石春秀

【摘 要】教學(xué)中有的放矢地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，要做到：一、不忽視數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的引導(dǎo)，是數(shù)學(xué)思維建立的橋梁。二、訓(xùn)練各類方法并用的綜合能力，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)過(guò)程中的捷徑。三、思維訓(xùn)練中應(yīng)以理性概括為主，經(jīng)驗(yàn)概括為輔，是提高學(xué)生思維精確性的通途。四、提倡學(xué)生的創(chuàng)造性思維，克服思維定勢(shì)，是思維訓(xùn)練的深入。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)教育 學(xué)生發(fā)展

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育學(xué)家?jiàn)W加涅相對(duì)數(shù)學(xué)思維做了較為詳細(xì)的闡述。他說(shuō)：所謂“數(shù)學(xué)思維”，其一，是指一種形式，這種形式表現(xiàn)為人們認(rèn)識(shí)具體的數(shù)學(xué)學(xué)科，或是應(yīng)用數(shù)學(xué)于其他學(xué)科、技術(shù)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)等的過(guò)程中的辯證思維；其二，應(yīng)認(rèn)識(shí)到它的一種特性，這種特性是由數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)，及數(shù)學(xué)用以認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的方法所決定的，同樣也受到所有的一般思維的制約。數(shù)學(xué)思維也是一種過(guò)程，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的載體。借助這個(gè)載體，數(shù)學(xué)思維的辯證過(guò)程才得以深入地展開(kāi)和進(jìn)行。

數(shù)學(xué)思維的流程框架是：提出問(wèn)題（問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，又是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力和提出新的問(wèn)題）→經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)（是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的思維過(guò)程）解決問(wèn)題（嚴(yán)格的演繹論證的邏輯思維過(guò)程，結(jié)果加工了的數(shù)學(xué)思維的結(jié)果）→尋求事物的本質(zhì)（具體的、直觀的、試探的經(jīng)驗(yàn)的思維過(guò)程）→提出新的問(wèn)題（數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要任務(wù)）。認(rèn)識(shí)這些，我們就可以有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生加以訓(xùn)練。

一、重視數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的引導(dǎo)

這就像教學(xué)中我們常注重結(jié)果教學(xué)而忽略過(guò)程教學(xué)一樣，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)的認(rèn)識(shí)上，只看到已經(jīng)提出的數(shù)學(xué)是高度抽象的、高度系統(tǒng)化的、嚴(yán)格的、演繹的、理論科學(xué)的一面，而忽視正在形成的數(shù)學(xué)具有生動(dòng)的、直觀的、試探的、經(jīng)驗(yàn)的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)教學(xué)單純地理解為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，把數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)局限于發(fā)展邏輯思維能力，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)喪失掉原來(lái)應(yīng)該有的價(jià)值。于是在教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)過(guò)程，長(zhǎng)期地被掩蓋著，而數(shù)學(xué)思維的結(jié)果則得到了足夠的重視。這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是極其不利的。

教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維是一個(gè)辯證的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程、一種心理過(guò)程，而不僅僅是一種認(rèn)識(shí)狀態(tài)。教育中更重要的是把數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)結(jié)果的學(xué)習(xí)與知識(shí)本身發(fā)生、發(fā)展的思維過(guò)程的揭示結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也就是我們常常說(shuō)的知識(shí)的來(lái)龍去脈，要循序漸進(jìn)地教會(huì)和傳授給學(xué)生。這樣，教育效果才能水到渠成。

二、訓(xùn)練各類方法并用的綜合能力

數(shù)學(xué)思維的一般方法是指數(shù)學(xué)思維過(guò)程中運(yùn)用的基本方法：觀察與實(shí)驗(yàn)，比較分析與系統(tǒng)化，歸納、演繹與數(shù)學(xué)歸納法，分析與綜合，抽象與概括，一般化與特殊化，模型與具體化，類比、映射與聯(lián)想，作為理論科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，作為經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，探索演繹法，等等。我們必須在頭腦中建立這樣的認(rèn)識(shí)——各種思維方法并不是孤立的，具體的思維過(guò)程往往不是一種思維方式、方法的運(yùn)用，而是各種方法的有機(jī)結(jié)合。其中有些側(cè)重于探索、猜想或發(fā)現(xiàn)性，屬于非嚴(yán)格的推理范疇；另一些則側(cè)重于求解、論證或整理性，屬于嚴(yán)格的邏輯推理的范疇。

