施成湘

（重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400067）

1 《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)中存在問(wèn)題及改革思路

《數(shù)學(xué)分析》作為數(shù)學(xué)專業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課，不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生進(jìn)校后首先學(xué)習(xí)的一門重要課程，而且在大學(xué)乃至研究生階段很多的后續(xù)課程都可視為它的延伸，如：《概率統(tǒng)計(jì)》《微分方程》《數(shù)理方程》《計(jì)算方法》《實(shí)變函數(shù)》《復(fù)變函數(shù)》《泛函分析》等都以《數(shù)學(xué)分析》的知識(shí)為基礎(chǔ)。《數(shù)學(xué)分析》的課程建設(shè)[1]不僅能提高本課程的教學(xué)質(zhì)量，而且可以帶動(dòng)、促進(jìn)數(shù)學(xué)專業(yè)的諸多課程的建設(shè)，毫不夸張地說(shuō)它是數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)改革的核心內(nèi)容，是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，在培養(yǎng)具有良好素質(zhì)的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用人才方面起著重要的作用。

教師不應(yīng)僅僅是課程的闡述者和傳遞者，學(xué)生不應(yīng)只是課程的接受者和吸收者，課程也不應(yīng)成為一種指令、規(guī)定[2]?？v觀《數(shù)學(xué)分析》課程在數(shù)學(xué)專業(yè)的重要地位，其內(nèi)容已經(jīng)相當(dāng)定型、穩(wěn)定，教學(xué)大綱與教材也是多年不變，這就使得教學(xué)模式、方法漸漸的趨于一種定勢(shì)，不可避免地使得教學(xué)變得死板、機(jī)械和沉悶，有時(shí)只重視了知識(shí)的傳授和教學(xué)任務(wù)的完成，而忽視了學(xué)生的參與、興趣和感受[3]。這些剛從中學(xué)跨入大學(xué)校門的新生，受應(yīng)試教育的影響，部分學(xué)生習(xí)慣了傳統(tǒng)的傳授知識(shí)為主的教學(xué)方法，適應(yīng)了機(jī)械分類式題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練，這些學(xué)生學(xué)習(xí)上依賴性強(qiáng)，自學(xué)能力欠缺，不適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)習(xí)興趣下降，積極性不高，學(xué)習(xí)效果差。要改變這種狀況[4]，不僅要有效發(fā)揮教師的積極性、創(chuàng)造性，而且要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、自主性、創(chuàng)造性，教師和學(xué)生共同走進(jìn)課程，體驗(yàn)、感受、領(lǐng)悟和思考，進(jìn)而成為課程的創(chuàng)造者和主體。

2 加強(qiáng)《高中數(shù)學(xué)》與《數(shù)學(xué)分析》內(nèi)容上的銜接

《高中數(shù)學(xué)》新課改增刪了很多內(nèi)容，刪除了三角函數(shù)的和差化積、積化和差、反三角函數(shù)、參數(shù)方程與極坐標(biāo)等；增加了數(shù)列與函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)［5］等。因此，為了與高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容很好地銜接起來(lái)，應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中相應(yīng)地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。

2.1 重復(fù)型內(nèi)容

這部分內(nèi)容與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容完全重復(fù)或基本一致，比如初等函數(shù)利用公式求導(dǎo)計(jì)算，在講解該部分內(nèi)容時(shí)，便可作為舊知識(shí)點(diǎn)處理，簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)即可[6]。

2.2 缺失型內(nèi)容

這部分知識(shí)點(diǎn)，將根據(jù)后續(xù)內(nèi)容的要求，以新課的形式相應(yīng)地加以講解。比如在平面直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系以及參數(shù)方程表達(dá)的平面圖形面積這些內(nèi)容時(shí)，極坐標(biāo)的概念在高中數(shù)學(xué)中并沒有涉及，這就需要類比平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)要引入極坐標(biāo)概念，使學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)有直觀理解。

