☉江蘇省連云港市贛榆區(qū)歡墩中學(xué) 彭忠榮

法則引入與注重算理：運(yùn)算教學(xué)的用力點(diǎn)

☉江蘇省連云港市贛榆區(qū)歡墩中學(xué) 彭忠榮

我們注意到，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2015年以來(lái)刊載了多篇研究專家教師李庾南老師課例的文章，筆者十分贊賞這種研究取向，因?yàn)橥ㄟ^(guò)觀摩、研究專家教師的課例設(shè)計(jì)、教學(xué)藝術(shù)，分析之后得到的就是研習(xí)者自身的專業(yè)成長(zhǎng)，也即是從默會(huì)知識(shí)到“悠然神會(huì)，妙處與君說(shuō)”的顯性傳遞.于是，筆者找來(lái)李庾南老師前幾年的教學(xué)錄像——七年級(jí)“去括號(hào)”，反復(fù)觀摩研習(xí)，現(xiàn)將該課的教學(xué)流程梳理出來(lái)，并跟進(jìn)賞析，與同行分享.

一、“去括號(hào)”教學(xué)過(guò)程

（一）開(kāi)課階段：回顧學(xué)生已有的去括號(hào)經(jīng)驗(yàn)

1.根據(jù)相反數(shù)的意義和表示方法去括號(hào)

（1）“相反數(shù)”的有關(guān)知識(shí).

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，正數(shù)的“+”可省略不寫(xiě).在任意一個(gè)數(shù)前面添上“-”，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù).

（2）練、議.

根據(jù)相反數(shù)的意義化簡(jiǎn)下列各數(shù)：

（3）概括練習(xí)中化簡(jiǎn)符號(hào)、去括號(hào)的方法.

括號(hào)前面是“+”時(shí)，由“正數(shù)的正號(hào)可省略不寫(xiě)”，將“+”和括號(hào)都去掉，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào)不改變；

括號(hào)前面是“-”時(shí)，由相反數(shù)的意義，把括號(hào)和它前面的“-”去掉，括號(hào)里面的數(shù)改變符號(hào).

2.根據(jù)有理數(shù)的乘法法則和乘法分配律去括號(hào)

（1）有理數(shù)乘法法則.

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，任何數(shù)同0相乘，都得0.

（2）乘法分配律.

一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加，即a（b+c）=ab+ac.

（3）練、議.

題1：計(jì)算5b+（-3b-2a）.

解：5b+（-3b-2a）……看作（+1）（-3b-2a）

＝5b-3b-2a……乘法分配律和乘法法則

＝2b-2a.

題2：13-（a-5）.

解：13-（a-5）……看作（-1）（a-5）

＝13-a+5……乘法分配律和乘法法則

＝18-a.

筆者說(shuō)明：這里的運(yùn)算并不是重點(diǎn)，多數(shù)學(xué)生都能順利完成，重要的是教師在每一步后面都追問(wèn)學(xué)生的變形依據(jù)，并注明算理.

教師解說(shuō)：括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外面的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反.

進(jìn)一步反思講評(píng)：根據(jù)加法的結(jié)合律和減法的運(yùn)算性質(zhì)去括號(hào).

題1：5b+（-3b-2a）＝5b-3b-2a……加法結(jié)合律.

題2：13-（a-5）＝13-a+5……減法運(yùn)算性質(zhì).

對(duì)于題2，也可以這樣理解：一個(gè)數(shù)減去幾個(gè)數(shù)的和，等于從這個(gè)數(shù)連續(xù)減去各個(gè)數(shù).

（二）師生共同概括去括號(hào)法則

1.去括號(hào)法則

符號(hào)表示：a+（b-c）=a+b-c.

文字表示：括號(hào)前面是“+”，把括號(hào)和它前面的“+”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變號(hào).

符號(hào)表示：a-（b-c）=a-b+c.

文字表示：括號(hào)前面是“-”，把括號(hào)和它前面的“-”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào).

2.練、議

合并下列各式的同類項(xiàng)：（教師要求學(xué)生注明第一步的依據(jù)）

（1）8a+2b+（5a-b）；（2）（5a-3b）-3（a2-2b）；

（3）3x-（4y-2x+1）；（4）-（x-y）+（-x-y）.