對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)也是同樣的道理，教會(huì)他一道題目不足為奇，更重要的是教會(huì)他思考、獨(dú)立完成問(wèn)題的手段和方法。具體的數(shù)學(xué)思維過(guò)程往往不是一種思維方式、方法的運(yùn)用，而是各種方法的有機(jī)結(jié)合。要在各種方法的交錯(cuò)過(guò)程中認(rèn)識(shí)有關(guān)事物的區(qū)別和聯(lián)系，促使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并獲得解決。從概念的發(fā)展、命題的推演或證明，到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，都滲透著各種思維方法。觀察、類比、歸納、聯(lián)想和直覺(jué)的相互作用開(kāi)拓著一條數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的最佳途徑。所以有人說(shuō)：數(shù)學(xué)的探索活動(dòng)是知覺(jué)與邏輯協(xié)同作用下的思維活動(dòng)。教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行知識(shí)的傳授，特別要注意學(xué)生思維分析能力的培養(yǎng)，要特別注意突出啟發(fā)性，各類思維方法在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的互補(bǔ)性，遵守相互滲透、相互啟發(fā)的原則，互相結(jié)合交替使用，并促使學(xué)生的思維向著立體思維轉(zhuǎn)化，使思維的方向朝著不同的角度、不同的方向延展。

三、思維訓(xùn)練中應(yīng)以理性概括為主，經(jīng)驗(yàn)概括為輔

教學(xué)中受到傳統(tǒng)的教學(xué)觀念的制約和影響，有些教師習(xí)慣于從幾道例題出發(fā)就作出一些經(jīng)驗(yàn)性的概括，雖然對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備占有量起到了一定的積極作用，但這是膚淺的、片面的認(rèn)識(shí)。對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，更注重的應(yīng)該是概括有深度，思考有廣度。這樣對(duì)問(wèn)題解決的正確性就有了一定的保證。正因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)演繹的科學(xué)，只有強(qiáng)調(diào)理論概括的作用，才能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的要求，完成數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)。

經(jīng)驗(yàn)概括能夠?qū)е洛e(cuò)誤，所以經(jīng)驗(yàn)概括是偶然概括，而不是定律的概括，這一點(diǎn)是要我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中引以為鑒的。所以在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中更提倡的是理論概括。理論概括是在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，結(jié)合理論的演繹解釋來(lái)判定現(xiàn)象之間的必然的聯(lián)系，從而得到更深刻的規(guī)律性的概括認(rèn)識(shí)的方法，如下圖。

數(shù)學(xué)教學(xué)中要在經(jīng)驗(yàn)概括中貫穿正確的理論作為指導(dǎo)，進(jìn)行深入的分析，給經(jīng)驗(yàn)概括找到理論的“依據(jù)”或“解釋”，達(dá)到理論概括的階段，使概括更有深度，正確性更有保證，教師可以通過(guò)增加經(jīng)驗(yàn)材料，并提供理論背景的方法來(lái)促進(jìn)概括的形成，進(jìn)而達(dá)到訓(xùn)練的目的。

四、提倡學(xué)生的創(chuàng)造性思維，克服思維定勢(shì)

人的自身潛藏著豐富的創(chuàng)造性因素，培養(yǎng)演繹和知覺(jué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力方面所承擔(dān)的、不可為其他學(xué)科所取代的獨(dú)特任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的出發(fā)點(diǎn)，但這并不是生搬硬套固定的結(jié)論和現(xiàn)成的公式。

如果教學(xué)中過(guò)分地強(qiáng)調(diào)并不基本的解答技巧、方法和觀點(diǎn)，突出所謂的“解題規(guī)律”，這些規(guī)律又只是某種方法的特殊應(yīng)用和表現(xiàn)，甚至有的教師在學(xué)生未能理解的情況下，讓他們死記硬背一些解題的訣竅、程序或者口訣乃至公式，這樣容易造成消極的思維定勢(shì)。這種教學(xué)方法盡管在某些場(chǎng)合可以暫時(shí)或偶爾取得良好的成績(jī)，但從長(zhǎng)期效益來(lái)看，對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展是一種障礙，教師必須明確這一點(diǎn)。要通過(guò)建立、發(fā)展和強(qiáng)化，建立符合數(shù)學(xué)思維要求的、具有哲學(xué)意義的方法論和數(shù)學(xué)方法論意義上的思維定勢(shì)，不失時(shí)機(jī)地建立、發(fā)展和強(qiáng)化有一般意義的定勢(shì)，然后充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，系統(tǒng)地、協(xié)調(diào)地、靈活地運(yùn)用思維的各種方法，達(dá)到對(duì)知識(shí)和問(wèn)題的舉一反三、概括遷移、融會(huì)貫通的效果。

