韓寶燕

【摘 要】古典概型在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。本文將對(duì)古典概型問(wèn)題的解法進(jìn)行探討，題分析，歸納總結(jié)出古典概型問(wèn)題的解題方法。

【關(guān)鍵詞】古典概型；分球入盒；對(duì)立事件；樣本空間；全概率公式

古典概型在概率論中有著相當(dāng)重要的地位，在概率論的學(xué)習(xí)中起著奠基性的作用。古典概型是一類(lèi)特定的隨機(jī)試驗(yàn)的概率類(lèi)型，它的主要特點(diǎn)是“各可能結(jié)果具有等可能性”。古典概型涉及形式多樣的實(shí)際問(wèn)題，本文將對(duì)古典概型的解法進(jìn)行討論，通過(guò)典型例題分析，歸納出解題方法。

1 巧選樣本空間解題

例1 n個(gè)小朋友隨機(jī)圍圓桌而坐，求其中甲、乙兩人坐在一起（座位相鄰）的概率。

評(píng)：如果更具體點(diǎn)，可選取樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}，ωi表示乙坐在甲左邊第i個(gè)位置上，它滿足有限等可能的要求，要求的事件A={ω1，ωn-1 }。我們這樣選取的樣本空間Ω是符合古典概型要求（元素有限且等可能） 最小的樣本空間了，顯然解法二比解法一簡(jiǎn)便很多。

2 利用分球入盒模型解題

分球如何問(wèn)題是古典概型中經(jīng)常遇見(jiàn)的一類(lèi)題目，它們形式多樣，但這類(lèi)問(wèn)題可用以下幾個(gè)公式總結(jié)。

2.1 球是可辨別的

例1 設(shè)有m個(gè)可辨的球，每一個(gè)球都等可能地被分配到M（m≤M）個(gè)不同的盒子中去，求下列事件的概率：

（1）某指定的m個(gè)盒子中各有一球；

解：每一個(gè)球有M個(gè)盒子可供選擇，所以m個(gè)球放入M個(gè)盒子的放法共有Mm種，且它們都是等可能的。

M個(gè)可辨的球放入M個(gè)盒子中的分布，是一種理想化的概率模型，可用以描述許多很多直觀背景不同的隨機(jī)試驗(yàn)。如生日問(wèn)題，性別問(wèn)題，旅客下站問(wèn)題，分房問(wèn)題，意外事件問(wèn)題。

2.2 球是不可分辨的

這種情形還可以解決其它不同背景的古典問(wèn)題，例如隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題，英文字母排列問(wèn)題。

3 利用對(duì)立事件方法解題

古典概型中樣本空間每一基本事件的等可能性，使古典概型問(wèn)題具有對(duì)稱性，也就是考慮對(duì)立事件，利用對(duì)稱思想是解決古典概型的一種常用的思想，如果解決一個(gè)問(wèn)題很困難，可以考慮它的對(duì)立事件，則可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例1 打橋牌時(shí)把一副撲克牌分發(fā)給4人，問(wèn)指定某人沒(méi)有同時(shí)得到黑桃A、黑桃K的概率為多少？

4 運(yùn)用化歸的思想解題

化歸方法是解決古典概型的另一基本方法，它的基本思想是：當(dāng)原問(wèn)題難以解決時(shí)，將原問(wèn)題化為一個(gè)比較熟悉、比較容易解決的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的。最常見(jiàn)的就是具體問(wèn)題一般化。具體問(wèn)題一般化就是說(shuō)把特殊問(wèn)題當(dāng)作一般問(wèn)題處理，通過(guò)一般問(wèn)題的解決然后再將問(wèn)題特殊化就解決了。

例 甲、乙兩人各有本錢(qián)50元，20元，他們以擲一枚硬幣決定勝負(fù)，規(guī)定每擲一次，若正面朝上則甲付給乙1元，反之，則乙付給甲1元。如此繼續(xù)下去，直至一人輸光。求下列事件的概率a）甲輸光b）已輸光c）永不輸光

評(píng)：由上例可以可看出，對(duì)于一些求總量的古典概型，如果問(wèn)題的條件描述了它的逐步變化規(guī)則，那么用特殊到一般的方法，通過(guò)建立遞推關(guān)系求解往往是很有效的。

5 利用全概率，條件概率公式解題

例 1 設(shè)某類(lèi)產(chǎn)品是由1，2，3三個(gè)加工廠生產(chǎn)的，它們的市場(chǎng)占有率分別為0.5，0.25，0.25，其產(chǎn)品的次品率分別為0.02，0.02，0.04。今從市場(chǎng)任購(gòu)一件這類(lèi)產(chǎn)品，試問(wèn)買(mǎi)到次品的概率是多少？

例2 某保險(xiǎn)公司的統(tǒng)計(jì)表明，新保險(xiǎn)的汽車(chē)司機(jī)中可化分為兩類(lèi)：第一類(lèi)人易出事故，其在1年內(nèi)出事故的概率為0.4，第二類(lèi)的人比較謹(jǐn)慎，其在1年內(nèi)出事故的概率為0.2.假定第一類(lèi)占新保險(xiǎn)司機(jī)的30%。那么一個(gè)新保險(xiǎn)客戶在買(mǎi)保險(xiǎn)后1年內(nèi)出事故的概率為多少？

解：設(shè)事件A=“客戶在一年內(nèi)出事故”，直接求A的概率不容易，要設(shè)法找到與A有關(guān)的分割，設(shè)B=“第一類(lèi)投保司機(jī)”C=“第二類(lèi)投保司機(jī)”，且{B、C}構(gòu)成Ω的一個(gè)分割，并且知道p（B）=0.3，p（A/B）=0.4，p（C）=0.7，p（A/C）=0.2，利用全概率公式可得p（A）=p（B）p（A/B）+p（C）p（A/C）=0.26，這表明，100位新客戶在1年內(nèi)大約有26人出事故。

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