☉山東省沂源縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 崔春近

適時(shí)“留白”，讓學(xué)生展示精彩

☉山東省沂源縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 崔春近

想到了國畫和書法應(yīng)該是疏密有致，疏處可以走馬，密處不使透風(fēng)，在課堂教學(xué)中適時(shí)“留白”，讓學(xué)生展示精彩，同樣會(huì)收到不一樣的效果.在課堂中，教師讓學(xué)生充分展示自己的才華，通過學(xué)生的自主探究、小組交流，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何在已知與未知之間架起一座“橋梁”，實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)方式由被動(dòng)接收式向主動(dòng)探究式的根本轉(zhuǎn)變.教師以問題為背景依托，充分拓展學(xué)生思維的空間，讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在不知不覺中鍛煉提升了自己的思維.下面，筆者結(jié)合自身的教學(xué)和教學(xué)活動(dòng)中的所見、所感、所想，談自己的粗淺認(rèn)識.

一、引而不發(fā)，在方法拓展時(shí)“留白”

題目1：（2013·呼和浩特·16）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（-6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________.

圖1

分析：本題在十字坐標(biāo)系中給出了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，讓我們在y軸上尋找一點(diǎn)，使得∠BCA=45°，解題的關(guān)鍵在于怎樣利用∠BCA=45°這一條件，如何將∠BCA=45°這一條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.本想根據(jù)筆者自己的教學(xué)預(yù)設(shè)給學(xué)生講解，在課堂中自己把問題放手給學(xué)生，聽一聽學(xué)生的分析思路，卻收到了意外的驚喜.生1：我是利用面積相等法來求解的.具體過程如下.當(dāng)C點(diǎn)在y軸的正半軸時(shí)，如圖1，作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)OC=h，則為∠BCA= 45°，所以據(jù)BC·AD=BA·OC得到解得h2=144或h2=4（不符合題意，舍去），所以h=12，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

同理，當(dāng)C點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸時(shí)，可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-12）.

（主要是考慮到∠BCA=45°，然后過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，這樣就構(gòu)造出了等腰直角三角形ACD，然后利用面積相等列出了等式，這一種方法比較好理解，但是計(jì)算上比較麻煩，方程中出現(xiàn)了四次方，對于學(xué)生們的計(jì)算能力是一個(gè)挑戰(zhàn)）

生2：我是構(gòu)造等腰直角三角形，利用面積分割來求解此題.如圖2，過B作BD⊥BC與CA的延長線相交于一點(diǎn)D，然后作DD′⊥x軸于D′.因?yàn)椤螧CA=45°，所以三角形BCD是等腰直角三角形，BD=BC.易證Rt△BDD′≌Rt△CBO，所以DD′=6.

圖2

（還是考慮到∠BCA=45°，構(gòu)造等腰直角三角形BCD，同時(shí)還構(gòu)造出了一對全等三角形，然后利用面積分割列出了等式，這一種方法省去了學(xué)生1計(jì)算4次方的麻煩，但是構(gòu)造上有一定的技巧性）

生3：我也是構(gòu)造等腰直角三角形，利用相似來求解此題.我的輔助線的作法與學(xué)生2的相同，過B作BD⊥BC與CA的延長線相交于一點(diǎn)D，然后作DD′⊥x軸于D′.因?yàn)椤螧CA=45°，所以三角形BCD是等腰直角三角形，BD= BC.很容易證Rt△BDD′≌Rt△CBO，所以DD′=6.設(shè)OC= h，則AD′=h-10.根據(jù)Rt△AOC∽Rt△AD′D，得解得h=12或h=-2（舍去），所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

（還是考慮到∠BCA=45°，構(gòu)造等腰直角三角形BCD，同時(shí)還構(gòu)造出了一對相似三角形，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出了等式）

生4：我是利用軸對稱求解的.如圖3，作三角形BCA關(guān)于AC的對稱三角形ACD，連接BD與AC相交于點(diǎn)E，與y軸相交于點(diǎn)F，過D作DD′⊥y軸于點(diǎn)D′.很容易證Rt△BAE≌Rt△CFE，所以CF=10.又因?yàn)镽t△CDD′≌Rt△BCO，所以CD′=6，D′F=4，DD′=OC.設(shè)OC=h，由△DD′F∽△BOF，得h=12或h=-2（舍去），所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

（利用軸對稱構(gòu)造了三個(gè)等腰直角△BCD、△BCE、△CDE，然后通過兩次全等、一次相似來求解，在求解過程中體現(xiàn)了構(gòu)造的思想，并充分利用全等、相似的相關(guān)知識求出結(jié)果）

