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        淺談?wù)w思維在解題中的應(yīng)用

        2014-04-29 01:49:47孫少華
        新課程學(xué)習(xí)·上 2014年1期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題問題解決

        孫少華

        摘 要:數(shù)學(xué)整體化思想方法要求教師在數(shù)學(xué)解題過程中把所研究的對象作為一個整體來對待,從全局看問題,從整體去思考,整體地把握條件和結(jié)論的聯(lián)系。整體化思想是解決數(shù)學(xué)問題的思維方法,掌握整體化思想方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力和發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)。在教學(xué)過程中,教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的整體化思路,尋求潛在規(guī)律,用整體化思想去解決數(shù)學(xué)問題。

        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題;整體化思想;問題解決

        研究某些數(shù)學(xué)問題時,往往不是以問題的某個組成部分為著眼點,而是有意識放大觀察問題的視角,將要解決的問題看做一個整體,通過研究問題的整體形狀、整體結(jié)構(gòu)或做種種整體處理后,達到順利而又簡捷地解決問題的目的。整體化思想作為一種重要的解題策略,對學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力有著積極的意義。

        一、整體代入

        根據(jù)已知條件求代數(shù)式的值,有時直接代入求值極不方便,若把已知條件經(jīng)過變形視作一個“整體”直接代入,就能避免局部運算的麻煩和困難。

        例1.已知x2-5x-1=0,求■的值。

        分析:如果從方程x2-5x-1=0中解出兩個不等無理根,再代入求值,計算復(fù)雜,現(xiàn)考慮5x+1=x2和x2-5x-1=0分別視作整體代入,則問題可化繁為簡。

        解:由x2-5x-1=0得x2=5x+1

        ■=■=■

        =■=■=■=4

        二、整體變形

        把某一個問題看做一個整體的同時,還要對這個整體進行適當(dāng)?shù)淖冃?,才能使問題順利獲解。

        例2.已知x+y-2=0,2y2-y-4=0,求y-■的值。

        解:條件式變形為x=2-y,y2=■y+2

        所求式變形為:y-■=■=■=■

        三、整體求解

        在解方程時,可以把幾個未知數(shù)作為一個整體考慮,這樣就能避開非必求部分,從而簡化解題過程。

        例3.有甲、乙、丙三種貨物,若購甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元;購甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元,現(xiàn)在購甲、乙、丙各1件,共需多少元?

        分析:考慮分別求甲、乙、丙各一件的價格比較困難,可把甲、乙、丙一件的總錢數(shù)看做一個整體,然后從整體上求解。

        解:設(shè)購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元

        則依題意得:3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20

        問題就是求x+y+z=?

        設(shè)x+y+z=m(3x+7y+z)+n(4x+10y+z)

        =(3m+4n)x+(7m+10n)y+(m+n)z

        ∴3m+4n=17m+10=1 ?圯 m+n=1m=3n=-2

        x+y+z=3(3x+7y+z)-2(4x+10y+z)=3×3.15-2×4.20=1.05

        四、整體求和

        有些數(shù)學(xué)問題,分別討論需考慮多種情況,若整體求和,就可避免分類討論。

        例4.a、b、c是常數(shù)實數(shù),x,y為任意實數(shù)

        設(shè)A=(a-b)x+(b-c)y+(c-a)

        B=(b-c)x+(c-a)y+(a-b)

        C=(c-a)x+(a-b)y+(b-c)

        求證:A、B、C不能都是正數(shù),也不能都是負數(shù)。

        分析與簡解:若想分開討論,則須分一正二負或一負二正兩種情況,而x,y為變量,且a、b、c的大小關(guān)系不明確,難以下手。如果用整體求和,易知A+B+C=0,而A、B、C均為實數(shù),便立即得出A、B、C不能都是正數(shù),也不能都是負數(shù)。

        五、整體求積

        利用三個正數(shù)a、b、c,若abc≤k,則a、b、c中至少有一個小于等于■,解題思路簡捷。

        例5.已知0

        求證:a(1-c)、b(1-a)、c(1-b)、中至少有一個小于等于■

        分析與簡證:對a(1-c)、b(1-a)、c(1-b)逐一考查條件難以用上,轉(zhuǎn)而整體求積,則可得到解題途徑。

        ∵a(1-a)=-a2+a=-(a-■)2+■且0

        ∴0

        同理0

        ∴a(1-b)b(1-c)c(1-a)=a(1-a)b(1-b)c(1-c)≤(■)3

        故a(1-b)、b(1-c)、c(1-a)中至少有一個小于等于■。

        通過以上幾例,我們不難看出,運用整體思維解題,應(yīng)注意從全局著眼,全面系統(tǒng)地觀察分析整體與局部,整體與結(jié)構(gòu)的關(guān)系,從而準確地把握問題的本質(zhì),化繁為簡,化難為易,出奇制勝。

        參考文獻:

        [1]徐高龍.整體化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及教學(xué)對策.新課程研究,2011(8).

        [2]鄭敏信.數(shù)學(xué)方法論入門.浙江教育出版社,2006-03.

        [3]李鴻.強化整體化思想運用,提高數(shù)學(xué)解題能力.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1994(2).

        (作者單位 青海省大通回族女子中學(xué))

        編輯 楊兆東

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