☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

對一個(gè)將軍飲馬模型問題的三個(gè)反思

☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

題目（2013年蘇州數(shù)學(xué)中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為_______.

圖1

圖2

參考答案：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD交OB于點(diǎn)P，連接AP，過點(diǎn)D作DN⊥OA于點(diǎn)N，則此時(shí)PA+PC的值最小.因?yàn)锽（3，），所以AB=OA=3，∠B=60°，由勾股定理得OB=2，由三角形面積公式因?yàn)椤螦MB=∠BAO=90°，∠B=60°，所以∠BAM=30°，∠OAM=60°.因?yàn)镈N⊥OA，所以∠NDA=由勾股定理得Rt△DNC中，由勾

反思1：為何舍棄另一種思路？

此題屬于典型的“將軍飲馬”問題，在尺規(guī)作圖問題中有兩種解答思路：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)D，連接CD與直線OB相交于點(diǎn)P；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)E，連接AE與直線OB相交于點(diǎn)P.兩種方法的本質(zhì)是相同的，思路也是相同的，只是選擇的點(diǎn)不同罷了，而且兩種作圖方法最終確定的點(diǎn)P的位置是重合的，PA+ PC的最小值即線段CD或線段AE的長也被唯一確定.因此，在日常教學(xué)中沒有引起學(xué)生和教師的足夠注意，思路（1）或思路（2）的選擇隨意性很大，沒有任何甄選的過程.

那么，在具體問題解答中，應(yīng)該選擇作點(diǎn)A還是選擇作點(diǎn)C的對稱點(diǎn)呢？還是兩種選擇都是一樣的呢？

圖3

本題參考答案選擇“作點(diǎn)A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD交OB于點(diǎn)P”，如圖2，給出了解答，通過網(wǎng)絡(luò)搜索發(fā)現(xiàn)許多文獻(xiàn)也直接借鑒了這一解法.那么為什么選擇思路（1），而不選擇思路（2），是因?yàn)樗悸罚?）復(fù)雜嗎？還是因?yàn)閮煞N思路本質(zhì)相同選擇哪一個(gè)對于問題的解決沒有影響？下面先給出基于思路（2）的證明：如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)E，連接AE與直線OB相交于點(diǎn)P.過點(diǎn)E作EN⊥OA，垂足為N.因?yàn)?/p>

對比兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)思路（2）較參考答案更簡捷，涉及的知識點(diǎn)和要求更少，推理難度更低.分析解題方案選擇中厚此薄彼的原因，可能在于解題者受“將軍飲馬”問題尺規(guī)作圖方法的影響，認(rèn)為兩種思路的效果是一樣的，因而在問題被遷移到本題中的時(shí)候，也武斷地認(rèn)為選擇哪種思路解答都沒有區(qū)別，就選擇了作點(diǎn)A的對稱點(diǎn).討論中另有教師指出，或許因?yàn)辄c(diǎn)A距離OB較遠(yuǎn)，且點(diǎn)A是直角三角形的頂點(diǎn)位置較為特殊，作出的圖形更顯大氣，不似圖3中各圖形元素聚集在小范圍內(nèi)顯的擁擠繁雜，而有時(shí)候繁雜的圖形會影響解題人的思路，且不利于分析相互間的關(guān)系.此言也并非沒有道理，但筆者認(rèn)為，此解中“厚此薄彼”暴露出解題人在問題解答中缺少對各種解題思路的一種“先行預(yù)判”和“甄選”，即在選擇作點(diǎn)A和點(diǎn)C的對稱點(diǎn)兩種思路之間缺乏對解答中可能用的知識點(diǎn)、方法，以及難易程度、可行性等缺乏比較分析，以至于解題分析中方案的選擇更多的表現(xiàn)為一種隨意性.

反思2：問題可否推廣到一般情況？

事實(shí)上，也可以同時(shí)作出點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，如圖4，根據(jù)軸對稱性可以發(fā)現(xiàn)，在原題已知條件下可以發(fā)現(xiàn)O、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，△OAD是等邊三角形，并且△DOC≌△AOE，其中OD=OA，OE=OC，∠DOA=∠EOC=2∠BOA=60°，可以得到四邊形ADEC是等腰梯形等結(jié)論，對角線CD和AE的長度都等于PA+PC的最短距離.基于這一認(rèn)識，我們可以繼續(xù)考慮問題的一般形式.

