儲(chǔ)德林 麻曉敏

（陸軍軍官學(xué)院物理教研室 安徽 合肥 230031）

江海燕

（合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院 安徽 合肥 230009）

陶宗明

（陸軍軍官學(xué)院物理教研室 安徽 合肥 230031）

1 引言

能量守恒與轉(zhuǎn)化定律跟進(jìn)化論、細(xì)胞學(xué)說(shuō)一道被恩格斯譽(yù)為促進(jìn)人類(lèi)進(jìn)步的“三大發(fā)現(xiàn)”，是自然界中一個(gè)很重要的基本規(guī)律.在物理學(xué)的不同領(lǐng)域，能量守恒與轉(zhuǎn)化規(guī)律以不同的形式呈現(xiàn)，比如力學(xué)部分的機(jī)械能守恒定律、伯努利原理，熱學(xué)部分的熱力學(xué)第一定律，光學(xué)部分的干涉原理，近代物理部分的光電效應(yīng)等.當(dāng)導(dǎo)體在磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流時(shí)，導(dǎo)體有動(dòng)能、回路中有焦耳熱、還可能有外力和阻力做功［1］，這里所說(shuō)的外力是指除摩擦力之外的動(dòng)力，如拉力（以下同）.

本文研究這一過(guò)程中的能量在不同形式之間轉(zhuǎn)化與守恒特性.

2 物理模型

1831年英國(guó)物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，閉合回路中的磁通量發(fā)生變化將會(huì)在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)勢(shì)的大小與磁通量變化率成正比，電動(dòng)勢(shì)的方向由楞次定律給出了一個(gè)簡(jiǎn)易的判定法則：閉合回路中感應(yīng)電流的方向總是使得它所激發(fā)的磁場(chǎng)來(lái)阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化.

不失一般性，計(jì)算物理模型如圖1所示［2］.一段長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab與水平平行導(dǎo)軌構(gòu)成電阻為R的閉合回路，放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)體棒初始速率v0，方向水平向右，受到的阻力為f，外力為T(mén).

圖1 物理模型

3 能量守恒與轉(zhuǎn)化特性

在上述物理模型中，導(dǎo)體棒可能受到摩擦力、外力和安培力等3種力，在它們的共同作用下運(yùn)動(dòng)，下面分情況討論其中的能量轉(zhuǎn)化與守恒關(guān)系.

3.1 無(wú)摩擦力 無(wú)外力

對(duì)于該情況，如果回路中沒(méi)有磁場(chǎng)，根據(jù)牛頓第一定律，導(dǎo)體棒將會(huì)沿著導(dǎo)軌以速率v0一直運(yùn)動(dòng)下去.但實(shí)際上在磁場(chǎng)作用下，導(dǎo)體棒最終會(huì)停止，原有的動(dòng)能會(huì)消耗掉.原因就在于根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中將產(chǎn)生逆時(shí)針?lè)较虻母袘?yīng)電流，該電流在磁場(chǎng)中將產(chǎn)生水平向左的安培力施加在導(dǎo)體棒上，阻礙導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)，而阻礙作用將通過(guò)回路中的焦耳熱耗散掉.

以一維運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體棒為研究對(duì)象，由于接觸面光滑，只受到安培力作用.由牛頓第二定律得到

分離變量并積分

結(jié)果為

從0→t時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒動(dòng)能改變量為

在同一時(shí)間內(nèi)，回路中感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱為

將式（1）代入，積分并化簡(jiǎn)得到

式（2）與式（3）相同，表明任意時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒的動(dòng)能改變量都以焦耳熱的形式釋放掉.當(dāng)t→!時(shí)，導(dǎo)體棒最終速度為零，電路焦耳熱意味著導(dǎo)體棒的初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為回路的熱能，滿足能量守恒與轉(zhuǎn)化規(guī)律.

