樊銀生

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；反函數(shù)；相關(guān)問題；誤區(qū)；對策

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函數(shù)是函數(shù)研究中的一個重要內(nèi)容，是函數(shù)教學的一個重點，也是學生學習的難點.在反函數(shù)教學中稍有不慎就會走入誤區(qū)，有些錯誤觀點甚至在一些輔導資料中以謬傳謬，造成誤導.這里列舉出求解反函數(shù)相關(guān)問題的幾種常見錯誤，并提出相應的對策.

誤區(qū)之一求反函數(shù)時忽視了原函數(shù)的值域

眾所周知，兩個函數(shù)若定義域不同，即使對應法則相同，也不是相同的函數(shù).原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，若忽視了原函數(shù)的值域，則解得的結(jié)果不一定正確.

例1 求函數(shù)y=1-■（-1≤x<0）的反函數(shù).

錯解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， ∴x2=1-（y-1）2.

又∵-1≤x<0，∴所求反函數(shù)為y=-■.

剖析：原函數(shù)的值域為（0，1），故反函數(shù)的定義域為（0，1），而上述解法所得的反函數(shù)的定義域為[0，2]，顯然不是原函數(shù)的反函數(shù).

誤區(qū)之二求反函數(shù)時忽視了原函數(shù)的定義域

有些函數(shù)其本身不存在反函數(shù)，但在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)反函數(shù)存在.在求這類函數(shù)的反函數(shù)時，除注意其值域外，同時也要注意其定義域，根據(jù)其定義域?qū)η蟮玫膞合理取舍.

例2 求函數(shù)y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函數(shù).

錯解： 函數(shù)y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域為y∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，∴x-2=

±■.

∴所求的反函數(shù)為y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽視了原函數(shù)的定義域 ，沒有對x進行合理取舍，從而得出了一個非函數(shù)表達式.

誤區(qū)之三混淆復合函數(shù)的反函數(shù)與反函數(shù)的復合函數(shù)兩個不同的概念

函數(shù)y=[φ（x）]的反函數(shù)指的是復合函數(shù)g（x）=[φ（x）]的反函數(shù)g-1（x），而函數(shù)y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函數(shù)y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函數(shù)的復合函數(shù)，這兩個函數(shù)一般是不同的.

例3已知函數(shù)f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函數(shù).

錯解：由f（x）=2x-1可求得其反函數(shù)為f-1（x）=■x+■，從而所求的反函數(shù)為f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法錯誤的原因是誤認為函數(shù)f-1（x+1）是復合函數(shù)f（x+1）的反函數(shù).事實上，函數(shù)y=f（x+1）的映射法則已不再是“f”了，當然“f-1”不是它的逆映射，正確的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函數(shù)為g-1（x）=■x-■.

誤區(qū)之四 盲目利用反函數(shù)求函數(shù)值域

在反函數(shù)存在的前提下， 某些函數(shù)運用反函數(shù)法求函數(shù)的值域的確是一種好方法，但通過反函數(shù)的定義域求原函數(shù)的值域，邏輯上屬于循環(huán)解答.習慣上是將反函數(shù)的解析式有意義的x的取值范圍作為原函數(shù)的值域.運用這種方法求函數(shù)值域只有在等價變形的前提下才是正確的.

例4求函數(shù)y=■（x>0）的值域.

錯解 ： 由函數(shù)y=■ 可求得反函數(shù)為y=■，其反函數(shù)定義域為x∈（-∞，3）∪（3，+∞），從而原函數(shù)的值域為{y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函數(shù)的值域為（■，3），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成錯誤的原因是求解x時， 用x≠-2代替了原函數(shù)的定義域x>0，這是一種不等價的變形.

誤區(qū)之五 認為互為反函數(shù)的兩圖象如果有公共點， 則公共點必在直線y=x上

原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱， 原函數(shù)的圖象與直線y=x的交點必是兩函數(shù)圖象的公共點，但兩函數(shù)圖象的公共點不一定都在直線y=x上.認為“原函數(shù)圖象與反函數(shù)圖象的公共點必在直線y=x上”這個錯誤的觀點，不僅學生在解題時經(jīng)常出現(xiàn)，而且在一些參考資料中也時常見到（例題略）.