☉江蘇省泰州市田河初級(jí)中學(xué) 徐玲

芻議“解題能力”在初中數(shù)學(xué)中的培養(yǎng)與探索

☉江蘇省泰州市田河初級(jí)中學(xué) 徐玲

“解題能力”的提高是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的關(guān)鍵，《中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出對(duì)學(xué)生“解題能力”的培養(yǎng)，學(xué)生在不斷解決問題的過(guò)程中，掌握方法、領(lǐng)悟思想，學(xué)習(xí)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方法，以擴(kuò)展學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、敏捷性和批判性，以使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì).

一、“隱含”條件在解題中的挖掘，整合信息提高思維意識(shí)

1.從已知條件中挖掘隱含條件，順向推理

順向推理是指學(xué)生從已知出發(fā)，逐步到達(dá)未知，這是解決問題的一般方法.

案例1：已知m、n都為質(zhì)數(shù)，且滿足3m+5n=31，試求

隱含條件挖掘：由題意可知m、n是質(zhì)數(shù)，31為奇數(shù)，學(xué)生聯(lián)想到3m與5n之中必然有一個(gè)為奇數(shù)、一個(gè)為偶數(shù)，從而找到解決問題的方法.

解析：對(duì)3m和5n進(jìn)行討論.

（1）若3m為奇數(shù)，則5n一定為偶數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)相乘仍然為偶數(shù)，可以得出n=2，解方程得m=7，代入可得

（2）若5n為奇數(shù)，則3m為偶數(shù)，即m=2，解方程得n= 5，代入可

通過(guò)對(duì)已知條件的思考，挖掘出了其中的隱含條件，進(jìn)行討論，順利實(shí)現(xiàn)了問題的解決.

2.從未知結(jié)論中挖掘隱含條件，逆向推理

逆向推理是指學(xué)生從問題出發(fā)，根據(jù)問題的需要選擇數(shù)學(xué)公式、定律和推論，從而實(shí)現(xiàn)問題的解決.

通過(guò)對(duì)結(jié)果的分析，使得學(xué)生想要將已知與結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，在推導(dǎo)中利用了平方差公式、裂項(xiàng)相消法，從而實(shí)現(xiàn)了問題的解決.

二、“轉(zhuǎn)化”思想在解題中的運(yùn)用，簡(jiǎn)化過(guò)程提高思維方式

1.一般到特殊的思想轉(zhuǎn)化

“任意”作為初中數(shù)學(xué)試題的關(guān)鍵詞，具有一定的開放性，用特殊值法解這樣的問題就非常高效和精確.

案例3：己知方程：（n+1）x4-（3n+3）x3-2nx2+18n=0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)n，都會(huì)有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，解這個(gè)方程.

分析：已知n為任意實(shí)數(shù)，就可以取較為簡(jiǎn)單的數(shù)進(jìn)行代入計(jì)算.

解析：取n=0，則有x4-3x3=0，可得方程的解為x=3.

問題具有“任意”性，學(xué)生可以設(shè)立相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)字進(jìn)行分析，也可以讓n=-1，對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)便快捷地得到答案.

2.抽象到直觀的思想轉(zhuǎn)化

初中試題中往往有一些抽象的問題，學(xué)生不能直觀地看到問題之間的聯(lián)系，如果將其變?yōu)閳D形試題，問題則會(huì)迎刃而解.

分析：學(xué)生對(duì)字母型的問題感到非常陌生，通過(guò)對(duì)問題的觀察和分析，學(xué)生覺得與勾股定理有一定的相似，順勢(shì)就可以將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.

圖1

解析：根據(jù)三角形的面積可得：S△ABC=

一道比較復(fù)雜的代數(shù)題，通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為了有關(guān)直角三角形的圖形問題，整個(gè)題顯得生動(dòng)直觀了許多，問題的解決也就變得簡(jiǎn)單明了了.

三、“變式”訓(xùn)練在解題中的強(qiáng)化，靈活思考提高思維能力

“變式”訓(xùn)練主要根據(jù)題目的目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和特征等幾個(gè)方面進(jìn)行考慮，建立開放型的試題，主要包括一題多解、一題多變等幾方面，促進(jìn)學(xué)生從不同角度、不同層次進(jìn)行探索學(xué)習(xí)，以提升學(xué)生的思維能力.