2.3 加強(qiáng)型內(nèi)容

這部分內(nèi)容講授時(shí)是需要在重復(fù)的同時(shí)對(duì)其加以提煉或補(bǔ)充的。即在授課時(shí)，有必要先復(fù)習(xí)一下高中的知識(shí)點(diǎn)，再闡述提升部分的內(nèi)容。比如極限的概念，可先簡(jiǎn)單回顧一下高中數(shù)學(xué)中引入極限的描述性定義，再以新課的形式講解極限的“ε-N”定義，通過(guò)比較更進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)極限概念的認(rèn)識(shí)。

3 數(shù)列極限的教學(xué)過(guò)程

《數(shù)學(xué)分析》這門課程研究的對(duì)象是函數(shù)，而極限是其研究方法。從方法論來(lái)說(shuō)，這是《數(shù)分分析》區(qū)別于《初等數(shù)學(xué)》的顯著標(biāo)志?！稊?shù)學(xué)分析》中幾乎所有的概念都離不開極限，極限理論是《數(shù)學(xué)分析》的基礎(chǔ)理論。通過(guò)這章節(jié)的學(xué)習(xí)，旨在使學(xué)生逐步透徹理解數(shù)列極限、函數(shù)極限、無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念，能夠運(yùn)用“ε-N”、“ε-X”、“ε-δ”的語(yǔ)言處理極限問(wèn)題，能夠正確敘述和證明性質(zhì)：唯一性、有界性、保號(hào)性，能運(yùn)用定義、四則運(yùn)算、極限存在判別法、兩個(gè)重要極限及Cauchy準(zhǔn)則，判別極限的存在性，熟練地求出極限。下面筆者將多種教學(xué)方法融入到數(shù)列極限定義講解的教學(xué)過(guò)程中，以期實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)極限問(wèn)題的理解從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的層面。

3.1 故事導(dǎo)入式教學(xué)導(dǎo)入新課

在中學(xué)階段，學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單函數(shù)和數(shù)列的極限計(jì)算，教學(xué)要求主要是會(huì)計(jì)算極限，但是對(duì)在自變量的某種變化趨勢(shì)下函數(shù)的變化趨勢(shì)的研究形態(tài)并沒有上升到量化的過(guò)程。為更形象地將極限的思想用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的形式表達(dá)出來(lái)，讓學(xué)生適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)邏輯思維方式，引入了劉徽“割圓術(shù)”的故事來(lái)啟發(fā)學(xué)生。通過(guò)動(dòng)畫演示正邊形周長(zhǎng)的計(jì)算，近似推導(dǎo)出圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式，從而使學(xué)生不僅能夠立足已有的知識(shí)點(diǎn)，更能對(duì)函數(shù)極限的來(lái)源產(chǎn)生濃厚興趣，有助于后續(xù)的學(xué)習(xí)。

3.2 啟發(fā)式數(shù)列極限的定義

在學(xué)生對(duì)數(shù)列變化趨勢(shì)了解的基礎(chǔ)上，給出數(shù)列極限的文字語(yǔ)言描述的狀態(tài)趨勢(shì)——“隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，數(shù)列通項(xiàng)無(wú)限逼近某一確定的數(shù)值A(chǔ)”，將數(shù)列收斂的狀態(tài)通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言逐步提煉，使其數(shù)量化、數(shù)值化，使得學(xué)生在逐步的演變過(guò)程中加深數(shù)列極限“ε-N”語(yǔ)言定義的形成，從而更好地區(qū)別于《數(shù)學(xué)分析》對(duì)概念問(wèn)題的理解與中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)上不同的數(shù)學(xué)高度與理解層面。