（三）由等式的對(duì)稱性質(zhì)“若a=b，則b=a”，概括添括號(hào)法則

1.去括號(hào)法則反過(guò)來(lái)為添括號(hào)法則

去括號(hào)法則添括號(hào)法則

2.添括號(hào)法則

添括號(hào)后，括號(hào)前面是“+”的，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；

添括號(hào)后，括號(hào)前面是“-”的，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).

3.去、添括號(hào)符號(hào)法則的一致性

括號(hào)前面是“+”，去、添括號(hào)都不變號(hào)；

括號(hào)前面是“-”，去、添括號(hào)都要變號(hào).

4.練、議，進(jìn)一步理解添括號(hào)法則

例1在等號(hào)右邊的括號(hào)內(nèi)，填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：

（1）a+b+c-d=a+（）；……添帶有“+”的括號(hào)

（2）a-b+c-d=a-（）；……添帶有“-”的括號(hào)

（3）a-b-c-d=a-b+（）；……添帶有“+”的括號(hào)

（4）a+b+c+d=a+b-（）；……添帶有“-”的括號(hào)

（5）（a+b-c-d）（a-b+c-d）=［（a____）+（b______）］·［（a______）-（b_______）］.……添括號(hào)，學(xué)生們按題的特征自主選擇填的項(xiàng)

例2（1）在多項(xiàng)式m4-2m2n2-2m2+2n2+n4中添括號(hào).

要求：把四次項(xiàng)相結(jié)合，放在前面帶有“+”的括號(hào)里；把二次項(xiàng)相結(jié)合，放在前面帶有“-”的括號(hào)里.

解：m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=（m4-2m2n2+n4）-（2m2-2n2）.

（2）把3x3-2x2-6x+4寫(xiě)成兩個(gè)二項(xiàng)式的和.

教學(xué)記錄：由于這是一個(gè)開(kāi)放式問(wèn)題，所以學(xué)生有不同的解答，如下所示.

解：3x3-2x2-6x+4=（3x3-2x2）-（6x-4）=（3x3-2x2）+（-6x+4）=（3x3-6x）+（-2x2+4）.

（四）去、添括號(hào)法則的應(yīng)用練習(xí)

（1）計(jì)算（8xy-3x2）-5xy-2（3xy-2x2）.

（2）化簡(jiǎn)2a-3b+［4a-（3a-b）］.

（4）三角形的第一邊是a+2b，第二邊比第一邊?。╞-2），第三邊比第二邊小5，計(jì)算三角形的周長(zhǎng).

教學(xué)記錄：這4道習(xí)題教師都要求不僅會(huì)做，還要能講每一步的運(yùn)算依據(jù)，即算理.其中第二題學(xué)生的不同解法如下所示.

解法1：2a-3b+［4a-（3a-b）］

＝2a-3b+4a-（3a-b）……先把（3a-b）看作一個(gè)整體，化去帶有“+”的中括號(hào)

＝2a-3b+4a-3a+b……化去帶有“-”的小括號(hào)

＝（2+4-3）a-（3-1）b……合并同類項(xiàng)時(shí)，添加括號(hào)

＝3a-2b.

解法2：2a-3b+［4a-（3a-b）］

＝2a-3b+（4a-3a+b）……先去小括號(hào)

＝2a-3b+（a+b）

＝2a-3b+a+b

＝3a-2b.

對(duì)于第四題，不少學(xué)生的解法中沒(méi)有文字表達(dá)，全是字母運(yùn)算，教師在訂正時(shí)規(guī)范如下所示的解法步驟.

解：由題意知：—邊為a+2b；

第二邊為（a+2b）-（b-2）……添括號(hào)

＝a+2b-b+2……去括號(hào)

＝a+b+2；

第三邊為（a+b+2）-5……添括號(hào)

＝a+b+2-5……去括號(hào)

＝a+b-3.

所以該三角形的周長(zhǎng)為（a+2b）+（a+b+2）+（a+b-3）……添括號(hào)

＝a+2b+a+b+2+a+b-3……去括號(hào)

＝3a+4b-1.

（五）師生小結(jié)，布置作業(yè)

（1）在化簡(jiǎn)、計(jì)算等解決問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)需要添括號(hào)，有時(shí)需要去括號(hào)，必須掌握去、添括號(hào)法則.

（2）去、添括號(hào)法則中，括號(hào)與其前面的符號(hào)為一個(gè)整體，同時(shí)去、同時(shí)添，去、添括號(hào)的符號(hào)法則是一致的.

