張遠(yuǎn)東

【摘要】遞歸數(shù)列是高考數(shù)列命題的熱點(diǎn).它的方法活，它的類型很多，解題方法也不盡相同.本文綜合前人的研究歸納總結(jié)出幾種常見(jiàn)類型的遞歸數(shù)列，并應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題.例如傳球問(wèn)題、爬樓梯問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題等遞歸數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題在中小學(xué)試題中頻頻出現(xiàn)，對(duì)它們的研究也顯得更有意義.本文對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單研究.

【關(guān)鍵詞】遞歸；數(shù)列；應(yīng)用

1.增長(zhǎng)率問(wèn)題

例1 某企業(yè)年初有資金1000萬(wàn)元，假定經(jīng)過(guò)生產(chǎn)，每年資金增長(zhǎng)率50%，但每年扣除消費(fèi)基金x萬(wàn)元，余下的資金投入再生產(chǎn)，若經(jīng)過(guò)5年扣除消費(fèi)基金后至少有2000萬(wàn)元，求x的最大值（精確到1萬(wàn)元）.

解 用a璶表示經(jīng)n年扣消費(fèi)基金后余下的資金，那么有a璶=a璶-1（1+50%）-x，（n∈N），其中a0=1000.

所以a璶=3[]2a璶-1-x，

則a璶-2x=3[]2（a璶-1-2x），

故a璶-2x[]a璶-1-2x=3[]2（n∈N）.

即{a璶-2x}是等比數(shù)列，a璶-2x=（1000-2x）3[]2琻，（n∈N），

那么a5=（1000-2x）3[]25+2x≥2000，解得x<5593.75[]13.19≈424.1.

故x的最大值為424萬(wàn)元.

注 本題利用前后兩年的余款建立遞歸關(guān)系a璶=a璶-1（1+50%）-x，避免了逐推找規(guī)律的煩瑣過(guò)程.

2.爬樓梯問(wèn)題

例2 假設(shè)一個(gè)人爬樓梯時(shí)，每一步可以上1級(jí)或2級(jí)，問(wèn)這個(gè)人爬n級(jí)樓梯一共有多少種爬法？

解 設(shè)爬n級(jí)樓梯一共有a璶種爬法.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；

當(dāng)n=2時(shí)，①每一步一級(jí)，②每一步兩級(jí)，有2種走法；

當(dāng)n=3時(shí)，①每一步一級(jí)，②先一級(jí)后兩級(jí)，③先兩級(jí)后一級(jí)，一共有3種走法；

當(dāng)n=4時(shí)，①他第一步走一級(jí)還剩3級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=3的情況，有3種走法；

②他第一步走兩級(jí)還剩2級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=2的情況，有2種走法，

所以一共有5種走法；

當(dāng)n=5時(shí)，①他第一步走一級(jí)還剩4級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=4的情況，有5種走法；

②他第一步走兩級(jí)還剩3級(jí)，轉(zhuǎn)化為n=3的情況，有3種走法，所以一共有8種走法；

……

當(dāng)為n級(jí)時(shí)也有兩種情況：

①他第一步走一級(jí)還剩n-1級(jí)，有a璶-1種走法；

②他第一步走兩級(jí)還剩n-2級(jí)，有a璶-2種走法，

所以一共有a璶-1+a璶-2種走法.

即a璶=a璶-1+a璶-2.

推廣 假設(shè)一個(gè)人爬樓梯時(shí)，每一步可以上1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)，那么這個(gè)人爬n級(jí)樓梯一共有多少種爬法呢？

由上面的解題思路很容易解答出來(lái)，這也是一個(gè)遞歸數(shù)列的問(wèn)題，其遞歸式為

a璶=a璶-1+a璶-2+a璶-3，其中a1=1，a2=2，a3=4.

3.放球問(wèn)題

例3 有編號(hào)1，2，3，4，…，n的n個(gè)球，裝入編號(hào)為1，2，3，4，…，n的n個(gè)筐里（一筐一個(gè)），序號(hào)不能相同，共有多少種方法？

解 設(shè)n個(gè)球裝n個(gè)筐中（序號(hào)不同）有a璶種裝法，則a1=0，a2=1，a3=2，a璶包含兩類：

①1號(hào)球裝入k號(hào)筐，k號(hào)球裝入1號(hào)筐（k=2，3，…，n），還剩（n-2）個(gè)球（n-2）個(gè)筐（序號(hào)不同）共有a璶-2種裝法，又k有（n-1）種選擇，所以這類情況有C1璶-1a璶-2種放法；

②1號(hào)球裝入k號(hào)筐，但k號(hào)球不裝入1號(hào)筐（k=2，3，…，n），此時(shí)可以把k號(hào)球當(dāng)作1號(hào)球，即還剩（n-1）個(gè)球（n-1）個(gè)筐（序號(hào)不同）共有a璶-1種裝法，又k有（n-1）種選擇，所以這類情況有C1璶-1a璶-1種放法.

所以a璶=C1璶-1a璶-2+C1璶-1a璶-1=（n-1）（a璶-2+a璶-1），（n≥3）.

4.傳球問(wèn)題

例4 有m個(gè)人做相互傳球練習(xí)，第一次甲先傳球給其余m-1人中的一人，第二次由拿球者再傳給其余m-1人中的一人，這樣共傳了n次球，則第n次傳球仍傳回到甲的傳法種數(shù)共有多少種？

解 設(shè)傳球n次，第n次傳給甲的傳球方法有a璶種，設(shè)傳球n次，第n次不傳給甲的傳球方法有b璶種，a璶+b璶表示這n次傳球可以傳給m-1人中的任一人.易得a1=0，a璶+b璶=（m-1）琻，而a璶+1=b璶（第n+1次傳到甲只需第n次不傳到甲），所以a璶+a璶+1=（m-1）琻.

則a璶+1=-a璶+（m-1）琻，兩邊同除以（-1）琻+1可得a璶+1[]（-1）琻+1=a璶[]（-1）琻-（1-m）琻，

即a璶+1[]（-1）琻+1-a璶[]（-1）琻=-（1-m）琻，利用累差疊加的方法可得

a璶[]（-1）琻=（1-m）琻-（1-m）[]m.

則a璶=（m-1）琻[]m+（-1）琻·m-1[]m.

傳球問(wèn)題、爬樓梯問(wèn)題等經(jīng)常困擾著學(xué)生，本文針對(duì)這幾類問(wèn)題進(jìn)行了探究，并與遞歸數(shù)列的相關(guān)類型建立聯(lián)系，揭示它們的本質(zhì)，使得這幾類問(wèn)題的解題變得清晰明了.