☉浙江省余姚市教育局教研室應(yīng)建軍

初中數(shù)學(xué)“五步歸一”錯(cuò)例修正法的實(shí)踐與探索
——以一道作業(yè)本習(xí)題為例

☉浙江省余姚市教育局教研室應(yīng)建軍

一、相關(guān)概念

1.錯(cuò)例修正

通過師生合作對學(xué)生在平時(shí)作業(yè)、考試試卷中存在的錯(cuò)例進(jìn)行訂正、分析及反思，以獲取正確或合理的做法并進(jìn)行思維的拓展，從而提高教學(xué)活動的有效性.

2.初中數(shù)學(xué)“五步歸一”錯(cuò)例修正法的基本模式

3.初中數(shù)學(xué)“五步歸一”錯(cuò)例修正法的基本步驟

第一步，自主修正：學(xué)生針對平時(shí)作業(yè)、考試試卷中的錯(cuò)例進(jìn)行訂正，不明之處請教同學(xué)或老師，爭取及時(shí)修正錯(cuò)例.

第二步，教師分析修正：教師整合學(xué)生在平時(shí)作業(yè)、考試試卷中的錯(cuò)例后進(jìn)行系統(tǒng)的講解、比較及適當(dāng)拓展，學(xué)生在教師的分析過程中修正錯(cuò)例.

第三步，修正卡修正：學(xué)生通過整理、歸類、篩選，把典型的錯(cuò)例摘抄或剪貼在錯(cuò)例修正卡中，并寫出錯(cuò)誤原因、正確的解法、反思與拓展，從而修正錯(cuò)例.

第四步，合作修正：教師安排定量時(shí)間組織學(xué)生互相學(xué)習(xí)、評析錯(cuò)例修正卡，并推選優(yōu)秀錯(cuò)例分析供交流學(xué)習(xí)，學(xué)生在小組合作過程中修正錯(cuò)例.

第五步，賞析修正：教師根據(jù)各組推選的錯(cuò)例分析進(jìn)行核查、篩選，最終確定優(yōu)秀作品，貼于教室的“作品欄”，學(xué)生在欣賞作品的過程中修正錯(cuò)例.

一個(gè)目標(biāo)：提高教學(xué)活動的有效性.通過實(shí)施上述五個(gè)錯(cuò)例修正步驟完備學(xué)生知識，學(xué)生對知識掌握過程中存在的問題進(jìn)行思考，改正學(xué)生解題過程中的錯(cuò)誤習(xí)慣、錯(cuò)誤做法，培養(yǎng)學(xué)生的辨析錯(cuò)誤能力、創(chuàng)新思維能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，從而提高教學(xué)活動的有效性.

二、實(shí)施“五步歸一”錯(cuò)例修正法的典型案例

一道作業(yè)本習(xí)題的修正過程：

例1（浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊配套作業(yè)本第二章復(fù)習(xí)題第16題）如圖1，直角三角形紙片的兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，求CD的長.

圖1

此例是一道代數(shù)與幾何結(jié)合的綜合性題目，涉及勾股定理、折疊問題、一元二次方程等知識，應(yīng)用了轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，具有一定的靈活性、創(chuàng)新性.

第一步，自主修正.

學(xué)生針對平時(shí)作業(yè)、考試試卷中的錯(cuò)例進(jìn)行訂正，不明之處請教同學(xué)或老師，爭取及時(shí)修正錯(cuò)例.學(xué)生對此例的主要訂正過程如下：

解析：由已知折疊可知∠AED=∠C=90°，AE=AC= 6cm，DE=CD.因?yàn)锽C=8cm，所以AB=10cm，所以BE=4cm.

在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，即42+CD2=（8-CD）2，解得CD=3cm.

很多學(xué)生不會訂正這一題，共有5個(gè)學(xué)生問了老師，有些學(xué)生在同學(xué)之間也進(jìn)行了探討、請教.

第二步，教師分析修正.

此例是一道典型的錯(cuò)例，A老師在作業(yè)講評過程中進(jìn)行了重點(diǎn)分析，分析過程如下：

首先，此例要在折疊過程中找到不變的量，即∠AED=∠BED=∠C=90°、AC=AE、DC=DE.其次，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把問題轉(zhuǎn)化到Rt△BED中，然后根據(jù)勾股定理得到BE2+DE2=BD2，再利用方程思想得到關(guān)于線段CD的一個(gè)一元二次方程，最后，解此一元二次方程得到CD= 3cm.為了更好地使學(xué)生理解和鞏固本題的思想方法，提高學(xué)生求解這類幾何圖形中的線段長度問題，對此題進(jìn)行了變式拓展.

變式1：如圖2，將長方形ABCD沿AE對折，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.

圖2

圖3

變式2：如圖3，將長方形ABCD沿EF對折，使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合，已知AB=8，BC=6，求折痕EF的長.

第三步，修正卡修正.

圖4是學(xué)生修正卡的縮略圖，學(xué)生將自認(rèn)為最典型的錯(cuò)例寫在或剪貼在修正卡中，學(xué)生通過分析錯(cuò)解原因、寫出正確解答、針對錯(cuò)例進(jìn)行反思及拓展，每人每周至少完成兩份.

圖4

實(shí)驗(yàn)班共有7個(gè)學(xué)生對此例進(jìn)行了錯(cuò)例分析.