在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)和水平，通過(guò)創(chuàng)造問(wèn)題情境，促進(jìn)智力探索，形成創(chuàng)造氣氛，為學(xué)生創(chuàng)造良好的條件，活躍學(xué)生的思維。要注意讓學(xué)生根據(jù)自己的程度在課內(nèi)外汲取各個(gè)方面的營(yíng)養(yǎng)知識(shí)，拓寬自己的知識(shí)面，加深理解的深度，采取適當(dāng)?shù)墓膭?lì)和措施啟發(fā)學(xué)生思維的教學(xué)方法，創(chuàng)造最適合的環(huán)境，讓學(xué)生主動(dòng)地自覺(jué)地去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力。

總之，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練是一個(gè)內(nèi)涵廣闊的話題。我們要想上好一節(jié)課首先就要思考如何能最大效率地使學(xué)生吸收新知識(shí)、容納新思想，使知識(shí)結(jié)構(gòu)得到更新和發(fā)展，這是數(shù)學(xué)教育工作者義不容辭的使命。■

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）

【摘 要】教學(xué)中有的放矢地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，要做到：一、不忽視數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的引導(dǎo)，是數(shù)學(xué)思維建立的橋梁。二、訓(xùn)練各類方法并用的綜合能力，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)過(guò)程中的捷徑。三、思維訓(xùn)練中應(yīng)以理性概括為主，經(jīng)驗(yàn)概括為輔，是提高學(xué)生思維精確性的通途。四、提倡學(xué)生的創(chuàng)造性思維，克服思維定勢(shì)，是思維訓(xùn)練的深入。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)教育 學(xué)生發(fā)展

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育學(xué)家?jiàn)W加涅相對(duì)數(shù)學(xué)思維做了較為詳細(xì)的闡述。他說(shuō)：所謂“數(shù)學(xué)思維”，其一，是指一種形式，這種形式表現(xiàn)為人們認(rèn)識(shí)具體的數(shù)學(xué)學(xué)科，或是應(yīng)用數(shù)學(xué)于其他學(xué)科、技術(shù)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)等的過(guò)程中的辯證思維；其二，應(yīng)認(rèn)識(shí)到它的一種特性，這種特性是由數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)，及數(shù)學(xué)用以認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的方法所決定的，同樣也受到所有的一般思維的制約。數(shù)學(xué)思維也是一種過(guò)程，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的載體。借助這個(gè)載體，數(shù)學(xué)思維的辯證過(guò)程才得以深入地展開(kāi)和進(jìn)行。

數(shù)學(xué)思維的流程框架是：提出問(wèn)題（問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，又是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力和提出新的問(wèn)題）→經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)（是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的思維過(guò)程）解決問(wèn)題（嚴(yán)格的演繹論證的邏輯思維過(guò)程，結(jié)果加工了的數(shù)學(xué)思維的結(jié)果）→尋求事物的本質(zhì)（具體的、直觀的、試探的經(jīng)驗(yàn)的思維過(guò)程）→提出新的問(wèn)題（數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要任務(wù)）。認(rèn)識(shí)這些，我們就可以有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生加以訓(xùn)練。

一、重視數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的引導(dǎo)

這就像教學(xué)中我們常注重結(jié)果教學(xué)而忽略過(guò)程教學(xué)一樣，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)的認(rèn)識(shí)上，只看到已經(jīng)提出的數(shù)學(xué)是高度抽象的、高度系統(tǒng)化的、嚴(yán)格的、演繹的、理論科學(xué)的一面，而忽視正在形成的數(shù)學(xué)具有生動(dòng)的、直觀的、試探的、經(jīng)驗(yàn)的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)教學(xué)單純地理解為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，把數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)局限于發(fā)展邏輯思維能力，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)喪失掉原來(lái)應(yīng)該有的價(jià)值。于是在教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)過(guò)程，長(zhǎng)期地被掩蓋著，而數(shù)學(xué)思維的結(jié)果則得到了足夠的重視。這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是極其不利的。

