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        分析法在剛體動力學(xué)問題中的應(yīng)用

        2015-05-30 23:51:29鄭文珍
        大學(xué)教育 2015年9期
        關(guān)鍵詞:應(yīng)用

        鄭文珍

        [摘 要]剛體動力學(xué)問題的求解是大學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)及難點(diǎn)。以原始公式為基礎(chǔ),采用由整體到局部的分析法,按照一定的邏輯思維順序鏈?zhǔn)椒治?、推演,環(huán)環(huán)相扣,直到待求物理量全部用已知量表示為止,較好地解決教學(xué)難點(diǎn),并以兩個典型問題進(jìn)行了示例。

        [關(guān)鍵詞]分析法 剛體動力學(xué) 應(yīng)用 示例

        [中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437(2015)09-0121-02

        剛體動力學(xué)的求解問題,一直是大學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)[1],也始終是大學(xué)生最感困惑的難點(diǎn)。如何解決好這一問題,保證對重點(diǎn)內(nèi)容的理解與掌握,突破大學(xué)理工科低年級學(xué)生普遍存在的會聽不會做的困擾?筆者在近幾年的大學(xué)物理教學(xué)中積累了一些經(jīng)驗(yàn),即針對大學(xué)理工科低年級學(xué)生這一教學(xué)對象,以分析法為主,緊緊抓住牛頓運(yùn)動定律這條主線,突出轉(zhuǎn)動定律在剛體動力學(xué)問題中的核心地位,精選內(nèi)容,通過典型實(shí)例剖析學(xué)生在求解這類問題時出現(xiàn)的錯誤,正反對比,舉一反三,收到了好的效果。

        所謂分析法,就是從整體到局部的邏輯思維方法,是把一個大的物理問題化整為零,各個擊破,逐步引向待求物理量的思考方法。具體地說,就是在認(rèn)真審題、分析題意的基礎(chǔ)上,首先找出能直接回答待求物理量的物理規(guī)律及其公式,我們稱之為原始公式。原始公式一般都是重要而基本的物理公式。正確地找出了原始公式,就有了正確的大前提。觀察原始公式中包含哪些未知量,確定小前提,再列出表達(dá)這些未知量的物理方程。如果這些方程中仍然含有新的物理量,就再列出相應(yīng)的表達(dá)式,這樣按照一定的邏輯思維順序鏈?zhǔn)椒治觥⑼蒲?,環(huán)環(huán)相扣,直到待求物理量全部用已知量表達(dá)為止。對原始公式逐步分析、推演的過程,就是邏輯思維過程,是一個對物理內(nèi)容再加工的過程,也就是逐步引向待求物理量的解決過程,經(jīng)過這樣的分析處理,復(fù)雜的動力學(xué)問題往往都能得到正確的解答。下面舉兩個實(shí)例具體說明。

        例1 如圖1,有一質(zhì)量均勻分布的剛性圓柱體,用一水平外力F作用于圓柱體的上半部,使它在水平面上作無滑滾動[2]。F距圓心距離為a,問此時圓柱體所受靜摩擦力方向如何?

        講評:初看此題,似乎極易回答。因而不少學(xué)生未做正確的分析與推理,便想當(dāng)然地得出結(jié)論。常見答案有以下三種:第一種,因外力F水平向右,使整個圓柱體有向右運(yùn)動的趨勢,故圓柱體與地面的接觸點(diǎn)A所受的靜摩擦力水平向左;第二種,因外力F不通過圓柱體質(zhì)心,故F對質(zhì)心的力矩不為零,這個力矩使圓柱體沿順時針方向轉(zhuǎn)動,故接觸點(diǎn)A相對于地面有向左運(yùn)動的趨勢,因而靜摩擦力水平向右;第三種,因圓柱體作純滾動,A點(diǎn)相對于地面的速度為零,無滑動趨勢,故靜摩擦力為零。

        分析:以上三種解答都具有片面性,缺乏整體考慮。實(shí)際上水平外力F的作用效果有兩個:一是使圓柱體有向右平動的趨勢,二是使圓柱體有以過A點(diǎn)的直線為瞬軸沿順時針方向轉(zhuǎn)動的趨勢。兩種趨勢并存,關(guān)鍵是要看哪種趨勢占優(yōu)勢,才能確定摩擦力的取向。

        再分析:外力F作用于圓柱體不同位置,產(chǎn)生不同的力矩,因而產(chǎn)生的角加速度不同??赡苁瞧絼于厔荽笥谵D(zhuǎn)動趨勢,也可能是轉(zhuǎn)動趨勢大于平動趨勢,亦或二者相抵消。這只能通過定量計(jì)算才能判別。為此需列出圓柱體的動力學(xué)方程求解。由題可確定剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定律為原始公式。

        解答過程:由于靜摩擦力f的方向不能馬上確定,但由其性質(zhì)可知在此問題下只能是向左、向右或?yàn)榱鉡3]。故先假定f水平向右,若解得f為正,則表明f的方向與所設(shè)方向一致;若為負(fù),則與之相反。設(shè)向右為x軸正向,圓柱體半徑為R、質(zhì)量為m,則由質(zhì)心運(yùn)動定理及剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定律可列出以下兩式:靜摩擦力的方向水平向左。

        例2 如圖2示,一半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤置于粗糙的水平桌面上?,F(xiàn)令其以初始角速度ω0自轉(zhuǎn),設(shè)圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為μ,求經(jīng)過多長時間圓盤才停止旋轉(zhuǎn)。

        講評:作為一個典型的傳統(tǒng)問題[4],本題常見的解答錯誤有兩點(diǎn):一是對力矩的求法,不少學(xué)生認(rèn)為摩擦力為μmg,因而桌面對圓盤的力矩為M=rf=μmgr;二是因圓盤未固定于某一定軸,無法正確確定轉(zhuǎn)動軸的位置。

        分析:從整體來看,這是力矩對時間的累積,應(yīng)該用轉(zhuǎn)動定律求解。剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律公式為原始公式。

        再分析:剛體在粗糙水平面上旋轉(zhuǎn),圓盤質(zhì)量均勻分布,因初始角速度ω0不為零,故圓盤在水平桌面上繞過質(zhì)心且垂直于盤面的軸作雖無軸而有軸的轉(zhuǎn)動,仍然是“定軸”轉(zhuǎn)動,且各個質(zhì)元對軸的摩擦力矩因其位置不同而不同。

        解答過程:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律M=Jα=J,故原始公式為Mdt=Jdω。式中J=mR2為圓盤繞通過質(zhì)心且垂直于盤面的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。

        現(xiàn)在來計(jì)算圓盤所受的摩擦力矩M。設(shè)圓盤密度為ρ,對任一小質(zhì)元,其質(zhì)量dm可表示為dm=ρrdrdθ,每個小質(zhì)元所受到的摩擦力矩dM=rμgdm,因而圓盤所受的總摩擦力矩為此即為所求。

        [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

        [1] 教育部高等學(xué)校物理學(xué)與天文學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會.大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求[M].北京:高等教育出版社,2010.

        [2] 馬文蔚.物理學(xué)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006,15.

        [3] 漆安慎,杜嬋英.力學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005,241.

        [4] 程守誅,江之永主編,胡盤新等改編.普通物理學(xué)(第五版)(第一冊)[M].北京:高等教育出版社,1997,191.

        [責(zé)任編輯:張 雷]

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