王曉宇

【摘 要】 立體幾何是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要知識板塊，在立體幾何教學(xué)中既有培養(yǎng)空間思維的傳統(tǒng)方式方法，也有立足于代數(shù)運算的向量方法，如何對立體幾何教學(xué)進行合理、有效的復(fù)習(xí)探究，是教師教學(xué)需要關(guān)注的。

【關(guān)鍵詞】立體幾何;復(fù)習(xí)策略;空間感知;空間想象能力;向量;傳統(tǒng)法

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要知識板塊，其在建立學(xué)生空間感知、圖形結(jié)構(gòu)、空間想象能力方面有著重要的作用。陜西師大羅增儒教授對課程標準關(guān)于立體幾何的建議如此解讀：要努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使學(xué)生掌握空間點、線、面之間的關(guān)系，逐步建立起空間感知，既要注重傳統(tǒng)立體幾何公理化體系對學(xué)生空間知識的螺旋式搭建，也要讓學(xué)生了解空間向量對解決立體幾何問題的作用。

從標準的這一段解讀中，筆者認為空間幾何教學(xué)需要教授的是立體幾何的關(guān)鍵與核心，從兩個分支來說，即需要掌握公理化體系與向量解決方案的共同實施;從知識點來說，空間幾何的核心考查圍繞于空間感知、平行與垂直、角和距離等以及其他各種相關(guān)小題;從能力訴求來說，考查空間問題平面化的能力以及運用代數(shù)方式解決立體幾何的向量運算能力。鑒于上述分析，筆者認為空間幾何教學(xué)的復(fù)習(xí)策略要注重下列方面：

1.關(guān)注空間感知

立體幾何在空間感知方面需要長時間的培養(yǎng)和鞏固訓(xùn)練，這主要從公理化體系中的命題判斷、對一些問題的直觀感知等方面進行培養(yǎng)?？臻g感知對于學(xué)生而言，是立體幾何教學(xué)最感性的培養(yǎng)，空間感知培養(yǎng)是否優(yōu)秀對于學(xué)生解決立體幾何的概念性問題有著極為重要的指導(dǎo)，因此立體幾何教學(xué)復(fù)習(xí)的首要是給予學(xué)生扎實的雙基培養(yǎng)。

案例1：l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題錯誤的是 ? ? 。

（1）l1⊥l2，l2⊥l3？圯l1∥l3;（2）l1⊥l2，l2∥l3？圯l1⊥l3。

（3）l1∥l2∥l3？圯l1，l2，l3共面;（4）l1，l2，l3共點？圯l1，l2，l3共面。

易錯分析：由于空間點、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當直線和平面的個數(shù)較多時，各種位置關(guān)系錯綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會導(dǎo)致一些錯誤的判斷。

解析：當l1⊥l2，l2⊥l3時，l1與l3也可能相交或異面，故（1）不正確;當l1∥l2∥l3時，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故（3）不正確;l1，l2，l3共點時，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱，故（4）不正確。因此（1）（3）（4）為錯誤命題。

溫馨提醒：（1）平面幾何中的一些定理和結(jié)論在空間中不一定成立，如“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”在空間中不成立，所以在用一些平面幾何中的定理和結(jié)論時，必須說明涉及的元素都在某個平面內(nèi);（2）解決點、線、面位置關(guān)系問題的基本思路：一是逐個判斷，利用空間線面關(guān)系證明正確的結(jié)論，尋找反例否定錯誤的結(jié)論;二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如課桌、教室）作出判斷，但要注意定理應(yīng)用要準確、考慮問題要全面細致。

案例2：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條。

審題視角：找三條異面直線都相交的直線，可以轉(zhuǎn)化成在一個平面內(nèi)，作與三條直線都相交的直線。因而可考慮過一條直線及另外一條直線上的一點作平面。進而研究公共交線問題。

解析：方法一，在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置時就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點。如右圖所示。方法二，在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線。由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交。

溫馨提醒：本題難度較大，問題比較靈活。對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查，要注意的是本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會構(gòu)造平面，因此失分較多。這說明學(xué)生還是缺少空間想象能力，缺少對空間直線位置關(guān)系的理解。

2.傳統(tǒng)與向量并舉

傳統(tǒng)公理化體系的解決方案愈來愈在教學(xué)中不受教學(xué)重視，這里既有教師教學(xué)的原因也有學(xué)生對方法選擇使用的原因。從近年來高考問題堅持兩種解決方案并舉的今天，筆者認為立體幾何依舊要堅持傳統(tǒng)公理化體系的建立，在這基礎(chǔ)之上輔以空間向量的解決方案，使學(xué)生學(xué)會兩種不同的方式掌握立體幾何問題的解決。

例2（2013年鎮(zhèn)江模擬）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點M。（1）求證：AM⊥PD;（2）求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值。

分析：（1）略;（2）線面角的解決是空間幾何中最?？疾榈囊环N角的問題，對于本題所涉及的線面角，筆者以為平時教學(xué)中宜用兩種不同的方法進行教學(xué)，孰優(yōu)孰劣應(yīng)該由學(xué)生自己選取，學(xué)生對立體幾何不同的掌握決定其自身對向量法的使用更為合適還是傳統(tǒng)法的解決更為輕快，教師的主要職能是引導(dǎo)學(xué)生兩條腿走立體幾何的路。

說明：（1）求線面夾角時重點是找到斜線在平面內(nèi)的射影，因此重點是找到直線上一點向平面作垂線。（2）求線線角和線面角時，有時可通過平移改換要求的角，有時不易直接找到角可以利用等體積法求距離，使問題得以巧妙解決。（3）第一問往往是為第二問設(shè)置臺階，要注意這一規(guī)律。

總之，新課程下的立體幾何教學(xué)相比傳統(tǒng)，有了顯著的變化，我們教學(xué)既要關(guān)注立體幾何本質(zhì)的傳遞，也要掌握和熟練運用空間向量法解決立體幾何中角和距離的常規(guī)問題。限于篇幅，本文未對常規(guī)的角和距離問題進行展開求解說明，更多關(guān)注的是培養(yǎng)學(xué)生空間感覺、立足向量基礎(chǔ)和緊抓幾何本質(zhì)的視角，闡述了新課程立體幾何教學(xué)的復(fù)習(xí)策略。上述兩方面是立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的重要方面，關(guān)注空間感知和兩條路的并舉是解決空間幾何問題的關(guān)鍵，限于篇幅筆者用三個案例闡述了復(fù)習(xí)教學(xué)需要掌控的方向，不足之處請讀者批評指正和補充。

【參考文獻】

[1]俞求是.高中數(shù)學(xué)新課程立體幾何教學(xué)問題研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué).2010.2

[2]岳儒芳.由2009年高考立體幾何題閱卷引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)通訊.2009.8

[3]戴海林.立體幾何教學(xué)中的轉(zhuǎn)化策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2012.11

（作者單位：江蘇省口岸中學(xué)）