趙曄

摘 要：通過討論幾種催化模型及其對應(yīng)的流行病病例，解釋了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實際病例的關(guān)系，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：催化模型；陽性率；微分方程

在高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)過程中，經(jīng)常會有很多學(xué)生問這樣一個問題：學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)在實際生活中會有什么樣的用處？在醫(yī)科院校里面這個問題尤其突出，這也從側(cè)面對教師提出一個要求：如何把嚴肅枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容與鮮活的醫(yī)學(xué)案例結(jié)合起來，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能夠真切地感受到數(shù)學(xué)在醫(yī)學(xué)實際中的用處。

在大多數(shù)醫(yī)學(xué)院校的高數(shù)教材中，關(guān)于醫(yī)學(xué)的例子并不少見，但是，卻讓學(xué)生興致缺失，主要是因為這些數(shù)學(xué)課本中的例題有兩大不足：一是對許多實際病例作了簡化處理，推出了一些數(shù)學(xué)模型，但是，結(jié)果這些數(shù)學(xué)模型不能很好地對實際病例做出合理的解釋，給學(xué)生一種生搬硬套的感覺；另外一個是給出的模型過于復(fù)雜，其中涉及的數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)知識層次較深，或者解決模型的過程異常繁瑣，使學(xué)生望而生畏，不愿去解決模型問題。

針對這個問題，筆者根據(jù)教學(xué)實踐，結(jié)合流行病學(xué)中的“催化數(shù)學(xué)模型”，給出微分方程應(yīng)用的一個教學(xué)實例。

一、催化模型的建立

催化數(shù)學(xué)模型在1959年由Muench提出的關(guān)于流行病學(xué)模型，這個模型主要應(yīng)用于某些流行疾病的年齡性別陽性率資料。

該模型的建立需要三個假設(shè)條件：

1.要求研究對象在出生時都是易感者。

2.某種流行疾病在這組人群中的感染力是恒定不變的。

3.在該人群發(fā)生的人口流動、死亡等因素可以忽略不計。在這三個假設(shè)條件都成立的條件下，可以得到三個基本流行方程：

（1）簡單催化數(shù)學(xué)模型

二、模型問題的求解

催化數(shù)學(xué)模型自被Muench提出以來，憑借它的簡單和實用等特點受到各地醫(yī)務(wù)工作者的歡迎和喜愛。

在以上三種類型的公式中，方程（1）、方程（2）都屬于常見的可分離變量的微分方程。方程（3）屬于一階線性微分方程。在日常的課堂教學(xué)過程中，教師可以根據(jù)具體情況講解這些例子。一方面，可以作為可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的例

題，通過日?？梢姷氖煜げ±齺砬蠼夥匠蹋@時只需對方程的流行病學(xué)的意義做個簡要說明即可引起學(xué)生的強烈學(xué)習(xí)興趣；另一方面，教師給出實際數(shù)據(jù)，進行模型間的擬合，這樣的教學(xué)效果相對更好一些，但卻面臨著擬合模型的過程需要用到很多數(shù)學(xué)知識，如：最小二乘法等。最后是全部解決問題過程的講解，依據(jù)講解步驟為：問題提出→建立假設(shè)條件→建立目標方程→方程求

解→實際應(yīng)用的擴展。通過這樣的授課方式，能提高學(xué)生的解題能力和學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生學(xué)以致用，取得良好的教學(xué)效果。

催化數(shù)學(xué)模型在微分方程部分的教學(xué)中，通過實際生活中熟悉的病例模型，能引起大部分學(xué)生強烈的學(xué)習(xí)興趣。通過這類數(shù)學(xué)模型的深入講解，學(xué)生能把數(shù)學(xué)知識與醫(yī)學(xué)實際合理地結(jié)合起來，并加深了對微分方程內(nèi)容的理解。同時也會引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題：這類數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件是否能夠繼續(xù)改進？應(yīng)怎樣改進？隨著假設(shè)條件的變化，可以得到什么模型？這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)將會很輕松地達成教學(xué)目標。

參考文獻：

周懷悟.數(shù)理醫(yī)藥學(xué).上?？萍汲霭嫔纾?983.

（作者單位 西安工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）