周鐵軍　王敏　李小春

[摘 要]數(shù)學在學生邏輯思維能力、定量分析問題能力等方面的培養(yǎng)毋庸置疑具有不可替代的重要作用。培養(yǎng)高等數(shù)學應用能力的途徑主要包括數(shù)學概念的引入、多方面實例的搜集、學生課外活動的利用、數(shù)學建模競賽影響力的擴大及教師自身科研的挖掘五個方面。教師應該積極開展應用數(shù)學方面的研究，使自己具有較強的數(shù)學應用能力，平時多積累數(shù)學應用案例，這樣無論在課堂講授中，還是在其他教學活動中，都能使用最恰當?shù)膯栴}，做到得心應手，這樣培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力就不會是紙上談兵。

[關鍵詞]應用能力 高等數(shù)學 培養(yǎng)途徑

[中圖分類號] G642.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2015）09-0115-02

數(shù)學在學生邏輯思維能力、定量分析問題能力等方面的培養(yǎng)毋庸置疑具有不可替代的重要作用。從小學一年級到高中畢業(yè)整整12年的數(shù)學學習，使進入大學的青年學生已經(jīng)具備了這些能力。但大部分專業(yè)還要開設高等數(shù)學課程，其目的不僅僅是為了培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，更主要是為了專業(yè)課程的學習，為了利用數(shù)學解決實際問題，體現(xiàn)在專業(yè)培養(yǎng)目標上就是要培養(yǎng)基礎扎實、知識面寬、實踐能力強的社會急需的人才。

很多研究人員已經(jīng)在數(shù)學應用能力的內(nèi)涵、評價等方面開展了深入研究[1] [2]，有文獻[1]指出影響大學生數(shù)學應用能力的因素主要有數(shù)學閱讀能力，數(shù)學建模能力，近似計算與估算能力，檢驗、討論與評價能力，實際上數(shù)學應用能力還應包括對問題的簡化抽象能力，任何一個實際問題所涉及的因素非常龐雜，我們必須從中找出主要因素，對問題進行適度簡化和合理假設，只有這樣才有了應用數(shù)學方法解決實際問題的基礎。本文根據(jù)以上影響數(shù)學應用能力的主要因素，結(jié)合我們高等數(shù)學的教學經(jīng)驗探討高等數(shù)學應用能力的培養(yǎng)途徑。

一、注重數(shù)學概念的引入，培養(yǎng)學生解決實際問題的數(shù)學思想

數(shù)學概念的引入本質(zhì)上是一個用已學數(shù)學知識解決實際問題的最佳教學過程，因為大多數(shù)數(shù)學概念不是憑空想象出來的，而是為了解決人們在實際中遇到的問題而逐步歸納抽象形成的。這些概念從問題的提出到最后形成嚴格的數(shù)學定義一般都經(jīng)過了一段較長的時期，它反映了人類為解決自然問題不斷探索、精益求精的嚴謹態(tài)度。比如導數(shù)這一概念源于17世紀20年代法國數(shù)學家費馬對曲線的切線的研究，但直到19世紀60年代在魏爾斯特拉斯提出ε-δ語言后才最終形成今天這一嚴格的定義，其間還有牛頓、萊布尼茨、達朗貝爾、柯西等一大批數(shù)學家的貢獻。如果我們在導數(shù)概念的引入時能夠把曲線的切線斜率、變速直線運動質(zhì)點的瞬時速度等引例的來龍去脈講解得十分透徹，那么對于培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力無疑具有非常大的示范作用。

在每個數(shù)學概念形成的過程中，一些數(shù)學思想、方法被提出來并被升華。我們在數(shù)學的教學過程中，除了清晰講述概念，還應該強調(diào)概念形成過程中所蘊涵的數(shù)學思想，總結(jié)其中所體現(xiàn)的數(shù)學方法。掌握好這些數(shù)學思想與方法比記住相應的數(shù)學公式要重要得多。