學(xué)生分析的錯(cuò)解原因主要有：沒運(yùn)用對折重合的性質(zhì)；知道對折重合對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，但不知道有什么用處；沒想到轉(zhuǎn)化到Rt△BED中去求；沒想到可以列方程解幾何題.

學(xué)生分析的反思或拓展主要有：有些幾何圖形尤其是在直角三角形中可以根據(jù)勾股定理列方程；應(yīng)注意折疊問題中的“變中求不變”；應(yīng)掌握對折重合的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理求線段的長；有兩位學(xué)生將老師的變式題抄在了修正卡中；有一位學(xué)生編寫了一道變式題，將題中的數(shù)字改了一下，把AC改成了3cm、BC改成了4cm；有一位學(xué)生編寫了一道變試題：如圖1，直角三角形紙片的兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將△ABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求CD的長.

第四步，合作修正.

教師將整個(gè)班級42人分成7組，確定一位學(xué)生為合作小組組長，由組長負(fù)責(zé)安排小組內(nèi)成員互相學(xué)習(xí)、評析一周內(nèi)完成的錯(cuò)例修正卡，在每周四的習(xí)題課中安排20分鐘時(shí)間進(jìn)行小組合作修正錯(cuò)例，學(xué)生對完成的修正卡進(jìn)行互相學(xué)習(xí)、評析，每小組推選2～4道優(yōu)秀錯(cuò)例分析供班級交流學(xué)習(xí)，有兩個(gè)小組均推選了此例的分析.

第五步，賞析修正.

教師根據(jù)各組推選的錯(cuò)例分析進(jìn)行核查、篩選，其中學(xué)生甲對此例的分析作為優(yōu)秀作品貼于教室的“作品欄”，學(xué)生在欣賞作品過程中修正錯(cuò)例.

三、初中數(shù)學(xué)“五步歸一”錯(cuò)例修正法的實(shí)踐意義

通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)“五步歸一”錯(cuò)例修正法的實(shí)施對提高教學(xué)活動的有效性起到了積極的作用，歸納如下：

1.充分發(fā)揮學(xué)生主體的作用

古人云“疑者覺悟，覺悟之機(jī)也；一番覺悟，一番長進(jìn)”，學(xué)生對錯(cuò)例的修正不能光靠教師的講解和不斷的強(qiáng)化，其更好的途徑是發(fā)揮學(xué)生的主體作用，進(jìn)行反思質(zhì)疑，從而提高錯(cuò)例修正的效果.錯(cuò)題能夠暴露學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的不足，是學(xué)生提高成績最有價(jià)值的反饋信息，通過對錯(cuò)例的自主修正，學(xué)生能自我發(fā)現(xiàn)錯(cuò)例的錯(cuò)誤原因，得到正確解答，從而更加有效地掌握基礎(chǔ)知識和基本技能.針對典型錯(cuò)例進(jìn)行自主修正、反思與拓展、小組合作修正等過程，給學(xué)生搭建了積極思考、合作交流的平臺，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.當(dāng)自己的錯(cuò)例分析在同學(xué)之間互相傳閱、互相學(xué)習(xí)時(shí)，每個(gè)學(xué)生都會倍感激動，都想在此時(shí)得到同學(xué)的認(rèn)可，因此，學(xué)生的表現(xiàn)尤為積極，激勵(lì)了學(xué)生更加認(rèn)真地進(jìn)行錯(cuò)例分析.

2.提高學(xué)生辨析、修正錯(cuò)例能力

通過“五步歸一”錯(cuò)例修正法的實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生辨析、修正錯(cuò)例的能力得到了提高.如學(xué)生乙平時(shí)成績不佳，但在考試過程中對測試題2的錯(cuò)解進(jìn)行了自我修正，一開始他選擇了B，在考試結(jié)束之前對此題進(jìn)行了檢查，發(fā)現(xiàn)折痕EF的長必定大于AB的長，不該選擇B，因此重新讀了題目，后來通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理算得EF=故選擇了A，考完后他激動而自信地對筆者說：“老師，第9題答案是不是A??！這一題我本來是解錯(cuò)的，后來考慮了一下發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)不對勁，重新讀了題目后發(fā)現(xiàn)自己解錯(cuò)了，我在最后3分鐘內(nèi)把它做了出來”，聽到甲同學(xué)的這句話筆者感到無比的欣慰，學(xué)生能進(jìn)行自我反思、自我發(fā)現(xiàn)問題、自我修正，這是多么難能可貴?。?/p>

3.培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力

學(xué)生對典型錯(cuò)例進(jìn)行反思與拓展能充分挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.學(xué)生對一道錯(cuò)例進(jìn)行反思，思考為什么錯(cuò)、該怎么做、還能怎么做、應(yīng)注意什么等問題后能獲得正確解答問題的途徑，總結(jié)問題解決的方式和方法.學(xué)生對錯(cuò)例進(jìn)行拓展，編寫變式題或進(jìn)行類比能引起學(xué)生積極思考，提高創(chuàng)新思維能力.學(xué)生甲把典型錯(cuò)例進(jìn)行了變式拓展，原圖不變，原來“將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合”改為“將△ABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合”，仍然求CD的長，考查的知識和解題的思路基本不變，但折疊方法改變了，問題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了△ACD中，充分表明學(xué)生對此例進(jìn)行了積極的思考、深刻的理解及靈活的運(yùn)用，展現(xiàn)了學(xué)生具有較強(qiáng)的創(chuàng)新思維能力.H