圖3

圖4

生5：利用輔助圓來求解.如圖4，作△ABC的外接圓，圓心為D，因?yàn)椤螧CA=45°，所以∠BDA=90°.易求得AD= BD=作DE⊥y軸，垂足為E，因?yàn)镈E=1，CD=所以CE=7.又因?yàn)镺E=5，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

（利用輔助圓中圓周角和圓心角的關(guān)系，將∠BCA= 45°這一條件轉(zhuǎn)化，輕松地將問題轉(zhuǎn)化）

生6：我是利用相似、全等來求解的.具體過程如下.

如圖5，作AD⊥BC于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)E.因?yàn)镃D=AD，所以Rt△DBA≌Rt△DEC，所以CE=10.設(shè)OE=x，因?yàn)镽t△AOE∽Rt△COB，x2+10x-24= 0，解得x=2或x=-12（不符合題意，舍去），所以x=2，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

圖5

圖6

生7：通過翻閱高中課本，我是利用直線到直線的角來求解的.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，a），理得a2-10a-24=0.解得a=12或a=-2（舍去），所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

（直接根據(jù)直線BC到直線AC的角是45°，利用夾角公示就可以直接求出結(jié)果.但是公式的內(nèi)容超出了初中教材，需要自己課下提前學(xué)習(xí)才行）

生8：利用軸對稱構(gòu)造正方形，運(yùn)用勾股定理求解.如圖7，作三角形BCO關(guān)于BC的對稱三角形DCB，同理，作三角形AOC關(guān)于AC的對稱三角形ACE.易證∠DCE=90°.又因?yàn)椤螪=∠E=90°，所以延長DE與EA相交于點(diǎn)F，則四邊形CDFE是正方形.設(shè)OC=h，則BF=h-6，AF=h-4.在Rt△ABF中，由勾股定理可得（h-6）2+（h-4）2=100，解得h=12或h=-2（舍去），所以C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，12）.

（利用軸對稱構(gòu)造出了正方形，當(dāng)然，這里面運(yùn)用了矩形、正方形的判定，然后運(yùn)用勾股定理求出答案，方法十分巧妙）

圖7

二、觀而不理，在思維沖突前“留白”

題目2：如圖8，△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列條件中，一定能確定△ABC是直角三角形的是：①∠A+∠B=90°，②AC2+BC2= AB2，③AB·CD=AC·BC，….

學(xué)生對于①、②沒有什么疑問，但對于③卻展開了激烈的爭論.

圖8

生1：此條件不能確定△ABC是直角三角形，由AB· CD=AC·BC，得△ABC與△BCD的公共角是∠B，這是兩邊成比例，其中一邊的對角相等，不能夠證明△ABC∽△BCD，所以不能確定△ABC是直角三角形.

（大部分同學(xué)認(rèn)為學(xué)生1的分析有道理，教師也點(diǎn)頭認(rèn)可，學(xué)生2的分析卻讓課堂再現(xiàn)“波瀾”）

生2：此條件可以判定∠ACB=90°.

（同學(xué)們都投入了異樣的目光）

（師生都為生2的精彩講解喝彩，不約而同地為學(xué)生2的表現(xiàn)鼓掌）

生3：學(xué)生2的分析不正確，我們可以設(shè)AB=6，CD=2，AC=3，BC=4，此時(shí)，AC2+BC2≠AB2，那么，△ABC不是直角三角形.

（生3通過這一舉例，讓生2的分析陷入了尷尬，高潮過后的“平靜”又起“風(fēng)波”.這時(shí)，老師只有在一旁靜靜地等待，課堂是學(xué)生的課堂，學(xué)生的頭腦也并非容器，而是等待被點(diǎn)燃的火種！教師要給機(jī)會(huì)，留出時(shí)間，給學(xué)生更大的空間，特別是思維的空間，使課堂正真成為學(xué)生學(xué)習(xí)的舞臺(tái).要讓學(xué)生戰(zhàn)勝知識的抽象，享受到成功的快樂）

生4：學(xué)生3的舉例不可以，若AC=3，CD=2，則AD=，若BC=4，CD=2，則BD=所以AB=所以對于AB、CD、AC、BC不能夠隨便賦值.

