中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）21-0061-03

近年來(lái)，隨著新課程改革的持續(xù)深化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與提升解題能力成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)[1].在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，排列組合問(wèn)題因其具有概念抽象性強(qiáng)、思維跨度大、解題方法靈活多樣等特點(diǎn)，一直是教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn).面對(duì)學(xué)生個(gè)體差異化的學(xué)習(xí)需求和能力水平，傳統(tǒng)的“一刀切”教學(xué)模式已難以契合教學(xué)實(shí)際需求.基于此，探索一種適應(yīng)不同層次學(xué)生需求的分層解題教學(xué)模式具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.本文以高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題為例，通過(guò)構(gòu)建分層解題教學(xué)模式，設(shè)計(jì)差異化的解題路徑和教學(xué)策略，旨在幫助不同層次的學(xué)生掌握解題方法，提高解題能力，落實(shí)因材施教的教學(xué)目標(biāo)[2].

1分層解題教學(xué)模式的構(gòu)建

1. 1 分層標(biāo)準(zhǔn)的確定

在高中數(shù)學(xué)分層解題教學(xué)模式中，科學(xué)確定分層標(biāo)準(zhǔn)是整個(gè)教學(xué)模式構(gòu)建的基礎(chǔ)和前提.本研究依據(jù)布魯姆教育目標(biāo)分類理論，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，將學(xué)生的排列組合解題能力分為三個(gè)層次：基礎(chǔ)層、提高層和拓展層.基礎(chǔ)層主要面向基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固、解題思路不清晰的學(xué)生.這類學(xué)生雖能理解排列組合的基本概念和公式，但在解題時(shí)常出現(xiàn)混淆與錯(cuò)誤.這一層次的標(biāo)準(zhǔn)為：能準(zhǔn)確識(shí)別排列組合的基本模型，熟練掌握基本公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題.提高層針對(duì)具備一定解題能力且知識(shí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，他們已掌握基本知識(shí)點(diǎn)，能夠靈活運(yùn)用多種解題方法.該層次的標(biāo)準(zhǔn)為：能分析較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，熟練運(yùn)用不同的解題策略，具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力.拓展層面向?qū)W習(xí)能力突出、富有探究精神的學(xué)生.這類學(xué)生不僅擁有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，還具備較強(qiáng)的創(chuàng)新思維.該層次要求學(xué)生能夠解決綜合性問(wèn)題，主動(dòng)探索多種解題方法，具備卓越的數(shù)學(xué)推理能力與創(chuàng)新思維能力.

1. 2 解題路徑的設(shè)計(jì)

在分層解題教學(xué)模式中，設(shè)計(jì)科學(xué)合理的解題路徑直接關(guān)乎教學(xué)效果，其核心目標(biāo)是讓不同層次的學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握解題方法，實(shí)現(xiàn)從基礎(chǔ)到進(jìn)階的能力提升，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中建立解題自信，全面提升排列組合解題能力.基礎(chǔ)層解題路徑以“模型識(shí)別一公式應(yīng)用一分步解答”為主線.教師首先幫助學(xué)生識(shí)別排列組合的基本模型，如簡(jiǎn)單排列、簡(jiǎn)單組合等，引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)匹配對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式.在具體解題過(guò)程中，采用分步驟、分層次的解析方式，確保學(xué)生清晰理解每一步的推理邏輯與計(jì)算依據(jù).例如，在教學(xué)“不同物品的排列”問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先明確排列的對(duì)象和性質(zhì)，再選擇恰當(dāng)?shù)呐帕泄?，最后按步驟完成計(jì)算.提高層解題路徑強(qiáng)調(diào)“多元思維一方法整合一靈活應(yīng)用”.在這一層次中，教師注重培養(yǎng)學(xué)生多角度分析問(wèn)題的能力，引導(dǎo)他們靈活運(yùn)用多種解題策略，如枚舉法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法等.通過(guò)對(duì)比不同解法的優(yōu)劣，幫助學(xué)生建立多樣性的解題思維，提高解決復(fù)雜問(wèn)題的能力.拓展層解題路徑突出“方法創(chuàng)新一思維拓展一舉一反三”.針對(duì)這一層次的學(xué)生，教師鼓勵(lì)其探索新穎的解題方法，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題，學(xué)生可以深人思考問(wèn)題的本質(zhì)，歸納規(guī)律，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，從而提高解決綜合性問(wèn)題的能力，

