廖玉懷

【摘要】數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，是解決實(shí)際問題常用的方法。將數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)中，關(guān)鍵是滲透數(shù)學(xué)建模思想。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)談?wù)剶?shù)學(xué)建模思想的滲透。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 應(yīng)用 滲透

當(dāng)今的數(shù)學(xué)已經(jīng)不僅僅是超脫于一切客觀事物的抽象的理論，它滲透到了社會(huì)生活的方方面面，成為一種普遍的可以實(shí)行的技術(shù)。科學(xué)技術(shù)的發(fā)展大大拉近了數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活的距離。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，還能幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)中的定義、定理，從而起到事半功倍的效果。本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)談?wù)剶?shù)學(xué)建模思想的滲透。

一、高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模思想

把應(yīng)用數(shù)學(xué)語言所得到的能反映實(shí)際對象的那些數(shù)學(xué)關(guān)系式、圖表、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或有效算法的過程稱為數(shù)學(xué)建模。簡單地說，所謂數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去解決實(shí)際生活中的問題。數(shù)學(xué)建模通常很難直接套用現(xiàn)成的結(jié)論或模式，但是有一種不變的東西始終在起作用，那就是數(shù)學(xué)建模思想。完成數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)生需要具備良好的數(shù)學(xué)建模思想。將數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)，而不是用“數(shù)學(xué)模型”或“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的內(nèi)容搶占各個(gè)高等數(shù)學(xué)的陣地，關(guān)鍵是滲透數(shù)學(xué)建模思想。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的觀點(diǎn)和思考方式解決復(fù)雜的實(shí)際問題的能力。

二、把握數(shù)學(xué)建模嵌入的時(shí)機(jī)

數(shù)學(xué)建模在什么時(shí)機(jī)嵌入是最合適的?當(dāng)所學(xué)的內(nèi)容與已有的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來時(shí)，這樣的學(xué)習(xí)才是最有效、最有意義、最有價(jià)值的，才能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。引進(jìn)教學(xué)的模型時(shí)應(yīng)借助已知的概念、定理，在解決模型的過程中，引出新的定義、定理方法，這個(gè)時(shí)候，嵌入數(shù)學(xué)建模的時(shí)機(jī)是最合適的，效果是最理想的。

例如，在導(dǎo)出定積分的概念時(shí)，設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：

實(shí)際問題：(1)如何求曲邊梯形的面積?(2)如何求變力沿直線所做的功?(3)如何求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程?

問題提出后引導(dǎo)學(xué)生建立模型：

先看問題(1)，如果曲邊梯形是梯形(規(guī)則的)，那么其面積=1/2(上底+下底)×高。

問題是這里的梯形是曲邊梯形(不規(guī)則的)，所以上述公式不能用。我們可以這樣考慮：把曲邊梯形放在直角坐標(biāo)系中，第三條直線是x軸，曲線是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)y=f(x)。在區(qū)間[a，b]內(nèi)插入n-1個(gè)點(diǎn)，把區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間，當(dāng)所插入的點(diǎn)足夠多時(shí)，小曲邊梯形就可以用小矩形來近似(即小曲邊梯形的面積近似等于小矩形的面積)，把所有小矩形的面積加起來就得到大曲邊梯形的面積的近似值，要想得到精確的值，就要在區(qū)間[a，b]內(nèi)插入無窮多個(gè)點(diǎn)，使每個(gè)小區(qū)間段的長度都趨于零，這時(shí)所有小矩形的面積之和的極限就是所求的曲邊梯形的面積。

再看問題(2)、(3)，類似問題(1)的分析，通過分割、近似、求和、取極限轉(zhuǎn)化為一個(gè)和式的極限即，從而抽象出定積分的概念。

三、應(yīng)用建模思想進(jìn)行應(yīng)用問題的教學(xué)

(一)灌輸數(shù)學(xué)模型思想，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識

所謂數(shù)學(xué)模型，是指通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際現(xiàn)象的一個(gè)近似的刻劃，以便于人們更深刻地認(rèn)識所研究的對象。在高等數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的主要目的，是充分利用高等數(shù)學(xué)課程中豐富的數(shù)學(xué)建模素材，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識。例如講函數(shù)這一章時(shí)，如果僅僅是把它作為中學(xué)知識的復(fù)習(xí)，則單調(diào)乏味。如果是從數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)來看，對實(shí)際問題中不同變量之間的聯(lián)系，建立起函數(shù)關(guān)系，事實(shí)上就是構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。如，自由落體運(yùn)動(dòng)中路程和時(shí)間的關(guān)系為s=1/2gt²，這就是一個(gè)刻劃自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)指出，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型往往要忽略一些次要的因素，作一些必要的簡化假設(shè)，上例中其實(shí)隱含了這樣一個(gè)假設(shè)：空氣阻力忽略不計(jì)。經(jīng)過這樣處理，即向?qū)W生灌輸了數(shù)學(xué)模型的概念，又增加了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，何樂而不為。