二、多方面搜集應用實例融入課堂教學

引入數(shù)學概念時強調(diào)如何利用曾經(jīng)學過的數(shù)學知識解決實際問題，而當一個概念被提出來后，我們還要讓學生知道如何利用這個概念去解決實際問題。這就要求我們在教學準備過程中收集、整理相關的實際例子。這些實例可以從以下幾個方面去挖掘。

（一）文獻資料

大量的文獻資料中介紹了高等數(shù)學的應用，如文獻[3]中編選了205個高等數(shù)學在物理、化學、天文、生物、醫(yī)學、航空航天、工程技術、經(jīng)濟等方面的應用實例。我們可根據(jù)所授專業(yè)情況從中選擇一些實例來介紹如何利用已掌握的知識和方法去分析和解決實際問題。另外其他專業(yè)的教材中也有大量的例子，如果我們能夠把這些專業(yè)實例拿到數(shù)學課堂上來，那么一定能提高學生學習數(shù)學的積極性，加深其了解數(shù)學知識的應用。

（二）日常生活

數(shù)學無處不在，我們身邊處處蘊涵數(shù)學，所以我們要在日常生活中尋找數(shù)學的應用，這將極大地消除數(shù)學的神秘感，有利于消除學生學習數(shù)學的畏難情緒，增強學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的積極性。比如“椅子可不可以在地面上放穩(wěn)”“能不能通過面包上任意一點將它切成兩塊面積相等的部分”“下雨天沒有帶傘時你是應該快跑還是慢走”等問題，就非常貼近我們的生活，在學完相關知識后不妨把這些問題拋出來讓學生思考。

（三）中學公式

中學數(shù)學、物理課程中介紹過很多數(shù)學公式、物理公式，比如圓周長公式、圓面積公式、球體積公式、自由落體下降距離公式，等等。但這些公式在中學教材里并沒有給出證明，學生們雖然對這些公式耳熟能詳，但一般都是只知其然不知其所以然。我們可以在高等數(shù)學的教學中用相關高等數(shù)學知識來給出它們的證明。比如在介紹了極限計算后，不妨讓學生們自己證明一下圓周長公式；在介紹完拉格朗日中值定理后，可以讓大家用導數(shù)證明sin2x+cos2x=1、Inxα=αInx等公式；在學習定積分后，不妨布置學生從已知重力加速度出發(fā)探究一下自由落體下降距離公式。文獻[4] 還介紹了一些用高等數(shù)學方法解決初等數(shù)學問題的其他例子。

（四）社會現(xiàn)象

正如文獻[5]所述，在數(shù)學引入之前，社會科學的研究多是模糊研究、定性研究，甚至某些概念都是人為地、感性地在進行描述。但是社會科學中很多問題，比如人口預測、區(qū)域經(jīng)濟規(guī)劃等，無不需要數(shù)學方法的支持，將數(shù)學與數(shù)學方法應用于社會科學已經(jīng)成為社會科學發(fā)展的迫切需要。目前在社會科學問題的研究中已經(jīng)大量應用數(shù)學的方法，其中統(tǒng)計方法的應用是最為廣泛的。但除了統(tǒng)計方法，高等數(shù)學中的導數(shù)、積分、級數(shù)也是社會科學研究中的常用方法。比如文獻[5]就用微分方程建立了一個“朱麗葉與羅密歐數(shù)學模型”，把導數(shù)應用到心理學研究中。還有一些悖論我們也可以用數(shù)學方法進行解釋，比如二分法悖論，我們就可以利用級數(shù)的方法進行反駁。