2分層解題教學(xué)模式的實(shí)施策略

2.1 基礎(chǔ)層次解題指導(dǎo)

針對(duì)基礎(chǔ)層次學(xué)生的解題指導(dǎo)，其核心在于夯實(shí)基本概念與掌握標(biāo)準(zhǔn)化解題流程.教師應(yīng)通過(guò)合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立排列組合問(wèn)題的解題思路和方法.例如，在教學(xué)“簡(jiǎn)單組合問(wèn)題”時(shí)，可以從具體情境人手：從5名同學(xué)中選出3名參加比賽.引導(dǎo)學(xué)生理解“組合”的概念，即不考慮順序的選擇問(wèn)題，然后通過(guò)繪制樹(shù)形圖或列舉法，幫助學(xué)生直觀理解選擇的過(guò)程，最后引入組合公式 C₅³ 通過(guò)這種由具體到抽象的過(guò)程，學(xué)生能夠更好地理解組合的本質(zhì).在解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)注重基礎(chǔ)題型的分類和歸納.如將排列組合問(wèn)題分為“不同物品的排列”“相同物品的排列”“簡(jiǎn)單組合”等類型，針對(duì)每種類型設(shè)計(jì)遞進(jìn)式的練習(xí)題目.例如，先讓學(xué)生解決“從4個(gè)不同水果中選擇3個(gè)排成一排”這樣的簡(jiǎn)單排列問(wèn)題，再過(guò)渡到“4個(gè)蘋(píng)果和3個(gè)橘子排成一排”的相同物品排列問(wèn)題.教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過(guò)程中的常見(jiàn)錯(cuò)誤和困惑，如排列組合的混淆、公式使用不當(dāng)?shù)葐?wèn)題，通過(guò)詳細(xì)講解和針對(duì)性練習(xí)，幫助學(xué)生克服這些困難.在練習(xí)過(guò)程中，采用“一題多解”的方式，通過(guò)展示不同的解題思路，幫助學(xué)生建立對(duì)排列組合問(wèn)題的全面認(rèn)識(shí).

2.2 提高層次解題訓(xùn)練

針對(duì)提高層次學(xué)生的解題訓(xùn)練，其重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解題策略應(yīng)用能力.教師應(yīng)通過(guò)深入的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)掌握排列組合問(wèn)題的解題方法和技巧.例如，在教學(xué)“復(fù)雜組合問(wèn)題\"時(shí)，可以從問(wèn)題分析入手：在8名男生和6名女生中選出5人組成代表隊(duì)，要求男生不少于3人.教師可引導(dǎo)學(xué)生理解這是一個(gè)分類討論的問(wèn)題，即需要將選擇的情況按照男生人數(shù)分類討論，通過(guò)樹(shù)狀圖或列表法，幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理所有可能的情況，最后歸納為 C₈³×C₆²+C₈⁴×C₆¹+C₈⁵×C₆⁰ .這種由表象到本質(zhì)的分析過(guò)程，使學(xué)生能夠更好地把握復(fù)雜排列組合問(wèn)題的解題要領(lǐng).在解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)注重解題思路的多樣性和靈活性.比如將復(fù)雜的排列組合問(wèn)題分為“分步計(jì)算型”“分類討論型”“補(bǔ)集轉(zhuǎn)化型”等類型，針對(duì)每種類型設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)的練習(xí)題目.例如，先讓學(xué)生解決“從4個(gè)不同顏色的球中取出2個(gè)，再?gòu)氖Ｏ碌那蛑腥〕?個(gè)排成一列\(zhòng)"這樣的分步計(jì)算問(wèn)題，再過(guò)渡到“8本不同的書(shū)放在4個(gè)相同的書(shū)架上，要求每個(gè)書(shū)架至少放1本書(shū)”這樣的分類討論問(wèn)題.教師要及時(shí)歸納學(xué)生在解題過(guò)程中的典型思路和方法，比如“容斥原理”“數(shù)形結(jié)合”“代數(shù)化處理”等策略，通過(guò)案例分析和比較，幫助學(xué)生掌握這些高效的解題方法.在訓(xùn)練過(guò)程中，采用“一題多解”的方式，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)其解題思維的靈活性和創(chuàng)造性.