(二)運(yùn)用建模思想分析解決實(shí)際應(yīng)用問題

在課堂教學(xué)中，通過對應(yīng)用題的分析及對教材上已有模型的講解，介紹數(shù)學(xué)建模的思想方法，學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中篩選有用的信息和數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而提高學(xué)生的理解能力、計(jì)算能力以及使學(xué)生養(yǎng)成精益求精的科學(xué)精神，讓學(xué)生切實(shí)感受到數(shù)學(xué)知識在實(shí)際中的應(yīng)用。

如，根據(jù)國家計(jì)劃生育委員會(huì)估計(jì)，中國總?cè)丝诘姆逯凳?044年，峰值人口數(shù)達(dá)到15.6億或15.7億。如何建立數(shù)學(xué)模型，合理的論證計(jì)生委的估計(jì)及如何準(zhǔn)確定位、保持人口合理增長?

1.模型基本假設(shè)

(1)人口總數(shù)的變化是離散型的按整數(shù)變化，當(dāng)總數(shù)非常大時(shí)，可近似認(rèn)為人口總數(shù)是隨時(shí)間連續(xù)可微地變化；

(2)單位時(shí)間內(nèi)人口增長量與當(dāng)時(shí)的人口成正比例；

(3)設(shè)y(t)表示時(shí)刻t的人口總數(shù)，r為比例系數(shù)(即為常數(shù))，且y(t₀)=y₀。

2.建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型要善于捕捉有效的信息將普通評議轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號表示之。

根據(jù)r為常數(shù)的基本假設(shè)，t到t+△t時(shí)間內(nèi)人口的增量為：y(t+△t)-y(t)=r·y(t) y(t+△)t

于是，利用微分方程建立起最簡單的數(shù)學(xué)模型：。

3.模型求解

利用分離變量法解此微分方程可得：y=y₀e^r(t-t₀)，這便是著名的馬爾薩斯指數(shù)增長模型。

4.模型的分析與檢驗(yàn)

(1)查相關(guān)資料，對照我國計(jì)生委、聯(lián)合國關(guān)于地球人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)字與模型計(jì)算結(jié)果的人口數(shù)字作比較，從而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。

(2)利用模型去考察一下遙遠(yuǎn)的未來。據(jù)統(tǒng)計(jì)，地球上的人口按每年2%的速率長著，由此可推算出世界人口總數(shù)在2515年將是200萬億，在2625年將是1800萬億，到2660年將是3600萬億。

若按人均地球表面積計(jì)算，2625年僅為0.09平方米/人，也就是說必須人挨著人站著才能擠得下；而35年后的2660年，人口又翻了一番，那就是人的肩上再站著人了。隨著時(shí)間的推移，我們有表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長( r>0)。說明此模型的不合理性，這對r為常數(shù)的基本假設(shè)提出了異議，需要改進(jìn)。

實(shí)際上，高等數(shù)學(xué)的許多教學(xué)內(nèi)容中都可以引入相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，但盡可能選用一些與社會(huì)實(shí)際生活緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)建模案例，使學(xué)生感到“數(shù)學(xué)就在身邊”，感到數(shù)學(xué)有用。使學(xué)生不僅掌握理論知識，更重要的是知道怎樣應(yīng)用和自覺去應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。

四、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想要注意的幾個(gè)問題

1.要循序漸進(jìn)，由簡單到復(fù)雜，逐步滲透。

2.應(yīng)選擇密切聯(lián)系學(xué)生，易接受、且趣味性、實(shí)用的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，不能讓學(xué)生反感。

3.在教學(xué)中列舉數(shù)學(xué)建模實(shí)例，僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法和思想的初步，因此，在教學(xué)中舉例宜少而精，忌大而泛沖淡高等數(shù)學(xué)理論知識的學(xué)習(xí)，因?yàn)闆]有扎實(shí)的理論知識，也談不上什么應(yīng)用。

4.教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)重視實(shí)際應(yīng)用的同時(shí)，要使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)理論中所隱含的內(nèi)在規(guī)律性。

五、結(jié)束語

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)建模思想，等于教給學(xué)生一種好的思想方法，更是給學(xué)生一把開啟成功大門的鑰匙，為學(xué)生架起了一座從數(shù)學(xué)知識到實(shí)際問題的橋梁，使學(xué)生能靈活地根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建出合理的數(shù)學(xué)模型，得心應(yīng)手地解決實(shí)際問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版).高等教育出版社，2003.

[2]劉鋒.數(shù)學(xué)建模.南京大學(xué)出版社，2005.

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