（3）去、添括號(hào)是兩個(gè)互逆過(guò)程，可相互檢驗(yàn)變形過(guò)程的正誤.

二、課例賞析

以上梳理了李老師關(guān)于去括號(hào)教學(xué)的教學(xué)過(guò)程，其中有些來(lái)自課堂中的學(xué)生生成，有些是教師的點(diǎn)評(píng)或示范，并附有筆者的聽(tīng)課隨感，以下再?gòu)恼w上給出兩點(diǎn)賞析.

1.運(yùn)算法則教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生感受法則的合理性、和諧性、一致性

從開(kāi)課階段看似冗長(zhǎng)的課堂引入來(lái)看，這節(jié)課是整式加減前的一個(gè)去括號(hào)法則，為什么不直接引入或介紹去括號(hào)法則，而要九曲十八彎地復(fù)習(xí)到上一章中有理數(shù)的諸多性質(zhì)呢？這其實(shí)就是作為專家教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)前后一致、邏輯連貫的深刻理解，因?yàn)樵趯W(xué)生有理數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于相反數(shù)、乘除法則等運(yùn)算的學(xué)習(xí)，已經(jīng)涉及去括號(hào)的思想或方法，這時(shí)教者通過(guò)復(fù)習(xí)這些舊知，目的是啟發(fā)學(xué)生類比、歸納、概括出新知——“去括號(hào)”法則，而且在此過(guò)程中，一個(gè)新法則（或新約定），它的合理性、和諧性、一致性就被前面的引入環(huán)節(jié)鋪墊得非常到位.這樣的教學(xué)比之“一個(gè)法則，三項(xiàng)注意、幾道例習(xí)題訓(xùn)練”（章建躍語(yǔ)）式教學(xué)要高明得多，與那種貼標(biāo)簽式的強(qiáng)調(diào)去括號(hào)具有合理、和諧、一致的點(diǎn)評(píng)相比，也有著更為高超的“無(wú)痕”教學(xué)藝術(shù).此外，大家是否注意到，目前教材上在該節(jié)教學(xué)時(shí)并沒(méi)有添括號(hào)法則，然而上面的教學(xué)中，李老師卻基于“反過(guò)來(lái)”的思考，引導(dǎo)學(xué)生概括小結(jié)了添括號(hào)法則，教學(xué)過(guò)程非常自然，學(xué)生接受得也很好，這并不是增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而是完善了知識(shí)體系，讓學(xué)生加深了知識(shí)之間的和諧共生、邏輯一致的認(rèn)識(shí)，專家教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解值得深思.

2.運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該在重視算理的基礎(chǔ)上追求運(yùn)算速度

中科院李文林研究員曾指出，數(shù)學(xué)就是兩個(gè)字：算和證.就我們所見(jiàn)，當(dāng)前教學(xué)中對(duì)運(yùn)算的要求是高的，學(xué)生進(jìn)行繁雜運(yùn)算的能力是強(qiáng)的，一方面有應(yīng)試的壓力，另一方面與我們過(guò)分拒絕使用計(jì)算器也不無(wú)關(guān)系.然而，對(duì)于算理的重視卻不夠到位.表現(xiàn)在運(yùn)算教學(xué)中，我們過(guò)分重視了大量的運(yùn)算演練，讓學(xué)生通過(guò)過(guò)度的機(jī)械訓(xùn)練來(lái)達(dá)到“熟能生巧”的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo).而我們從李老師的教學(xué)中能發(fā)現(xiàn)，她的這節(jié)課并沒(méi)有安排大量的、形形色色的運(yùn)算訓(xùn)練，而是注意在有限的幾個(gè)練習(xí)中開(kāi)展算理的追問(wèn)、標(biāo)注，并倡導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立運(yùn)算之后的小組議論、全班交流，注意每一步運(yùn)算的依據(jù)和算理的訓(xùn)練.筆者以為，這即是一種高水平的數(shù)學(xué)教學(xué).運(yùn)算教學(xué)的新課期間，如果不能充分重視算理，就匆匆追求所謂的運(yùn)算速度是本末倒置.

1.朱映紅.情境創(chuàng)設(shè)再認(rèn)識(shí)：值得重視的“超經(jīng)驗(yàn)”——李庚南老師“二元一次方程組”起始課賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

2.吳燕飛.找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)，思辨特殊與一般——李庚南老師“直角三角形全等”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.

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5.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

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