2.3 拓展層次解題探究

針對(duì)拓展層次學(xué)生的解題探究，其重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)探究能力.教師應(yīng)通過(guò)開(kāi)放性的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生深人探索排列組合問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律和解題方法的創(chuàng)新.例如，在教學(xué)“復(fù)雜排列組合綜合問(wèn)題”時(shí)，可以從問(wèn)題變式人手：有8個(gè)不同的球，將它們分別放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，且第一個(gè)盒子的球數(shù)必須是奇數(shù)，求不同的分配方案數(shù).教師可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)需要多重條件結(jié)合的問(wèn)題，既要考慮分配的可能性，又要滿足奇數(shù)個(gè)數(shù)的限制，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型或構(gòu)建邏輯框架，幫助學(xué)生系統(tǒng)分析問(wèn)題的各個(gè)維度，最后通過(guò)容斥原理或生成函數(shù)等高級(jí)方法求解.這種由表及里的探究，使學(xué)生能夠更深入地理解排列組合問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系.

在解題探究中，教師應(yīng)注重解題方法的創(chuàng)新性和系統(tǒng)性.比如將高階排列組合問(wèn)題分為遞推型、生成函數(shù)型、數(shù)學(xué)歸納型等，針對(duì)每種類型設(shè)計(jì)開(kāi)放性的研究課題.例如，先讓學(xué)生探究“ n 個(gè)不同的球放入 n 個(gè)不同的盒子，要求每個(gè)盒子恰好放一個(gè)球的方案數(shù)與 n 的關(guān)系”這樣的遞推問(wèn)題，再過(guò)渡到“將 n 個(gè)不同的球放入 m 個(gè)相同的盒子，使得任意兩個(gè)盒子中的球數(shù)之差不超過(guò)1的方案數(shù)”這樣的綜合性問(wèn)題.教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)規(guī)律，比如遞推關(guān)系、對(duì)稱性質(zhì)、不變量等特征，通過(guò)深入研究和論證，幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的解題思維體系.在探究過(guò)程中，采用問(wèn)題鏈的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)變換條件、推廣結(jié)論等方式，形成對(duì)排列組合問(wèn)題的深層認(rèn)識(shí)

3分層解題教學(xué)模式的反思與優(yōu)化

3.1 分層解題教學(xué)模式的優(yōu)勢(shì)

分層解題教學(xué)模式在實(shí)踐中展現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)，它能夠滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，實(shí)現(xiàn)因材施教的教學(xué)理念.基礎(chǔ)層學(xué)生在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)中鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高層學(xué)生在多樣化的解題訓(xùn)練中提升思維能力，拓展層學(xué)生則在開(kāi)放性探究中發(fā)展創(chuàng)新思維這種模式有助于提高課堂教學(xué)效率，教師可以有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和策略，避免“一刀切”的教學(xué)方式.分層教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓每個(gè)層次的學(xué)生都能體驗(yàn)到成功的喜悅，建立學(xué)習(xí)自信