教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維是一個(gè)辯證的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程、一種心理過(guò)程，而不僅僅是一種認(rèn)識(shí)狀態(tài)。教育中更重要的是把數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)結(jié)果的學(xué)習(xí)與知識(shí)本身發(fā)生、發(fā)展的思維過(guò)程的揭示結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也就是我們常常說(shuō)的知識(shí)的來(lái)龍去脈，要循序漸進(jìn)地教會(huì)和傳授給學(xué)生。這樣，教育效果才能水到渠成。

二、訓(xùn)練各類方法并用的綜合能力

數(shù)學(xué)思維的一般方法是指數(shù)學(xué)思維過(guò)程中運(yùn)用的基本方法：觀察與實(shí)驗(yàn)，比較分析與系統(tǒng)化，歸納、演繹與數(shù)學(xué)歸納法，分析與綜合，抽象與概括，一般化與特殊化，模型與具體化，類比、映射與聯(lián)想，作為理論科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，作為經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，探索演繹法，等等。我們必須在頭腦中建立這樣的認(rèn)識(shí)——各種思維方法并不是孤立的，具體的思維過(guò)程往往不是一種思維方式、方法的運(yùn)用，而是各種方法的有機(jī)結(jié)合。其中有些側(cè)重于探索、猜想或發(fā)現(xiàn)性，屬于非嚴(yán)格的推理范疇；另一些則側(cè)重于求解、論證或整理性，屬于嚴(yán)格的邏輯推理的范疇。

對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)也是同樣的道理，教會(huì)他一道題目不足為奇，更重要的是教會(huì)他思考、獨(dú)立完成問(wèn)題的手段和方法。具體的數(shù)學(xué)思維過(guò)程往往不是一種思維方式、方法的運(yùn)用，而是各種方法的有機(jī)結(jié)合。要在各種方法的交錯(cuò)過(guò)程中認(rèn)識(shí)有關(guān)事物的區(qū)別和聯(lián)系，促使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并獲得解決。從概念的發(fā)展、命題的推演或證明，到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，都滲透著各種思維方法。觀察、類比、歸納、聯(lián)想和直覺(jué)的相互作用開(kāi)拓著一條數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的最佳途徑。所以有人說(shuō)：數(shù)學(xué)的探索活動(dòng)是知覺(jué)與邏輯協(xié)同作用下的思維活動(dòng)。教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行知識(shí)的傳授，特別要注意學(xué)生思維分析能力的培養(yǎng)，要特別注意突出啟發(fā)性，各類思維方法在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的互補(bǔ)性，遵守相互滲透、相互啟發(fā)的原則，互相結(jié)合交替使用，并促使學(xué)生的思維向著立體思維轉(zhuǎn)化，使思維的方向朝著不同的角度、不同的方向延展。

三、思維訓(xùn)練中應(yīng)以理性概括為主，經(jīng)驗(yàn)概括為輔

教學(xué)中受到傳統(tǒng)的教學(xué)觀念的制約和影響，有些教師習(xí)慣于從幾道例題出發(fā)就作出一些經(jīng)驗(yàn)性的概括，雖然對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備占有量起到了一定的積極作用，但這是膚淺的、片面的認(rèn)識(shí)。對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，更注重的應(yīng)該是概括有深度，思考有廣度。這樣對(duì)問(wèn)題解決的正確性就有了一定的保證。正因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)演繹的科學(xué)，只有強(qiáng)調(diào)理論概括的作用，才能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的要求，完成數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)。

經(jīng)驗(yàn)概括能夠?qū)е洛e(cuò)誤，所以經(jīng)驗(yàn)概括是偶然概括，而不是定律的概括，這一點(diǎn)是要我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中引以為鑒的。所以在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中更提倡的是理論概括。理論概括是在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，結(jié)合理論的演繹解釋來(lái)判定現(xiàn)象之間的必然的聯(lián)系，從而得到更深刻的規(guī)律性的概括認(rèn)識(shí)的方法，如下圖。

數(shù)學(xué)教學(xué)中要在經(jīng)驗(yàn)概括中貫穿正確的理論作為指導(dǎo)，進(jìn)行深入的分析，給經(jīng)驗(yàn)概括找到理論的“依據(jù)”或“解釋”，達(dá)到理論概括的階段，使概括更有深度，正確性更有保證，教師可以通過(guò)增加經(jīng)驗(yàn)材料，并提供理論背景的方法來(lái)促進(jìn)概括的形成，進(jìn)而達(dá)到訓(xùn)練的目的。

