【摘要】恒成立問題是高考常考的題型之一。本文基于一道恒成立問題的不同解法導(dǎo)致的錯誤，討論了在這類恒成立問題中轉(zhuǎn)化為復(fù)合最值時需要注意的問題。

【關(guān)鍵詞】恒成立問題 高考 最值問題 最值法

【基金項目】陜西省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃科研項目（SGH10230）。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）06-0158-01

恒成立問題是近年來高考及各類數(shù)學(xué)考試的熱點題型之一，該類問題有較高的綜合性和靈活性，往往通過一道綜合試題即可全面考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的能力，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和敏捷性[1，2]。恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為最值問題，有時應(yīng)用“大于最大值，小于最小值”這一方法。但是，從高三復(fù)習(xí)的過程中，我們發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生對“最值法”理解不透，處理不妥，有時會導(dǎo)致解題的錯誤。本文以一個恒成立問題為基本素材，通過將恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題進行了討論。

例1.已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1。在區(qū)間[-1，1]上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線g（x）=2x+m的上方，求實數(shù)m的取值范圍。

解法一：利用待定系數(shù)法可以求出二次函數(shù)的解析式：f（x）=x2-x+1。函數(shù)f（x）的圖象恒在直線g（x）=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）min>g（x）max。因為f（x）=x2-x+1在[-1，1]的最小值是：f（x）min=f（ ）= 而g（x）=2x+m在[-1，1]最大值是：g（x）min=g（1）=2+m。于是由f（x）min>g（x）max得： >2+m，即m<- 。

評注1：該解題的思路非常清晰，將“函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的上方”問題轉(zhuǎn)化為“f（x）min>g（x）max”。下面我們再看另外一種方法：

解法二：很容易求出f（x）=x2-x+1。函數(shù)f（x）的圖象恒在直線g（x）=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）-2x>m恒成立？圳（f（x）-2x）min >m。因為f（x）-2x=x2-3x+1，所以令F（x）=x2-3x+1，則F（x）在[-1，1]的最小值是：F（x）min=F（1）=-1。于是由（f（x）-2x）min>2m得：m<-1。

評注2：解法二與解法一的答案不一樣，存在一定的誤差。哪種方法正確呢？下面我們再看一種解法：

解法三：易求出f（x）=x2-x+1。函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的上方？圳f（x）>g（x）恒成立？圳f（x）-2x-m=0即x2-3x+1-m>0。通過數(shù)形結(jié)合作圖1。由圖可知，要使f（x）-2x-m>0在[-1，1]恒成立，只需f（1）>0，解得：m<-1。

評注3：解法二與解法三的答案都是m<-1，即m∈（-∞，-1）。而解法一是m∈（-∞，- ）。所以解法一的結(jié)論可能是錯誤的。下面我們分析解法一的誤差產(chǎn)生的原因。如圖2。

設(shè)直線y=2x+m與二次函數(shù)f（x）=x2-x+1切于點A。易知二次函數(shù)f（x）=x2-x+1的頂點坐標C（ ， ），即二次函數(shù)在[-1，1]的最小值f（x）min= 。

由于直線y=2x+m與二次函數(shù)f（x）=x2-x+1相切。所以聯(lián)立方程y=x2-x+1y=2x+m，得x2-3x+1-m=0，則△=0，解得m=- 。即此時的切線為：y=2x- 。由圖2可知，當(dāng)直線向上平移時，就不滿足f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的上方。因為此時的x∈R，這剛好是解法一的m的取值結(jié)果。當(dāng)然這與已知條件x∈[-1，1]不相符。

但是，當(dāng)直線y=2x+m向上平移，過點D（1，1）時，此時的m=-1。由圖可知當(dāng)x∈[-1，1]時，直線y=2x+m再向上平移時，就不滿足題意。故m<-1。所以m<-1是例1的正確答案。

小結(jié)：解法一轉(zhuǎn)化是不對的，原因在于運用“大于最大值，小于最小值”這一方法時，采用分離變量方法得到的不等式一邊是參數(shù)，另一邊是關(guān)于x的代數(shù)式。而上述的解法一中兩邊都是關(guān)于x的代數(shù)式，在求解時就不能保證x值的一致性。所以本題可先分離變量，再運用“大于最大值，小于最小值”求解，如解法二、解法三和下面的例3。

例2.已知函數(shù)f（x）=-x3+tx，g（x）=- x ，且f（x）

解：由f（x）0，則F（x）單調(diào)遞增。所以當(dāng)x= 時，F(xiàn)（x）在（0，1]取得最小值。即F（x）min=F（ ）=- 。所以，t<- 。在求參量的取值范圍時，如果兩邊是關(guān)于不同變量的代數(shù)式，在用最值法求解時就不需要考慮自變量值的一致性，那么最值法在解決這類恒成立問題時效果非常明顯。下面通過例3分析該方法的有效性。

例3.已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+d（b≠0）在x=0取到極值2。若對任意的x∈[1，2]均存在t∈（0，1]使得et-lnt-1≤f（x），試求b的取值范圍。

解：由題意，易求得c=0，d=2。若對任意的x∈[1，2]均存在t∈（0，1]使得et-lnt-1≤f（x）？圳（et-lnt-1）min≤f（x）min。令T（t）=et-lnt-1，則T′（t）=e- ，由T′（t）=e- =0得t= 。易驗證T（t）在（0， ]上單調(diào)遞增，在[ ，1]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t= 時，T（t）取得最大值，即T（t）max=1。

此時，f（x）=x3+bx2+2≥1在[1，2]恒成立？圳b≥-x- 在[1，2]恒成立？圳b≥（-x- ）min （注意常數(shù)分離）。令M（x）max=-x- ，由M′（x）= =0得x= 。易驗證，當(dāng)x= 時，M（x）取得最大值，即M（x）max= ，所以b≥- 且b≠0。

總之，恒成立問題是高中數(shù)學(xué)知識的一個熱點問題，要想用最值法解決這類問題，必須掌握恒成立問題的實質(zhì)，理解復(fù)合最值的使用條件，這樣才能夠事半功倍。

參考文獻：

[1]羅布. “恒成立問題”解法例說[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（教師版）， 2011，（15）：60-62.

[2]葛愛通.解決“恒成立問題”的幾個注意點[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2011（12） ：46-48.

作者簡介：

王志剛（1980- ），男，碩士。