焦永安

摘 要：初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機整體。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是代數(shù)、幾何中的性質(zhì)概念、法則公式、公理定理以及由其深層次內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合、分類討論和化歸等數(shù)學(xué)思想方法蘊涵在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中。在教學(xué)過程中，強化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師的自覺行為，也是數(shù)學(xué)課程改革的導(dǎo)向之一。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；分類討論；化歸思想

一、數(shù)形結(jié)合入堂奧

華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！笨梢姡瑪?shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。人們一般把代數(shù)稱為“數(shù)”，而把幾何稱為“形”，“數(shù)”與“形”從表面看是相互獨立的，其實在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最典型的數(shù)形結(jié)合就是借助圖形研究函數(shù)性質(zhì)。函數(shù)圖象既具有特殊的幾何特征，又具備數(shù)量特征，將二者緊密結(jié)合，方有助于理解題意，探究解題思路，檢驗解題結(jié)果。

例題：如右圖，已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=■的圖象交于A（2，4）和B（-4，m）兩點。

（1）求這兩個函數(shù)的解析式。

（2）求△AOB的面積。

（3）根據(jù)圖象直接寫出，當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍。

分析：解決此問題的關(guān)鍵是利用圖象的位置，反映相應(yīng)的自變量和函數(shù)值的范圍，讓學(xué)生觀察圖象的特點，由圖象上的A（2，4）決定y1、y2的解析式，求△AOB的面積比較困難，激發(fā)學(xué)生由C點線段想到△AOB面積是△AOC與△BOC的面積和，就化難為易，得心應(yīng)手。

解：（1）∵點A（2，4）在反比例函數(shù)y2=■的圖象上，由反比例函數(shù)的概念y=■可變形為xy=k得a=2×4=8，

∴反比例函數(shù)的解析式為y2=■。

∵點B（-4，m）也在反比例的圖象上，

∴當(dāng)x=-4時，m=-■=-2。

∵直線y1=kx+b經(jīng)過A（2，4）和B（-4，-2），

∴2k+b=4-4k+b=-2解得k=1，b=2。

∴一次函數(shù)的解析式為y1=x+2。

（2）設(shè)直線y1=x+2與x軸交點C（如上圖）

則C點的y1=0時，x+2=0，x=-2。

∴點C（-2，0），|OC|=2是兩三角形的底邊。

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=■×2×4+■×2×2=6。

由圖象可知，當(dāng)x>2或-4y2時，-42。

二、分類討論找規(guī)律

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論的思想無處不在，無時不用。如，對于有絕對值的代數(shù)式，當(dāng)去掉絕對值符號時，便要把代數(shù)式分大于0、等于0、小于0三種情況加以討論；在解含有字母系數(shù)的方程和不等式時，也要對字母的范圍進行討論。

方程知識是初中數(shù)學(xué)知識的重點和基礎(chǔ)，涉及一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程、分式方程等。這些不同類型的方程之間又可以通過降次、消元和去分母等方法互相轉(zhuǎn)化，解決這類問題，只有審清了題意，全面、系統(tǒng)地考慮問題，才能確定出各種可能情況的分類框架，分類時也才能做到條理清楚、不出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象。

例題：已知關(guān)于x的方程（m+■）xm2-1+2（m-1）x-1=0

（1）m為何值時，它是一元二次方程；

（2）m為何值時，它是一元一次方程。

分析：根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義，確定m的值。

（1）m2-1=2m+■≠0解得m=■。即當(dāng)m=■時，原方程是一元二次方程。

（2）若使原方程為一元一次方程，則m的情況分三種情況討論：

①m+■=2m-1≠0解得m=-■

②m2-1=1m+■+2（m-1）≠0得m=±■m≠■（2-■）解得m=±■

③m2-1=02（m-1）≠0得m=±1m≠1解得m=-1

當(dāng)m=-■或±■或者-1時，原方程是一元一次方程。

討論關(guān)于x的方程是一元一次方程或一元二次方程的問題，關(guān)鍵要考慮兩點：一是未知數(shù)的最高次數(shù)，二是最高次項的系數(shù)不等于0，要進行嚴(yán)密的思考，做到不重復(fù)不遺漏。

分類討論思想涉及初中數(shù)學(xué)的全部知識點，因此，加強分類討論思想的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分類的習(xí)慣，有利于學(xué)生形成思維的條理性、縝密性和科學(xué)性，有利于學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，降低數(shù)學(xué)知識的理解難度，提高學(xué)習(xí)效率。

三、化歸思想見魅力

在處理問題時，把那些待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答，諸如將未知向已知化歸，復(fù)雜問題向簡單問題化歸，實際問題向數(shù)學(xué)問題化歸等。

例題：若（■-a）2與b-1互為相反數(shù)，則■的值為 。

分析：由相反數(shù)的性質(zhì)可知（■-a）2+b-1=0，由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得■-a=0，b-1=0，得a=■，b=1，所以■=■=■+1。

初中代數(shù)教學(xué)內(nèi)容中處處滲透著化歸思想，有理數(shù)的運算法則是小學(xué)四則運算的拓展，分式方程、無理方程和簡單的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申，平面直角坐標(biāo)系是數(shù)軸的推廣……

在方程的教學(xué)中，化歸思想表現(xiàn)得更是突出。如，x=a是一個最簡單形式的方程，同樣也是一個方程的解，那么，由此可以認(rèn)為：解方程的過程，就是把已知方程通過同解變形化為x=a的過程，數(shù)學(xué)思想是隱含在數(shù)學(xué)知識之中的，且隨著每一章節(jié)知識點的不同，隱含其中的數(shù)學(xué)思想也不同。

可見，教師有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法的首要條件是教師要從數(shù)學(xué)思想方法的角度對教材進行系統(tǒng)的分析研究，發(fā)現(xiàn)和把握教材內(nèi)容中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法。教師必須在數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上去設(shè)計教學(xué)過程，在講課、評課、輔導(dǎo)等環(huán)節(jié)中都要有意識地運用數(shù)學(xué)思想方法，并注意各種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生逐步了解、領(lǐng)悟、掌握數(shù)學(xué)思想方法，這樣學(xué)生才會越學(xué)越想學(xué)，越學(xué)越愛學(xué)。

參考文獻：

[1]王文槐.中考集訓(xùn).甘肅教育出版社，2008.

[2]王后雄.教材完全解讀.中國青年出版社，2009.

（作者單位 甘肅省臨夏縣三角初級中學(xué)）