四、提倡學(xué)生的創(chuàng)造性思維，克服思維定勢(shì)

人的自身潛藏著豐富的創(chuàng)造性因素，培養(yǎng)演繹和知覺(jué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力方面所承擔(dān)的、不可為其他學(xué)科所取代的獨(dú)特任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的出發(fā)點(diǎn)，但這并不是生搬硬套固定的結(jié)論和現(xiàn)成的公式。

如果教學(xué)中過(guò)分地強(qiáng)調(diào)并不基本的解答技巧、方法和觀點(diǎn)，突出所謂的“解題規(guī)律”，這些規(guī)律又只是某種方法的特殊應(yīng)用和表現(xiàn)，甚至有的教師在學(xué)生未能理解的情況下，讓他們死記硬背一些解題的訣竅、程序或者口訣乃至公式，這樣容易造成消極的思維定勢(shì)。這種教學(xué)方法盡管在某些場(chǎng)合可以暫時(shí)或偶爾取得良好的成績(jī)，但從長(zhǎng)期效益來(lái)看，對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展是一種障礙，教師必須明確這一點(diǎn)。要通過(guò)建立、發(fā)展和強(qiáng)化，建立符合數(shù)學(xué)思維要求的、具有哲學(xué)意義的方法論和數(shù)學(xué)方法論意義上的思維定勢(shì)，不失時(shí)機(jī)地建立、發(fā)展和強(qiáng)化有一般意義的定勢(shì)，然后充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，系統(tǒng)地、協(xié)調(diào)地、靈活地運(yùn)用思維的各種方法，達(dá)到對(duì)知識(shí)和問(wèn)題的舉一反三、概括遷移、融會(huì)貫通的效果。

在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)和水平，通過(guò)創(chuàng)造問(wèn)題情境，促進(jìn)智力探索，形成創(chuàng)造氣氛，為學(xué)生創(chuàng)造良好的條件，活躍學(xué)生的思維。要注意讓學(xué)生根據(jù)自己的程度在課內(nèi)外汲取各個(gè)方面的營(yíng)養(yǎng)知識(shí)，拓寬自己的知識(shí)面，加深理解的深度，采取適當(dāng)?shù)墓膭?lì)和措施啟發(fā)學(xué)生思維的教學(xué)方法，創(chuàng)造最適合的環(huán)境，讓學(xué)生主動(dòng)地自覺(jué)地去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力。

總之，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練是一個(gè)內(nèi)涵廣闊的話題。我們要想上好一節(jié)課首先就要思考如何能最大效率地使學(xué)生吸收新知識(shí)、容納新思想，使知識(shí)結(jié)構(gòu)得到更新和發(fā)展，這是數(shù)學(xué)教育工作者義不容辭的使命?！?/p>

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）

【摘 要】教學(xué)中有的放矢地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，要做到：一、不忽視數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的引導(dǎo)，是數(shù)學(xué)思維建立的橋梁。二、訓(xùn)練各類方法并用的綜合能力，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)過(guò)程中的捷徑。三、思維訓(xùn)練中應(yīng)以理性概括為主，經(jīng)驗(yàn)概括為輔，是提高學(xué)生思維精確性的通途。四、提倡學(xué)生的創(chuàng)造性思維，克服思維定勢(shì)，是思維訓(xùn)練的深入。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)教育 學(xué)生發(fā)展

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育學(xué)家?jiàn)W加涅相對(duì)數(shù)學(xué)思維做了較為詳細(xì)的闡述。他說(shuō)：所謂“數(shù)學(xué)思維”，其一，是指一種形式，這種形式表現(xiàn)為人們認(rèn)識(shí)具體的數(shù)學(xué)學(xué)科，或是應(yīng)用數(shù)學(xué)于其他學(xué)科、技術(shù)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)等的過(guò)程中的辯證思維；其二，應(yīng)認(rèn)識(shí)到它的一種特性，這種特性是由數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)，及數(shù)學(xué)用以認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的方法所決定的，同樣也受到所有的一般思維的制約。數(shù)學(xué)思維也是一種過(guò)程，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的載體。借助這個(gè)載體，數(shù)學(xué)思維的辯證過(guò)程才得以深入地展開(kāi)和進(jìn)行。

