胡靜

摘 要：習(xí)題課是高中數(shù)學(xué)常見的一種課型，通過習(xí)題教學(xué)與練習(xí)，使學(xué)生鞏固新知、培養(yǎng)技能、糾正錯(cuò)誤、完善知識(shí)體系。本節(jié)習(xí)題課以一道立體幾何題為例，從三個(gè)方面探究線面角的求法，通過一題多解，吸引學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，即解決了線面角的求法，又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：習(xí)題課；一題多解；立體幾何；線面角

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，筆者認(rèn)為要上好習(xí)題課，要從有限的例題和習(xí)題上下工夫，采取一題多解的形式進(jìn)行教學(xué)。對一道題采用不同的方法、對一類問題的多種解法采用同一道例題，這樣不僅節(jié)省了時(shí)間、減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)、教授了解題技巧，更重要的是通過不同的思路去引導(dǎo)學(xué)生講述各自的解題思路及算法，溝通解與解之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如：在講授如何求解線面角的時(shí)候，筆者以一道立體幾何題為例，從三個(gè)方面探究線面角的求法。

例題：四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形。AB=BC=2，CD=SD=1。（1）證明：SD⊥平面SAB；（2）求AB與平面SBC所成的角的正弦值。

在第二問求解線面角的大小時(shí)，可從三個(gè)角度進(jìn)行研究：（1）利用定義尋找線面角的位置直接求解；（2）借助點(diǎn)到平面距離間接求解；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解。

方法一：利用定義尋找線面角的位置直接求解

（1）一般在斜線L上找一點(diǎn)A，過該點(diǎn)作平面的垂線，斜足O與垂足B的連線OB為斜線在平面內(nèi)的射影，則射影與斜線所成的角即為該斜線與平面所成的角。

解法1：如圖，因?yàn)镃D∥AB，所以CD與平面SBC所成的角即為AB與平面SBC所成的角。取SC中點(diǎn)M，連結(jié)BM，DM。

因?yàn)镈S=DC，BS=

BC，所以SC⊥DM，SC⊥BM，所以SC⊥平面BDM，所以平面BDM⊥平面SBC，作DN⊥BM，垂足為N，則DN⊥平面SBC，連結(jié)CN，則∠DCN即為CD與平面SBC所成的角。

因?yàn)镾D⊥AB，CD∥AB，SD⊥CD，|SC|=■，|BM|=■，cos∠DBM=■，sin∠DBM=■，DN=■·■=■，sin∠DCN=■=■=■

所以AB與平面SBC所成的角的正弦值為■。

（2）過直線L做平面的垂面，直線L與交線的夾角即為線面角。

解法2：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE。作SF⊥DE，垂足為F，則SF⊥平面ABCD，作FG⊥BC，垂足為G，連結(jié)SG。又FG⊥BC，SF⊥BC，SF∩FG=F，故BC⊥平面SFG，平面SFG⊥平面SBC，

因?yàn)镕G∥AB，所以FG與平面SBC所成的角α即為AB與平面SBC所成的角。

方法二：借助點(diǎn)到平面距離間接求解

求直線上一點(diǎn)A到平面的距離h，該點(diǎn)與斜足的距離OA，h與OA的比值即為線面角的正弦值，即sinα=■。

解法3：VA-SBC=VS-ABC

VS-ABC=■S△ABC|SF|=■·■|AB||BC||SF|=■·■·2·2·■=■

如圖，設(shè)A到平面SBC的距離為h，取SC中點(diǎn)M，連結(jié)BM，因?yàn)镾D⊥AB，CD∥AB，SD⊥CD，|SC|=■，

|BM|=■，VA-SBC=■·■·■·■·h=■h，又■h=■，所以h=■·■=■，即A到平面SBC的距離為■。

又因?yàn)锳B=2，設(shè)AB與平面SBC所成的角為α，則sinα=■=■=■，所以AB與平面SBC所成的角的正弦值為■。

方法三：建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解

建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，直線與法向量所成角的余弦值即為線面角的正弦值。

解法4：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz。D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。

因?yàn)槠矫鍿DE⊥平面ABCD，CD=1，DF=■，SF=■，所以S（1，■，■）。設(shè)平面SBC的法向量■=（x，y，z），■=（1，-■，■），■=（0，2，0），故x-■y+■z=0？圯■=（-■，0，2）2y=0

又■=（-2，0，0），cos■，■=■，故AB與平面SBC所成的角的正弦值為■。

本節(jié)習(xí)題課通過對一道例題的剖析，把線面角定義、點(diǎn)到平面的距離、建立空間直角坐標(biāo)系及利用法向量解題等知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來，完善了學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高了學(xué)生的解題能力，真正達(dá)到了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目的。習(xí)題課教學(xué)要使學(xué)生在探究教師精心編制的習(xí)題過程中拓寬學(xué)習(xí)領(lǐng)域，在教師的幫助下讓學(xué)生解決一個(gè)個(gè)具體的問題，使其獲得成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力，從而增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。