3.2 外力與安培力等大反向 無(wú)摩擦力

如圖2所示，導(dǎo)體棒受到大小相等方向相反的外力和安培力，導(dǎo)體棒在這一對(duì)平衡力作用下，保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，拉力對(duì)導(dǎo)體棒做正功，大小為

圖2 受平衡力作用

同一時(shí)間內(nèi)，感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱為

導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即導(dǎo)體棒的動(dòng)能保持不變，式（4）與式（5）結(jié)果相同，表明拉力對(duì)導(dǎo)體棒所做的正功全部轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱.

3.3 恒定摩擦力 無(wú)外力

導(dǎo)體棒受到安培力和恒定摩擦阻力作用，方向都與運(yùn)動(dòng)方向相反，受力分析如圖3所示.

圖3 摩擦力為恒力

由牛頓第二定律

等式兩邊同乘以dx，得到

將安培力代入并兩邊積分，得

在該過(guò)程中感應(yīng)電流的焦耳熱為

正好與式（6）中等式左邊第一項(xiàng)安培力所做的功相等，替換后得

式（6）中等式左邊第二項(xiàng)為克服摩擦阻力所做的功，等式右邊為導(dǎo)體棒動(dòng)能改變量，簡(jiǎn)化為

即

該式表明導(dǎo)體棒的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒克服摩擦力所做的功和回路中的焦耳熱.

3.4 線性阻力 無(wú)外力

在滑動(dòng)速率不太大的情況下，導(dǎo)體棒受介質(zhì)阻

力大小可近似為跟速度成正比f(wàn)（v）＝kv.

安培力也為阻力，根據(jù)牛頓第二定律有

代入有關(guān)力的關(guān)系式，可得

積分得到

式中

在導(dǎo)體棒從運(yùn)動(dòng)到靜止時(shí)間內(nèi)，感應(yīng)電流產(chǎn)生的焦耳熱為

同時(shí)段內(nèi)，導(dǎo)體棒克服摩擦阻力做功為

將式（8）焦耳熱和式（9）摩擦阻力功相加，得到

其結(jié)果恰好等于導(dǎo)體棒剛開(kāi)始所具有的動(dòng)能.

3.5 任意阻力 外力與內(nèi)力平衡

作為一般情況，導(dǎo)體棒既受到拉力作用，又受到安培力、摩擦力及其他耗散力作用，受力分析如圖4所示.

圖4 一般情況

由牛頓第二定律有

作數(shù)學(xué)變換

對(duì)整個(gè)過(guò)程積分并考慮到安培力的功等于回路中的焦耳熱，得到

即導(dǎo)體棒的動(dòng)能的變化量取決于外力所做正功與內(nèi)力所做負(fù)功之和.

由于開(kāi)始外力與摩擦力和安培力平衡，則導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能保持不變，因此全過(guò)程有

即

這表明外力對(duì)系統(tǒng)提供的能量全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱和摩擦內(nèi)能.如果外力為零，可得

這與前面情形相一致.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以切割磁感線的導(dǎo)體棒為例，討論了導(dǎo)體棒不受外力、僅受與安培力等大而反向的外力、摩擦力為恒力等特殊情況及摩擦力為變力的一般情況等5種運(yùn)動(dòng)情形，結(jié)果表明所有情況下導(dǎo)體棒的動(dòng)能變化量都與外力和摩擦力對(duì)系統(tǒng)所做的功與焦耳熱之差相等，能量在機(jī)械能與電能、熱能之間轉(zhuǎn)化，但總量不變，證實(shí)了導(dǎo)體在磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生動(dòng)生電流時(shí)，遵守能量守恒與轉(zhuǎn)化定律，再次表明能量守恒與轉(zhuǎn)化定律是自然界中的基本規(guī)律.

1 金丹青.能量守恒與轉(zhuǎn)化定律在電磁學(xué)中的應(yīng)用.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（10）：88～90

2 汪大勇.談楞次定律中能量守恒問(wèn)題.物理通報(bào)，2000（6）：18～19