3.2 分層解題教學(xué)模式的常見(jiàn)問(wèn)題

分層解題教學(xué)模式在實(shí)施過(guò)程中暴露諸多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.其一，層次劃分標(biāo)準(zhǔn)的執(zhí)行不夠科學(xué).部分教師過(guò)度依賴考試成績(jī)進(jìn)行分層，忽視了學(xué)生的思維特點(diǎn)、學(xué)習(xí)潛力和進(jìn)步速度等因素，甚至出現(xiàn)“一考定終身”的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生難以在不同層次間流動(dòng)，嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)積極性和自信心的建立.其二，教學(xué)資源分配出現(xiàn)明顯的失衡現(xiàn)象.許多教師將主要精力投入到提高層和拓展層學(xué)生的培養(yǎng)中，對(duì)基礎(chǔ)層學(xué)生的關(guān)注不夠，導(dǎo)致“兩極分化”現(xiàn)象加劇.部分學(xué)校甚至出現(xiàn)重點(diǎn)班級(jí)配備優(yōu)秀教師，而基礎(chǔ)班級(jí)師資力量薄弱的情況.其三，教學(xué)實(shí)施方式存在僵化傾向.教師在課堂上機(jī)械地按層次安排教學(xué)活動(dòng)，缺乏靈活性和互動(dòng)性

3.3分層解題教學(xué)模式的改進(jìn)建議

針對(duì)分層解題教學(xué)模式存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)建議.（1）完善層次劃分機(jī)制.建立動(dòng)態(tài)的評(píng)價(jià)體系，將學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、思維能力、進(jìn)步幅度等多維指標(biāo)納入分層標(biāo)準(zhǔn)；定期進(jìn)行層次調(diào)整，建立科學(xué)的晉升通道，讓學(xué)生能夠根據(jù)自身進(jìn)步情況靈活流動(dòng)，以激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力；采用多元化的評(píng)估方式，比如單元測(cè)試、課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成質(zhì)量等綜合評(píng)定學(xué)生層次.（2）優(yōu)化教學(xué)資源配置.實(shí)施教師輪崗制度，確保各層次學(xué)生都能得到優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源；加強(qiáng)教師培訓(xùn)，提升教師的分層教學(xué)能力和個(gè)性化指導(dǎo)水平；建立教師合作機(jī)制，通過(guò)集體備課、經(jīng)驗(yàn)分享等方式，整體提升教學(xué)團(tuán)隊(duì)的專業(yè)水平.（3）創(chuàng)新教學(xué)實(shí)施方式.設(shè)計(jì)多樣化的教學(xué)活動(dòng)，如層次間互助學(xué)習(xí)、分組討論等，促進(jìn)不同層次學(xué)生之間的交流與合作；注重培養(yǎng)學(xué)生的解題思維過(guò)程，通過(guò)設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題、鼓勵(lì)多種解法等方式，激發(fā)學(xué)生的思維潛能.

4結(jié)束語(yǔ)

分層解題教學(xué)模式是新課程改革背景下的一種創(chuàng)新性教學(xué)探索，它突破了傳統(tǒng)“一刀切”的教學(xué)模式局限，為實(shí)現(xiàn)因材施教提供了可行路徑.通過(guò)對(duì)排列組合問(wèn)題的分層教學(xué)展開(kāi)實(shí)踐，可以發(fā)現(xiàn)這種模式能夠有效滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，提升教學(xué)效果.盡管在實(shí)施過(guò)程中仍存在一些問(wèn)題，但只要在教學(xué)實(shí)踐中不斷完善和優(yōu)化，這種教學(xué)模式必將在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新人才方面發(fā)揮重要作用.

參考文獻(xiàn)：

[1］施友芝.高中數(shù)學(xué)解題中存在的問(wèn)題與對(duì)策探究：以“排列組合”教學(xué)為例［J].數(shù)理天地（高中版），2024（19）：20-21.

[2］陸效敬.高中數(shù)學(xué)排列組合推理的教學(xué)思考[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2014（12）：72-73.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]