（問題在不斷地討論中落下帷幕，肖川語：“教育的過程就是一個(gè)不完美的人引領(lǐng)著另一個(gè)不完美的人追求完美的過程，我們永遠(yuǎn)走在‘趨于完美’的路上，而達(dá)到‘知行合一’需要一個(gè)過程.”所以教學(xué)的過程是不斷探究的過程，是突破思維定勢、大膽創(chuàng)新的過程.探索的過程充滿艱辛與苦惱，發(fā)現(xiàn)問題的根源所在可謂是歷盡“磨難”，方成正果.整個(gè)問題的探究，學(xué)生自由發(fā)言，師生共同營造了一個(gè)“平等、民主、親密、寬松”的教學(xué)氛圍，學(xué)生積極動(dòng)腦，大膽發(fā)言，當(dāng)問題出現(xiàn)時(shí)，教師期待的目光激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，探究的愿望油然而生.學(xué)生身臨其境的探究活動(dòng)，使學(xué)生更清晰地明白了前因后果）

三、導(dǎo)而不為，在“困難”面前“留白”

題目3：在如圖9所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，4），點(diǎn)A繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，點(diǎn)B再繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

分析：題目設(shè)置在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩次，然后求兩次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)，題干“精煉”，但細(xì)細(xì)分析又感覺無從下手，不知如何去利用已知條件，怎樣找到解決問題的“突破口”呢？

備課組內(nèi)教師也對此題進(jìn)行了探究討論.

教師1：我們可以設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（5cosθ，5sinθ），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5cos（θ+135°），5sin（θ+135°））.因?yàn)閏os（θ+

（盡管這一思路易于理解，計(jì)算量也不是很大，但教師們都對這一求解思路持否定意見，因?yàn)榇朔ㄟ\(yùn)用了高中三角函數(shù)的知識，已超出了學(xué)生的接受水平.對于初中生來說很難理解，必須另辟蹊徑）

圖9

圖10

教師2：如圖10，連接BC，過B點(diǎn)作BD⊥OC.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意x2+y2=25①.又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為

（這一思路很清晰，也易于理解，主要運(yùn)用點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離是5，還有B、C兩點(diǎn)間的距離就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo).但需要求解一個(gè)二元二次方程組，對于學(xué)生的計(jì)算能力是一個(gè)挑戰(zhàn).教師們一致決定，把這一題目作為一個(gè)探究性問題與學(xué)生一塊分析探究，共同找到最佳的解決方案.數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平也只有在解題探究的過程中才能體現(xiàn)，“常在河邊走，哪能不濕鞋”，關(guān)鍵是如何去面對問題，每個(gè)學(xué)生都有無限的創(chuàng)造潛能，關(guān)鍵是老師的啟發(fā)、引導(dǎo)和鼓勵(lì)）

課堂上教師引導(dǎo)，師生共同探究，將問題一步步轉(zhuǎn)化，思路一步步清晰，方法也越來越簡單.

圖11

思路1：如圖11，反向延長CO到C′，使得OC′=OC，過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F，交OC′于點(diǎn)E，過E作EG⊥OA，設(shè)GE=x.因?yàn)椤螦OC′=45°，所以O(shè)G=x.在Rt△AGE坐標(biāo)C點(diǎn)的坐標(biāo)為

思路2：如圖12，過A點(diǎn)作AD⊥OA，與CO的延長線交于D，作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F.因?yàn)椤螼AD=∠AFD=90°，所以∠OAE=∠ADF.又因?yàn)锳D= OA，所以△AOE≌△DAF，所以AF=3，F(xiàn)D=4，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，1）.又因?yàn)榫€段OD與線段OC關(guān)于原點(diǎn)位似，

圖12

圖13

思路3：如圖13，過A點(diǎn)作AD⊥OA，與CO的延長線交于D，連接AB.因?yàn)椤螧OA=∠OAD=90°，∠AOD=∠OAB= 45°，所以BO∥AD，OD∥AB，所以四邊形ODAB是平行四邊形.因?yàn)镺A的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，3），所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，1）.又因?yàn)榫€段OD與線段OC關(guān)于原

題海無邊，教師想在有限的時(shí)間內(nèi)把題海中的無數(shù)條魚都“捕殺殆盡”，顯然是不可能的，唯有授人以漁，在問題探究中，根據(jù)實(shí)際為學(xué)生搭建探究和展示的舞臺(tái)，讓學(xué)生在探究中不斷改進(jìn)，在不斷改進(jìn)中提升自己的能力，才能把學(xué)生從題海中拉出，才能讓學(xué)生以不變應(yīng)萬變，從容于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中.Z