3.3 討論式教學(xué)探索ε和N關(guān)系

數(shù)列極限定義的“ε-N”語(yǔ)言的理解作為本章節(jié)一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)在學(xué)習(xí)，是學(xué)生進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的前提。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生將抽象的、主觀的數(shù)列極限存在性的狀態(tài)逐步量化成分析語(yǔ)言的“ε-N”定義后，學(xué)生應(yīng)深刻地理解“ε-N”語(yǔ)言中ε和N二者之間相互影響的關(guān)系。在此，可自然地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論：數(shù)列極限的ε和N二者之間有什么樣的關(guān)系？ε越大，N怎么變？反之，ε越小，N又怎么變。在對(duì)比圖像演示，思考過(guò)后，學(xué)生會(huì)得到一個(gè)明顯的結(jié)果：ε愈大，N愈小。ε具有相對(duì)的固定性和絕對(duì)的任意性，這雙重性使得數(shù)列極限的“ε-N”定義，從近似轉(zhuǎn)化到精確，又能從精確轉(zhuǎn)化到近似。

3.4 歸納式教學(xué)總結(jié)數(shù)列極限的定義

學(xué)生對(duì)數(shù)列極限的定義的理解已很清楚，教師可引導(dǎo)學(xué)生自己考慮數(shù)列發(fā)散的分析語(yǔ)言是否也可從收斂定義當(dāng)中類似的得到。在對(duì)數(shù)列極限定義做進(jìn)一步結(jié)構(gòu)與書寫的分析后，可由學(xué)生自行歸納總結(jié)數(shù)列發(fā)散的“ε-N”語(yǔ)言，并將其與收斂定義進(jìn)行比較、對(duì)比，使學(xué)生對(duì)兩者定義有一個(gè)深刻理解，從而可以更好地學(xué)習(xí)數(shù)列極限的定義。

3.5 懸念設(shè)疑式教學(xué)為下節(jié)課作好鋪墊

教師在對(duì)整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)的同時(shí)，再次提出數(shù)列收斂與發(fā)散，即極限存在與極限不存在分析語(yǔ)言準(zhǔn)確的定義描述，并由前面所學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)而提出疑問(wèn):要證明數(shù)列極限存在，該如何根據(jù)定義去證明存在性，這也為下節(jié)課的存在性證明的講授做出鋪墊，從而使學(xué)生能在課后有興趣對(duì)下一節(jié)做預(yù)習(xí)準(zhǔn)備。在整節(jié)課的講授中，我們摒棄了原來(lái)講授《數(shù)學(xué)分析》所常用的整堂課教師講授、學(xué)生做筆記的傳統(tǒng)教學(xué)方法，而融入了多種教學(xué)手段，凸顯了《數(shù)學(xué)分析》知識(shí)的邏輯性，并不斷督促學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生帶著興趣學(xué)習(xí)，能夠把數(shù)學(xué)前后知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，同時(shí)鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力和自主學(xué)習(xí)能力。

4 結(jié)語(yǔ)

《數(shù)學(xué)分析》課程是數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的基礎(chǔ)，如何使學(xué)生學(xué)好此門課程是每個(gè)數(shù)學(xué)老師必須思考的事情。在講授《數(shù)學(xué)分析》課程時(shí)不僅要把基礎(chǔ)內(nèi)容講授清楚，更要利用多種教學(xué)手段培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和自主學(xué)習(xí)能力，這樣學(xué)生不僅能學(xué)好《數(shù)學(xué)分析》，更能把《數(shù)學(xué)分析》所要傳達(dá)的理念應(yīng)用到后續(xù)的眾多數(shù)學(xué)課中去。

[1]姚云飛.高師本科《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)改革的研究與實(shí)踐[J]，大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，19(6):12-19.

[2]袁菲.探討《數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)改革和教學(xué)質(zhì)量的提高[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(21):62-65.

[3]王浚嶺.《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)現(xiàn)狀與教學(xué)改革[J].湖北教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，23(2):88-91.

[4]匡奕群，高武軍.《數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)改革與實(shí)踐[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28(5):55-56.

[5]潘建輝.大學(xué)數(shù)學(xué)和新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)的脫節(jié)問(wèn)題與銜接研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008(2):67-69.

[6]徐惠霞.《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)改革的探討[J].新余學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(3):123-124.