徐奇峰

摘 要： 微元法是分析、解決物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。在電磁感應過程中，速度的變化導致安培力發(fā)生變化，進而導體棒的加速度也發(fā)生變化，可以用微元法。

關(guān)鍵詞： 微元法 電磁感應 應用

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法?；竟δ芫褪恰盎?yōu)楹恪?，也就是說抓住“變化”的這一本質(zhì)特征而通過限制“變化”所需的時間或空間把變化的事物或變化的過程轉(zhuǎn)化為不變的事物或不變的過程。在電磁感應過程中，導體棒導體切割磁感線運動，產(chǎn)生感應電動勢為E=BLv，感應電流為I=■，受安培力為F=BIL=■v，速度的變化導致安培力發(fā)生變化，進而導體棒的加速度也發(fā)生變化，勻變速運動公式已不適用，此時可以用微元法。在處理這種非勻變速運動問題時，從對事物的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體的方法。在解題過程中，常常遇到非勻變速運動過程中求位移、電量、能量等問題，靈活運用微元的思想，可以幫助我們更深刻地理解物理過程。

一、只受安培力的情況

例1：如圖所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區(qū)域足夠長，磁感強度B=1T，每一條形磁場區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v■=7m/s的初速從左側(cè)磁場邊緣水平進入磁場。求：線框能穿過的完整條形磁場區(qū)域的個數(shù)n。

解：

線框在進入和穿出條形磁場時的任一時刻，受到安培力的大小F=■，

在△t時間內(nèi)，由牛頓定律：■△t=△v，求和∑（■）v△t=∑△v，■·x=v■

解得x=■=1.75m，

線框能穿過的完整條形磁場區(qū)域的個數(shù)n=■=4.375，取整數(shù)為4。

例2：如圖所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，其他電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，現(xiàn)給金屬桿一個水平向右的初速度v■，然后任其運動，導軌足夠長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？

解析：從a向b看，作出桿在運動過程中的受力分析圖（如圖甲所示），這是一個典型的在變力作用下求位移的題，用微元法可以求解。

設(shè)桿在減速中的某一時刻速度為v，取一極短時間△t，發(fā)生了一段極小的位移△x，在△t時間內(nèi)，磁通量的變化為△Φ

△Φ=BL△x I=■=■=■

金屬桿受到安培力為F■=ILB=■

由于時間極短，可以認為F■為恒力，選向右為正方向，在△t時間內(nèi)，

導體棒的速度變化為：△v=-a·△t=-■

對所有的速度變化求和，可得-v■=∑（-■）=-■x其中x為桿運動的最大距離，

求得：x=■

在只克服安培力做功情況下，速度、電動勢E（BLv）、電流I（■）、安培力f（BIL）都與位移x（受安培力作用時走的距離）呈線性關(guān)系。

二、既受安培力又受其他恒力的情況

例3：如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一傾角為α的光滑絕緣斜面上，導軌間距為L，電阻忽略不計且足夠長，一寬度為d的有界勻強磁場垂直于斜面向上，磁感應強度為B。另有一長為2d的絕緣桿將一導體棒和一邊長為d（d

【解析】穿越過程中在t→△t時間內(nèi)，

由牛頓定律：■△t=△v

∑△v=∑[gsinα+■]△t？圯v■=gt■sinα-■（t■為所求）

又穿越前BILd-mgsinα·2d=■v■■？圯t■=■

例4：如圖所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為θ，導軌光滑且電阻忽略不計。場強為B的條形勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁場區(qū)域的寬度為d■，間距為d■，兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直（設(shè)重力加速度為g）。若a進入第2個磁場區(qū)域時，b恰好離開第1個磁場區(qū)域；此后a離開第2個磁場區(qū)域時，b又恰好進入第2個磁場區(qū)域，且a.b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相同，求a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v。

【解析】在無磁場區(qū)域時，根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律有v■-v■=gtsinθ

且平均速度■=■

在有磁場區(qū)域，棒a受到的合力F=mgsinθ-■v

根據(jù)牛頓第二定律，在t+△t時間內(nèi)∑△v=∑■△t

則有：∑△v=∑[gsinθ-■]△t解得：v■-v■=gtsinθ-■d■

聯(lián)立解得v■=■sinθ-■

由題意知：v=v■=■sinθ-■

微元法解題，體現(xiàn)了微分和積分的思想，在時間△t很短或位移△x很小時，非勻變速運動可以看做是勻變速運動，這一過程體現(xiàn)了微分思想，求和過程體現(xiàn)了積分思想。

這種思想在物理教材中曾出現(xiàn)過，如證明“在速度時間圖像中圖像與坐標軸所圍圖形的面積等于位移”結(jié)論時就用到了這一重要思想。學生具備了這種思想，更有利于理解和掌握“微元法”問題。

在具體應用微元法時，合理的操作步驟為：（1）選取微元量化元過程；（2）運用規(guī)律表達元過程；（3）實施疊加求解全過程。