韓英++李雁飛++汪賢華++弓亞鑫++舒心

摘 要：復(fù)變函數(shù)課程的理論比較枯燥。論文設(shè)計(jì)了MATLAB軟件在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的幾個(gè)典型案例，將MATLAB引入課堂教學(xué)，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生感受“看得見”的數(shù)學(xué)，使得復(fù)變函數(shù)的理論學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：MATLAB 復(fù)變函數(shù) 泰勒級數(shù) 洛朗級數(shù)

中圖分類號：O174.55 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（b）-0121-03

“復(fù)變函數(shù)”課程是通信工程、電子工程、自動化等工科專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，工科學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)困難。為了解決這個(gè)問題，我們在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)中引入MATLAB實(shí)踐內(nèi)容，使得復(fù)變函數(shù)的教學(xué)理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，教與學(xué)相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生利用軟件對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行仿真，激發(fā)其學(xué)習(xí)積極性與主動性，提高其對于復(fù)變函數(shù)內(nèi)容的理解。該文就MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的幾點(diǎn)應(yīng)用加以分析。通過計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)對復(fù)變函數(shù)主要計(jì)算問題的實(shí)驗(yàn)，達(dá)到傳統(tǒng)理論教學(xué)無法實(shí)現(xiàn)的效果。

1 利用MATLAB進(jìn)行復(fù)變函數(shù)的簡單運(yùn)算

復(fù)數(shù)的表示式突出三角表示法和指數(shù)表示法，而這兩種表示法中輻角的計(jì)算公式較復(fù)雜，利用MATLAB可以把復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部，共軛復(fù)數(shù)，輻角，模等利用簡單的命令求出。

例1、計(jì)算，，，，的值及實(shí)部，虛部，共軛復(fù)數(shù)，輻角，模。

解：在MATLAB工具窗輸入以下矩陣

A=[（（1+i）*（2-i）^2*（3-i）^3）/（（3+4）^4*（2+i）^5） i^i i^（2^1/2） （-8）^（1/3） log（1+i）]

A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+ 0.7854i

>>real（A）

-0.0016 0.2079

0 1.0000 0.3466

>> imag（A）

ans = 0.0005

0 1.0000 1.7321 0.7854

>> angle（A）

ans = 2.8578

0 1.5708 1.0472 1.1552

>> abs（A）

ans = 0.0017 0.2079 1.0000

2.0000 0.8585

>> conj（A）

ans=-0.0016-0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000-1.7321i 0.3466-0.7854i

用MATLAB可直接計(jì)算出復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和初等函數(shù)的值。但對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的運(yùn)算僅得出其主值，其多值函數(shù)的特性必須從理論推導(dǎo)得出。

例2、計(jì)算，，，，，。

解：在MATLAB工具窗鍵入

A=[sin（i） sin（i+2*pi） cos（i） cos（i+2*pi） exp（i） exp（i+2*pi*i）]

A=0.0000+1.1752i -0.0000+1.1752i 1.5431+0.0000i 1.5431+0.0000i

0.5403+ 0.8415i 0.5403+0.8415i

借助于MATLAB易驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)的正弦、余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)均具有周期性。在復(fù)變函數(shù)中不成立。在教學(xué)中使得學(xué)生更易理解和接受這些復(fù)變函數(shù)的理論。

2 用MATLAB求方程的根

用MATLAB可以求出復(fù)雜的復(fù)方程的根，還可通過其圖形分析根的特性。

例3、解方程。

在MATLAB工具窗鍵入

S=solve（'z^3=-8'）；

>> s=eval（S）；

s=[s（1）；s（2）；s（3）]

s = -2.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.7321i 1.0000 - 1.7321i

x=2^（1/8）*（1：-0.01：-1）；

x=2*（1：-0.01：-1）；

y1=sqrt（4-x.^2）；y2=-sqrt（4-x.^2）；

plot（x，y1，'r-'，'LineWidth'，3）；hold on；grid on；

plot（x，y2，'r-'，'LineWidth'，3）；axis equal；

plot（s，'o'）；

axis（[-2.5 2.5 -2.5 2.5]）；

用解方程的方法可以求出-8的3次方根，有效的解決直接計(jì)算僅能計(jì)算主值的問題。而且從圖1中可以直觀的觀察出3個(gè)根是半徑為2的圓上的3個(gè)等分點(diǎn)。

例4、求解方程。

在MATLAB中鍵入

solve（'log（z^4+z^3+z^2+z+1）=i'）

ans =

0.36521623295345235866005943774426 + 0.64240444029684120856950031509163*i

0.19822799851622204112882959650434 - 1.130167947608232755068528868445*i

- 0.48211258491386994549037517293678 + 0.86253684186617047083403309081309*i

- 1.0813316465558044542985138613118 - 0.37477333455477892433500453745974*iendprint

從以上運(yùn)算可以看出，借助MATLAB強(qiáng)大的運(yùn)算功能可以解決許多復(fù)雜的計(jì)算問題。

3 用MATLAB將函數(shù)展開成泰勒和洛朗級數(shù)

例5、將函數(shù)在展開為泰勒和洛朗級數(shù)。

解：復(fù)變函數(shù)是級數(shù)展開中常用的一個(gè)函數(shù)，且在處不解析。若將該函數(shù)在展開成泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)，分析如下。

當(dāng)時(shí)，它的泰勒展開式是。

當(dāng)時(shí)，它的洛朗展開式是。

在MATLAB中工具窗輸入

m=30；r=（0：2*m）'/m；

theta=pi*（-m：m）/m；

z=r*exp（i*theta）；

z（find（z==1））=NaN；

figure（1）

cplxmap（z，1./z）；title（'原函數(shù)'）；

由原函數(shù)圖，易得函數(shù)在處不解析。

在MATLAB工具窗鍵入

z1=z-1；

z1（abs（z1-1）>=1）=NaN；

f1=1；u1=1；

for k=1：100

u1=u1.*（z1-1）；

f1=f1+u1；

end

figure（2）

subplot（1，2，1）；cplxmap（（z1-1），f1）；title（'泰勒展開'）；

z2=z；

z2（abs（z2-1）<=1）=NaN；

f2=1./（z2-1）；u2=1./（z2-1）；

for k=1：100

u2=u2./（z2-1）；

f2=f2+u2；

end

figure（2）

subplot（1，2，2）；cplxmap（（z2-1），-f2）；title（'洛朗展開）

得在處的泰勒展開式及洛朗展開式。

從圖3中可以看出，泰勒級數(shù)展開圖形和洛朗級數(shù)展開圖形的結(jié)合就是對原函數(shù)的圖形擬合，圖形直觀的展示了函數(shù)的泰勒和洛朗展開的區(qū)分，為復(fù)變函數(shù)的理論教學(xué)提供了很好的直觀的解釋。

4 結(jié)語

除了以上設(shè)計(jì)的一些應(yīng)用，Matlab還可以深入復(fù)變函數(shù)教學(xué)的很多方面。在教與學(xué)的過程中，利用MATLAB軟件，學(xué)生將所學(xué)習(xí)的理論進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的編程動手能力，從而提高了復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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