數(shù)學(xué)思維的流程框架是：提出問(wèn)題（問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，又是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力和提出新的問(wèn)題）→經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)（是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的思維過(guò)程）解決問(wèn)題（嚴(yán)格的演繹論證的邏輯思維過(guò)程，結(jié)果加工了的數(shù)學(xué)思維的結(jié)果）→尋求事物的本質(zhì)（具體的、直觀的、試探的經(jīng)驗(yàn)的思維過(guò)程）→提出新的問(wèn)題（數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要任務(wù)）。認(rèn)識(shí)這些，我們就可以有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生加以訓(xùn)練。

一、重視數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的引導(dǎo)

這就像教學(xué)中我們常注重結(jié)果教學(xué)而忽略過(guò)程教學(xué)一樣，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)的認(rèn)識(shí)上，只看到已經(jīng)提出的數(shù)學(xué)是高度抽象的、高度系統(tǒng)化的、嚴(yán)格的、演繹的、理論科學(xué)的一面，而忽視正在形成的數(shù)學(xué)具有生動(dòng)的、直觀的、試探的、經(jīng)驗(yàn)的特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)學(xué)教學(xué)單純地理解為數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，把數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)局限于發(fā)展邏輯思維能力，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)喪失掉原來(lái)應(yīng)該有的價(jià)值。于是在教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)過(guò)程，長(zhǎng)期地被掩蓋著，而數(shù)學(xué)思維的結(jié)果則得到了足夠的重視。這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是極其不利的。

教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思維是一個(gè)辯證的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程、一種心理過(guò)程，而不僅僅是一種認(rèn)識(shí)狀態(tài)。教育中更重要的是把數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)結(jié)果的學(xué)習(xí)與知識(shí)本身發(fā)生、發(fā)展的思維過(guò)程的揭示結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也就是我們常常說(shuō)的知識(shí)的來(lái)龍去脈，要循序漸進(jìn)地教會(huì)和傳授給學(xué)生。這樣，教育效果才能水到渠成。

二、訓(xùn)練各類方法并用的綜合能力

數(shù)學(xué)思維的一般方法是指數(shù)學(xué)思維過(guò)程中運(yùn)用的基本方法：觀察與實(shí)驗(yàn)，比較分析與系統(tǒng)化，歸納、演繹與數(shù)學(xué)歸納法，分析與綜合，抽象與概括，一般化與特殊化，模型與具體化，類比、映射與聯(lián)想，作為理論科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，作為經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法，探索演繹法，等等。我們必須在頭腦中建立這樣的認(rèn)識(shí)——各種思維方法并不是孤立的，具體的思維過(guò)程往往不是一種思維方式、方法的運(yùn)用，而是各種方法的有機(jī)結(jié)合。其中有些側(cè)重于探索、猜想或發(fā)現(xiàn)性，屬于非嚴(yán)格的推理范疇；另一些則側(cè)重于求解、論證或整理性，屬于嚴(yán)格的邏輯推理的范疇。

對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)也是同樣的道理，教會(huì)他一道題目不足為奇，更重要的是教會(huì)他思考、獨(dú)立完成問(wèn)題的手段和方法。具體的數(shù)學(xué)思維過(guò)程往往不是一種思維方式、方法的運(yùn)用，而是各種方法的有機(jī)結(jié)合。要在各種方法的交錯(cuò)過(guò)程中認(rèn)識(shí)有關(guān)事物的區(qū)別和聯(lián)系，促使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并獲得解決。從概念的發(fā)展、命題的推演或證明，到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，都滲透著各種思維方法。觀察、類比、歸納、聯(lián)想和直覺(jué)的相互作用開(kāi)拓著一條數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的最佳途徑。所以有人說(shuō)：數(shù)學(xué)的探索活動(dòng)是知覺(jué)與邏輯協(xié)同作用下的思維活動(dòng)。教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行知識(shí)的傳授，特別要注意學(xué)生思維分析能力的培養(yǎng)，要特別注意突出啟發(fā)性，各類思維方法在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的互補(bǔ)性，遵守相互滲透、相互啟發(fā)的原則，互相結(jié)合交替使用，并促使學(xué)生的思維向著立體思維轉(zhuǎn)化，使思維的方向朝著不同的角度、不同的方向延展。