1.在一題多解中，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

一題多解幫助學(xué)生從多個(gè)方面進(jìn)行分析，不僅夯實(shí)了基礎(chǔ)知識(shí)，還拓寬了學(xué)生的解題思路，促進(jìn)了學(xué)生知識(shí)運(yùn)用的靈活性，充分做到了舉一反三、融會(huì)貫通.

案例5：如圖2所示，在△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，AD∶DC=1∶2，BD的中點(diǎn)為E，且直線AE的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)為F.試求BF∶FC的值.

圖2

分析：題中讓求線段之間的比值，學(xué)生很容易就聯(lián)想到了相似三角形和平行線中的比例關(guān)系，從而可以從不同的角度解決問題.

解法1：利用平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行求解.過(guò)D點(diǎn)作AF的平行線，與BC相交于點(diǎn)N.

由BD的中點(diǎn)為E，得BF=FN.可以推得CM∶FM=CD∶ AD=2∶1，則CN=2FN=2BF，則BF∶FC=1∶3.

圖3

解法2：利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

如圖3，過(guò)A點(diǎn)作平行于直線BC的直線，與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.易得△AGD∽△CBD，則AG∶BC=GD∶BD=AD∶DC=1∶2，則GD=DE=BE.易得△AGE∽△FBE，則AG∶BF=GE∶BE=2∶1.由AG∶BC=1∶2，AG∶BF=2∶1，得BF∶CB=1∶4，則BF∶FC=1∶3.

解法3：利用三角形的面積比進(jìn)行求解.

如圖4，連接CE，過(guò)B點(diǎn)作AF的垂線于P，過(guò)C點(diǎn)作AF的垂線于AF的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)Q，從而得出△BFP∽△CFQ，則BF∶FC= BP∶CQ.由于AE既是△ABE的底又是△ACE的底，故S△ABE∶S△ACE=BP∶CQ= BF∶FC.因?yàn)椤鰽BE與△ADE同底同高，故有S△ABE=S△ADE.則S△ADE∶S△ACE= BF∶FC.△ADE與△ACE同底，故有S△ADE∶S△ACE=AD∶AC=1∶3.因此BF∶FC=1∶3.

學(xué)生從不同的角度進(jìn)行了分析，嘗試改變自己的思路進(jìn)行求解，在對(duì)比中了解了解題的繁簡(jiǎn)，長(zhǎng)期的堅(jiān)持有助于學(xué)生對(duì)最佳解法的掌握，很大程度上開闊了學(xué)生的思路，可促進(jìn)學(xué)生解題能力的發(fā)展.

圖4

2.在一題多變中，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性

一題多變是對(duì)題目結(jié)構(gòu)進(jìn)行變式，通過(guò)一個(gè)本質(zhì)實(shí)現(xiàn)了問題的發(fā)散，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的回顧，將知識(shí)、技能、方法和思想進(jìn)行靈活融合，極大地提高了學(xué)生的綜合能力，提升了學(xué)生思維的敏捷性.

案例6：已知一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，試求k的取值范圍.

分析：本題重在考查一次函數(shù)的定義，那么教師就可以以此為例對(duì)問題進(jìn)行變形，使學(xué)生深刻透徹地對(duì)一次函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí).

變式1：一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，該函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，試求k的值.

變式目的：考查圖像、原點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)解析式之間的關(guān)系，令x=0，y=0，就可得到-2k+18=0，則k=9.

變式2：一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，該函數(shù)與y軸有交點(diǎn)且在x軸的上方.試求k的值.

變式目的：考查一次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)問題，與y軸有交點(diǎn)則x=0，且在x軸上方，說(shuō)明-2k+18＞0，即k＜9.

變式3：一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，y隨x的增大而減小時(shí)，k為何值？

變式目的：考查一次函數(shù)的性質(zhì).3-k＜0，則k＞3.

變式4：一次函數(shù)y=（3-k）x-2k+18，其圖像與直線y=-x相平行，試求k的值.

變式目的：考查直線的位置關(guān)系.

變式不是盲目的，而是要具有一定的計(jì)劃性、針對(duì)性，使學(xué)生能夠全面細(xì)致地了解知識(shí)的每一個(gè)方面.加強(qiáng)了學(xué)生思維的訓(xùn)練，切實(shí)做到了精講、精練.

1.王林全.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法概論［M］.廣州：暨南大學(xué)出版社，2003.

2.譚德勝.換個(gè)角度思考問題——也談中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的化歸和轉(zhuǎn)化思想［J］.理科愛好者（教育教學(xué)版），2012（3）.Z