苗利波

【摘要】 數(shù)學(xué)理解已經(jīng)成為繼“問(wèn)題解決”之后世界數(shù)學(xué)教育所關(guān)心的中心話(huà)題. 數(shù)學(xué)理解是人們知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展、不斷完善的動(dòng)態(tài)過(guò)程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)意義的建構(gòu)過(guò)程，數(shù)學(xué)理解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的普遍性、特殊性、動(dòng)態(tài)性和發(fā)展性. 本文探討數(shù)學(xué)概念理解的有效途徑，進(jìn)而揭示出數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維

世紀(jì)之初，世界各地的數(shù)學(xué)課程都經(jīng)歷了改革，紛紛推出了面向未來(lái)的課程計(jì)劃，數(shù)學(xué)理解已經(jīng)成為繼“問(wèn)題解決”之后世界數(shù)學(xué)課程改革所關(guān)心的中心話(huà)題.

一、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)理解通常有三個(gè)層面：第一，作為理論思維的數(shù)學(xué)，提供了理論思維的范式和完善的方法論，它是由人的思維構(gòu)造的理論體系，其成果構(gòu)成了其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)；第二，作為技術(shù)應(yīng)用的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)已經(jīng)由科學(xué)技術(shù)滲透到政治、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域；第三，作為文化素養(yǎng)的數(shù)學(xué). 因?yàn)閿?shù)學(xué)思維無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不有，所以數(shù)學(xué)素養(yǎng)將陪伴人的一生. 本文從數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵出發(fā)，通過(guò)尋求數(shù)學(xué)理解的思維發(fā)展、認(rèn)知發(fā)展機(jī)制，探討數(shù)學(xué)理解的有效途徑，進(jìn)而揭示出數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)關(guān)系，以期為我國(guó)數(shù)學(xué)課程發(fā)展提供理論支撐和新的視野.

二、數(shù)學(xué)概念理解的有效策略

1. 操 作

按照弗賴(lài)登塔爾的觀點(diǎn)，教一個(gè)內(nèi)容的最佳途徑是聯(lián)系學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)，在將要傳授的知識(shí)與學(xué)生已經(jīng)在現(xiàn)實(shí)世界中積累的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間、在將要傳授的知識(shí)與已經(jīng)教過(guò)的知識(shí)之間建立起緊密的聯(lián)系，操作是建立聯(lián)系的最好路徑，假設(shè)數(shù)學(xué)的理解始于知覺(jué)、行動(dòng)，成功的感知目標(biāo)使得視覺(jué)空間表征的發(fā)展隨著幾何學(xué)中語(yǔ)言支持到視覺(jué)感悟的增長(zhǎng)而發(fā)展；成功的行動(dòng)目標(biāo)運(yùn)用靈活的符號(hào)表征，由算術(shù)和代數(shù)領(lǐng)域中的操作過(guò)程而形成思維概念. 認(rèn)知結(jié)構(gòu)由初級(jí)的數(shù)學(xué)思維成為高級(jí)的數(shù)學(xué)思維，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)發(fā)展的三個(gè)領(lǐng)域，通過(guò)知識(shí)內(nèi)部的信息加工途徑，凝聚和多元化的表征方式及其轉(zhuǎn)換，通過(guò)操作，有效地使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺(jué)相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀.

2. 信息加工途徑——凝聚

數(shù)學(xué)概念的雙重性又決定了數(shù)學(xué)思維、理解的雙重性. 理解性學(xué)習(xí)的有效方式是個(gè)體自我數(shù)學(xué)的建構(gòu)和對(duì)自我知識(shí)的反思，由知覺(jué)到行動(dòng)，到目標(biāo)的轉(zhuǎn)化，也是由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化，它構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維的基本形式——“凝聚”. 凝聚體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的東西射或反射到一個(gè)新的層面上，并對(duì)此進(jìn)行重新建構(gòu)”. 以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個(gè)階段：（1）內(nèi)化；（2）壓縮；（3）客體化. 其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準(zhǔn)備. 前者是指用思維去把握原先的視覺(jué)性程序，后者則是指將相應(yīng)的過(guò)程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對(duì)所說(shuō)的過(guò)程作出描述或進(jìn)行反思. 我們?cè)诖瞬粌H不需要實(shí)際地去實(shí)施相關(guān)的運(yùn)作，還可從更高的抽象水平對(duì)整個(gè)過(guò)程的性質(zhì)作出分析；另外，相對(duì)于前兩個(gè)階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物，原先的過(guò)程現(xiàn)在就變成了一個(gè)靜止的對(duì)象.