三、思維訓(xùn)練中應(yīng)以理性概括為主，經(jīng)驗(yàn)概括為輔

教學(xué)中受到傳統(tǒng)的教學(xué)觀念的制約和影響，有些教師習(xí)慣于從幾道例題出發(fā)就作出一些經(jīng)驗(yàn)性的概括，雖然對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備占有量起到了一定的積極作用，但這是膚淺的、片面的認(rèn)識(shí)。對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，更注重的應(yīng)該是概括有深度，思考有廣度。這樣對(duì)問(wèn)題解決的正確性就有了一定的保證。正因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、系統(tǒng)演繹的科學(xué)，只有強(qiáng)調(diào)理論概括的作用，才能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的要求，完成數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)。

經(jīng)驗(yàn)概括能夠?qū)е洛e(cuò)誤，所以經(jīng)驗(yàn)概括是偶然概括，而不是定律的概括，這一點(diǎn)是要我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中引以為鑒的。所以在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中更提倡的是理論概括。理論概括是在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，結(jié)合理論的演繹解釋來(lái)判定現(xiàn)象之間的必然的聯(lián)系，從而得到更深刻的規(guī)律性的概括認(rèn)識(shí)的方法，如下圖。

數(shù)學(xué)教學(xué)中要在經(jīng)驗(yàn)概括中貫穿正確的理論作為指導(dǎo)，進(jìn)行深入的分析，給經(jīng)驗(yàn)概括找到理論的“依據(jù)”或“解釋”，達(dá)到理論概括的階段，使概括更有深度，正確性更有保證，教師可以通過(guò)增加經(jīng)驗(yàn)材料，并提供理論背景的方法來(lái)促進(jìn)概括的形成，進(jìn)而達(dá)到訓(xùn)練的目的。

四、提倡學(xué)生的創(chuàng)造性思維，克服思維定勢(shì)

人的自身潛藏著豐富的創(chuàng)造性因素，培養(yǎng)演繹和知覺(jué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力方面所承擔(dān)的、不可為其他學(xué)科所取代的獨(dú)特任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的出發(fā)點(diǎn)，但這并不是生搬硬套固定的結(jié)論和現(xiàn)成的公式。

如果教學(xué)中過(guò)分地強(qiáng)調(diào)并不基本的解答技巧、方法和觀點(diǎn)，突出所謂的“解題規(guī)律”，這些規(guī)律又只是某種方法的特殊應(yīng)用和表現(xiàn)，甚至有的教師在學(xué)生未能理解的情況下，讓他們死記硬背一些解題的訣竅、程序或者口訣乃至公式，這樣容易造成消極的思維定勢(shì)。這種教學(xué)方法盡管在某些場(chǎng)合可以暫時(shí)或偶爾取得良好的成績(jī)，但從長(zhǎng)期效益來(lái)看，對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展是一種障礙，教師必須明確這一點(diǎn)。要通過(guò)建立、發(fā)展和強(qiáng)化，建立符合數(shù)學(xué)思維要求的、具有哲學(xué)意義的方法論和數(shù)學(xué)方法論意義上的思維定勢(shì)，不失時(shí)機(jī)地建立、發(fā)展和強(qiáng)化有一般意義的定勢(shì)，然后充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，系統(tǒng)地、協(xié)調(diào)地、靈活地運(yùn)用思維的各種方法，達(dá)到對(duì)知識(shí)和問(wèn)題的舉一反三、概括遷移、融會(huì)貫通的效果。

在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)和水平，通過(guò)創(chuàng)造問(wèn)題情境，促進(jìn)智力探索，形成創(chuàng)造氣氛，為學(xué)生創(chuàng)造良好的條件，活躍學(xué)生的思維。要注意讓學(xué)生根據(jù)自己的程度在課內(nèi)外汲取各個(gè)方面的營(yíng)養(yǎng)知識(shí)，拓寬自己的知識(shí)面，加深理解的深度，采取適當(dāng)?shù)墓膭?lì)和措施啟發(fā)學(xué)生思維的教學(xué)方法，創(chuàng)造最適合的環(huán)境，讓學(xué)生主動(dòng)地自覺(jué)地去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力。

總之，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練是一個(gè)內(nèi)涵廣闊的話題。我們要想上好一節(jié)課首先就要思考如何能最大效率地使學(xué)生吸收新知識(shí)、容納新思想，使知識(shí)結(jié)構(gòu)得到更新和發(fā)展，這是數(shù)學(xué)教育工作者義不容辭的使命?！?/p>

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）