三、開展以提升高等數(shù)學應用能力為主題的學生課外活動

培養(yǎng)學生高等數(shù)學應用能力，不能僅僅依靠課堂教學，還可以通過學生課外活動來實現(xiàn)能力提升。首先教師應該積極組織學生申報各類與數(shù)學應用相關的科研項目，通過指導學生完成項目來提高其數(shù)學應用能力。在我們學校，這些項目來源主要有團委的大學生科技創(chuàng)新項目，有教務部門的研究性學習項目。其次，我們可以利用學生社團開展一些數(shù)學應用方面的討論或報告活動，比如我們協(xié)助學生成立了校數(shù)學愛好者協(xié)會、數(shù)學建模協(xié)會，這些社團經(jīng)常組織學生科研項目成員交流研究心得，邀請專家做學術報告，組織協(xié)會成員開展校際間的活動。活動的內(nèi)容可以是高等數(shù)學概念、思想、方法的進一步討論，比如在完成定積分概念教學后，我們可以就定積分概念形成過程中所涉及的數(shù)學思想方法組織一場課外的討論，讓學生掌握這一概念中“分割—求和—求極限”過程所反映的“化整為零—積零為整”、“局部近似—整體精準”等數(shù)學思想。

四、擴展大學生數(shù)學建模競賽的影響

全國大學生數(shù)學建模競賽的內(nèi)容來自實際問題，有明確的實際背景，它有效地提高了大學生利用所學數(shù)學方法解決實際問題的意識和能力，目前它已經(jīng)成為全球規(guī)模最大的一項課外科技競賽活動，2014年參賽院校達到1338所，參賽學生達到7萬多人，但相對于2014年全國在校大學生人數(shù)2000多萬的數(shù)字來說，這只是其中一小部分。擴大數(shù)學建模競賽的影響是提高大學生數(shù)學應用能力的一條有效途徑。

目前國內(nèi)大部分高校通過開設數(shù)學建模課程、組織校內(nèi)數(shù)學建模競賽等形式使更多的學生參與到數(shù)學建模活動中來。除此之外，我們可以采取一種所謂的“后數(shù)學建模競賽”的形式發(fā)揮數(shù)學建模競賽的余威，也就是說在三天競賽后組織更多的學生參與該次競賽題目的研究。很多參賽學生反映如果給他們更多的時間，問題就能解決得更完美。所以比賽后我們還可以組織學生一起交流討論，或者再讓學生針對問題開展更加深入的后期研究并提交論文，從而使數(shù)學建模由一年一次的競賽成為一種經(jīng)常性的課外科技活動。

五、注意挖掘本身的科研問題，形成學生研究素材

很多數(shù)學教師除了從事數(shù)學理論研究外，還會和相關專業(yè)教師合作從事一些應用數(shù)學的研究，這些研究問題無疑是最直接、最生動的數(shù)學應用實例，我們應該充分利用它們來作為培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力的素材。

我們可以把一些已經(jīng)獲得的結(jié)果提煉出來總結(jié)成案例在課堂上講，或在課外活動中作為研究課題布置給學生進行研究，也可以作為校內(nèi)數(shù)學建模競賽的題目。對于正在研究的問題，我們可以從中分離出一些相對簡單的小問題，組織部分能力強的學生開展研究，這樣不但培養(yǎng)了學生的數(shù)學應用能力，而且也鍛煉了他們從事科學研究的素質(zhì)。

總之，教師應該積極開展應用數(shù)學方面的研究，使自己具有較強的數(shù)學應用能力，平時多積累數(shù)學應用案例，這樣無論是在課堂講授中，還是在其他教學活動中，都能使用最恰當?shù)膯栴}，做到得心應手，這樣培養(yǎng)學生應用數(shù)學的能力就不會是紙上談兵。

[ 注 釋 ]

[1] 范文貴，張守波，朱鳳林.影響數(shù)學應用能力之主要因素的剖析[J].錦州師范學院學報，2000（1）：67-69.

[2] 耿秀榮.高等數(shù)學應用能力研究現(xiàn)狀芻議[J].大學數(shù)學，2008（2）：7-10.

[3] 李心燦.高等數(shù)學應用205例[M].北京：高等教育出版社，1997.

[4] 趙金蘭.用高等數(shù)學方法解決初等數(shù)學中的某些問題[J].雁北師范學院學報，2003（5）：72-73.

[5] S.Strogatz.Love affairs and differential equations [J].Mathematics Magazine，1988（1）：35.

[責任編輯：覃侶冰]