：改變兩球的質量關系

若要使小球B能夠滑至頂點且不脫離柱面，這一過程中柱面對B的彈力應始終滿足N≥0，設小球B沿柱面滑至頂點時的速度為v，由向心力公式mg-N=mv2r，可得，N=mg-mv2r≥0，

則v2≤gr……④

由①、④聯立可得πmA-2mBmA+mB≤1，即

mA≤3π-1mB≈1.40mB。

所以，只有在滿足mB方案二：固定小球的半圓軌道

圖3

若不改變兩球的質量關系而讓小球能沿柱面到達頂點，我們也可以在柱面的外側再固定一個與原柱面同軸的光滑柱面，如圖3所示，使兩個柱面之間的空隙剛好能夠容納下B小球；或者干脆把柱面撤掉，如圖4所示，換成半圓形的光滑玻璃管。

圖4

改后題：如圖4所示，在豎直平面內固定一半圓形光滑玻璃管，兩管口中心連線恰為一水平直徑，一根不可伸長的細線穿管而過，兩端分別系著小球A、B，其質量關系為mA=2mB，已知半圓半徑為r，B球直徑比玻璃管的內徑略小，且可視為質點。由圖示位置從靜止開始釋放小球A，當小球B到達半圓頂點時，求繩的張力對小球B所做的功。

所以說，我們在平時命題、審題的過程中，不但要把握教學大綱、課程標準的要求，關注知識與能力的考查，還要注重理論聯系實際，盡量避免不切實際的物理過程出現。

（責任編輯 易志毅）