3. 表征方式的多元化

表征從廣義來(lái)講是指人腦內(nèi)部的心智活動(dòng)的表現(xiàn)，又可指思維活動(dòng)的外在表現(xiàn)形式；從狹義來(lái)看，可以理解為表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的過(guò)程，即對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的表示形式，用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為. 關(guān)于人類(lèi)知識(shí)表現(xiàn)有三個(gè)不同表征類(lèi)型：動(dòng)作表征（物理過(guò)程），圖像表征（視覺(jué)），符號(hào)表征（抽象）.

在表征類(lèi)型中，一個(gè)從本質(zhì)上說(shuō)是物理過(guò)程（動(dòng)作表征），其他兩個(gè)是引出物理對(duì)象后的抽象過(guò)程（圖像表征，符號(hào)表征）. 圖像表征提出了一個(gè)更廣闊的“視覺(jué)空間”概念，這里面也包含了動(dòng)作表征（例如，感知一個(gè)“連續(xù)”的曲線由負(fù)到正必須經(jīng)過(guò)零）.

自然語(yǔ)言的發(fā)生始終貫穿于數(shù)學(xué)當(dāng)中，使數(shù)學(xué)活動(dòng)置于環(huán)境之中. 從視覺(jué)空間到符號(hào)推理的發(fā)展，自然語(yǔ)言成為描述圖像和明確敘述證明的工具. 它也可以用來(lái)描述數(shù)字的特性，例如，加法是可以交換的，因?yàn)樗偸怯歇?dú)立的順序（事實(shí)上，表象的變換比計(jì)算的過(guò)程更容易理解，它有效地利用了視覺(jué)與符號(hào)之間的聯(lián)系）. 符號(hào)是邏輯推理的需要. 數(shù)學(xué)符號(hào)是抽象的數(shù)學(xué)概念的具體表示，是數(shù)量關(guān)系的無(wú)聲名稱(chēng)，是邏輯推理的物質(zhì)承擔(dān)者，是數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)化的最佳途徑. 符號(hào)在數(shù)學(xué)史上已證明是一種重要的探索工具，利用符號(hào)便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 因此在實(shí)際教學(xué)中要注意概念和數(shù)學(xué)符號(hào)是密不可分的整體，讓學(xué)生真正明確符號(hào)代表的對(duì)象及其數(shù)學(xué)性質(zhì). 表征的三種類(lèi)型從本質(zhì)上說(shuō)動(dòng)作表征是物理過(guò)程，圖像表征和符號(hào)表征是引出物理對(duì)象后的抽象過(guò)程，它反映了個(gè)體從初級(jí)到高級(jí)數(shù)學(xué)思維的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

三、數(shù)學(xué)概念理解的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念理解具有主動(dòng)性. 學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)的信息接受者，他要對(duì)外部信息做主動(dòng)的選擇和加工，學(xué)習(xí)過(guò)程中的核心認(rèn)知活動(dòng)是深層理解和高水平思維. 學(xué)生通過(guò)高水平的思維活動(dòng)來(lái)學(xué)習(xí)，對(duì)各種信息和觀念進(jìn)行加工轉(zhuǎn)換，基于新、舊知識(shí)進(jìn)行綜合和概括，解釋有關(guān)的現(xiàn)象，形成新的假設(shè)和推論，并對(duì)自己的想法進(jìn)行反思性的推敲和檢驗(yàn). 所以數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是個(gè)體在已建立數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上對(duì)數(shù)學(xué)感悟、反思和體驗(yàn)的結(jié)果， 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)個(gè)人建構(gòu)的特殊性.

數(shù)學(xué)理解具有連續(xù)性和層次性. 每名學(xué)生都在以自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)對(duì)新的信息進(jìn)行編碼，建構(gòu)自己的理解，在學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)而促進(jìn)新知識(shí)的生長(zhǎng)和建構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的動(dòng)態(tài)性.

數(shù)學(xué)理解具有反思性和創(chuàng)造性. 原有知識(shí)會(huì)受到新經(jīng)驗(yàn)的挑戰(zhàn)而發(fā)生調(diào)整和改變，所以學(xué)習(xí)并不簡(jiǎn)單地是信息的量的積累，它同時(shí)包含由于新、舊經(jīng)驗(yàn)的沖突而引發(fā)的概念轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)重組，認(rèn)知沖突的引發(fā)和合理解決是導(dǎo)致知識(shí)建構(gòu)的重要途徑. 學(xué)生要不斷監(jiān)督自己對(duì)知識(shí)的理解程度，通過(guò)批判性思維來(lái)發(fā)展自己的見(jiàn)解，并在不斷沖突、創(chuàng)造過(guò)程中來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展性.