圖4

圖5

對于一般情況有：點(diǎn)A、C是直線m同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線AC（記作直線n）與直線m相交于點(diǎn)O，且夾角記作θ，如圖5，作出點(diǎn)A、C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)D、E，根據(jù)對稱性可以確定O、D、E三點(diǎn)依然在同一條直線上，且∠DOA=2∠BOA=2θ，記OC=OE=b，OA=OD=a，在△AOE中，由余弦定理可知AE2=OE2+OA2-2OE·OA·cos∠DOC= OC2+OA2-2OC·OA·cos2∠BOA=b2+a2-2abcos2θ.所以PA+

如果要回避余弦定理，利用三角函數(shù)和勾股定理也可求得AE的長.根據(jù)圖3也可以得到上述結(jié)論，但是參考答案（如圖2）的方法就顯得無能為力了，因?yàn)樗鼪]有把將軍飲馬問題中的三個(gè)決定因素有效聚集在一起，尤其沒有有效聚集在同一個(gè)三角形中，從這個(gè)角度分析，可以再一次發(fā)現(xiàn)參考答案舍棄思路（2）的遺憾.

至于它的應(yīng)用不再舉例，因?yàn)榉治錾厦嬉话阈问?，不是為了總結(jié)什么公式或者新定理以求直接在解答問題的時(shí)候套用，而是希望通過探究，使得將軍飲馬模型問題中決定最短距離的三個(gè)參數(shù)a、b、θ（即OC、OA、直線m和直線n的夾角）在確定最短距離中的作用，進(jìn)一步說明參考答案舍棄思路（2）的不智.再者，利用這一結(jié)論可以將幾何問題化歸為代數(shù)問題求解，體現(xiàn)了化歸思想，且在實(shí)際生產(chǎn)、工程問題中代數(shù)方法應(yīng)用更為廣泛和更有應(yīng)用價(jià)值.

反思3：在實(shí)際生活中，將軍飲馬模型問題還有哪種參數(shù)系統(tǒng)？

在前面分析中，指出線段OC、線段OA、直線m和直線n的夾角是決定PA+PC的最短距離的三個(gè)參數(shù)，那么在實(shí)際生活中，還有沒有其他的決定最短距離的參數(shù)系統(tǒng)？

略作分析，可以發(fā)現(xiàn)在實(shí)際生活中，還可以確定另外一種確定最短距離的參數(shù)系統(tǒng)，即點(diǎn)C到直線m的距離CM，記作h1，點(diǎn)A到直線m的距離AN，記作h2，以及點(diǎn)A和點(diǎn)C之間的距離，記作d，這三個(gè)參數(shù)都是實(shí)際生活中比較容易測量的.如圖6，前面已經(jīng)分析過，四邊形ACED是等腰梯形，最短距離為對角線AE或CD，過點(diǎn)C、D分別向AD作垂線，垂足為F、G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得AF= h2-h1，DF=2h2-（h2-h1）=h2+h1，由勾股定理可得CD2=CF2+ DF2，AC2=CF2+AF2，消去CF2可得CD2=AC2-AF2+DF2=d2-（h2-h1）2-（h2+h1）2，所以PA+PC的最短距離為

圖6

下面這道源自百度百科的問題，可以很好地說明第二種參數(shù)系統(tǒng)在生活中的應(yīng)用價(jià)值.如圖7，有A、B兩個(gè)村莊，他們想在河流m的岸邊建立一個(gè)水泵站，已知每米的管道費(fèi)用是100元，測量得到A到河流的距離AD是1km，B到河流的距離BE是3km，DE長3km.請問這個(gè)水泵站應(yīng)該建立在哪里使得費(fèi)用最少？為多少？

分析：問題中告知村莊A、B到河流岸邊的距離，在實(shí)際生活中這也是比較容易測量的量.在第二套參數(shù)系統(tǒng)中，可以很容易由AD、BE、AB確定DE.如圖7所作，C點(diǎn)為水泵站的位置，所鋪設(shè)的水管長度就是AC+BC=A′C+ BC=A′B.因?yàn)镋F=A′D=AD=1km，所以BF=BE+EF=4km.又A′F=DE=3km，在Rt△A′BF中，A′B2=A′F2+BF2，解得A′B=5km.所以總費(fèi)用為500000元.

至此，我們得到了將軍飲馬模型問題的兩種參數(shù)系統(tǒng)，雖然涉及參數(shù)系統(tǒng)不同時(shí)表達(dá)式不同，但其本質(zhì)是相同的.從圖5、圖6的分析也暴露出原試題參考答案貿(mào)然舍棄“過點(diǎn)C作關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)”的不妥.這就啟發(fā)我們，在選擇解題思路的時(shí)候，一定要有問一問“為什么要這樣，而不能那樣”，要有一個(gè)“先行預(yù)判”和“甄選”的過程.H

圖7